Gauss-elimináció

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
14. sor: 14. sor:
 
===1.===  
 
===1.===  
  
{|style="width:80%;text-align:center" border="1"
+
{|style="width:80%;text-align:center"  
 
!width="50%"|Lineáris egyenletrendszert
 
!width="50%"|Lineáris egyenletrendszert
 
!width="50%"|Kibővített együtthatómátrix
 
!width="50%"|Kibővített együtthatómátrix
30. sor: 30. sor:
 
|<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ 2y+z&=&5 \end{matrix} </math>
 
|<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ 2y+z&=&5 \end{matrix} </math>
 
|<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5\end{bmatrix}</math>
 
|<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5\end{bmatrix}</math>
 
+
|-
 +
|colspan="2"|Most vonjuk ki a harmadik sorból a második sor 4-szeresét
 +
|-
 +
|<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ -z&=&1 \end{matrix} </math>
 +
|<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1\end{bmatrix}</math>
 +
|-
 +
|colspan="2"|Meg is vagyunk az eljárás első felével, vagyis az együtthatómátrix lépcsős alakú, szorozzuk be a 3. sort -1-el, ezzel fejezzük ki z-t
 +
|-
 +
|<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ z&=&-1 \end{matrix} </math>
 +
|<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}</math>
 +
|-
 +
|colspan="2"|Most a második egyenletbe z-t behelyettesítve fejezzük ki y-t (a második sort szorozzuk be kettővel és vonjuk ki belőle a harmadik sort)
 +
|-
 +
|<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ y&=&3 \\ z&=&-1 \end{matrix} </math>
 +
|<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}</math>
 +
|-
 +
|colspan="2"|Végül az első egyenletbe y-t és z-t behelyettesítve fejezzük ki x-et (Vonjuk ki belőle a második sort, adjuk hozzá a harmadikat és osszuk el kettővel)
 +
|-
 +
|<math>\begin{matrix}x&=&2 \\ y&=&3 \\ z&=&-1 \end{matrix} </math>
 +
|<math> \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}</math>
 +
|-
 +
|colspan="2"|És ezzel meg is volnánk a kibővített együtthatómátrix redukált lépcsős alakú, minden ismeretlen ki van fejezve.
 
|}
 
|}
 
===2.===
 
===2.===

A lap 2008. február 6., 23:47-kori változata

A Gauss-elimináció egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy mátrix rangját.

Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált lépcsős alakra redukáljuk.

Tartalomjegyzék

Az eljárás leírása

A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a kibővített együtthatómátrixot. A kibővített együtthatómátrix akkor lépcsős alakú, ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A redukált lépcsős alak az olyan lépcsős alak amiben minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.

A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az elemi sorekvivalens átalakítások:

  • Sorok felcserélése
  • Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
  • Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása

Példák

1.

Lineáris egyenletrendszert Kibővített együtthatómátrix
\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ -3x-y+2z&=&-11 \\ -2x+y+2z&=&-3 \end{matrix}  \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}
Adjuk hozzá a második sorhoz az első sor 3/2-szeresét, ekkor kiesik az x
\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ -2x+y+2z&=&-3 \end{matrix}  \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}
Adjuk hozzá a harmadik sorhoz az elsőt, hogy ott se legyen x
\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ 2y+z&=&5 \end{matrix}  \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5\end{bmatrix}
Most vonjuk ki a harmadik sorból a második sor 4-szeresét
\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ -z&=&1 \end{matrix}  \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1\end{bmatrix}
Meg is vagyunk az eljárás első felével, vagyis az együtthatómátrix lépcsős alakú, szorozzuk be a 3. sort -1-el, ezzel fejezzük ki z-t
\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ z&=&-1 \end{matrix}  \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}
Most a második egyenletbe z-t behelyettesítve fejezzük ki y-t (a második sort szorozzuk be kettővel és vonjuk ki belőle a harmadik sort)
\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ y&=&3 \\ z&=&-1 \end{matrix}  \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}
Végül az első egyenletbe y-t és z-t behelyettesítve fejezzük ki x-et (Vonjuk ki belőle a második sort, adjuk hozzá a harmadikat és osszuk el kettővel)
\begin{matrix}x&=&2 \\ y&=&3 \\ z&=&-1 \end{matrix}  \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}
És ezzel meg is volnánk a kibővített együtthatómátrix redukált lépcsős alakú, minden ismeretlen ki van fejezve.

2.

  1. x1 + 2x2 + 3x3 = 2
  2. x1 + x2 + x3 = 2
  3. 3x1 + 3x2 + x3 = 0

Az együtthatómátrix:

[1]

Az eljárás:

[2]
Személyes eszközök