Gauss-elimináció
Mozo (vitalap | szerkesztései) (+kat) |
|||
(2 szerkesztő 16 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | A '''Gauss-elimináció''' egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy mátrix rangját. | + | A '''Gauss-elimináció''' egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy [[Mátrix rangja|mátrix rangját]]. |
− | Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált | + | Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált lépcsős alakra redukáljuk. |
==Az eljárás leírása== | ==Az eljárás leírása== | ||
A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a ''kibővített együtthatómátrixot''. | A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a ''kibővített együtthatómátrixot''. | ||
+ | A kibővített együtthatómátrix akkor ''lépcsős alakú'', ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A ''redukált lépcsős alak'' az olyan lépcsős alak amiben minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában. | ||
− | A | + | A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az ''elemi sorekvivalens átalakítások'': |
+ | * Sorok felcserélése | ||
+ | * Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása | ||
+ | * Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása | ||
+ | ==Példák== | ||
+ | ===1.=== | ||
− | == | + | {|style="width:80%;text-align:center" |
+ | !width="50%"|Lineáris egyenletrendszer | ||
+ | !width="50%"|Kibővített együtthatómátrix | ||
+ | |- | ||
+ | |<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ -3x-y+2z&=&-11 \\ -2x+y+2z&=&-3 \end{matrix} </math> | ||
+ | |<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2" style="text-align:left"|Adjuk hozzá a második sorhoz az első sor 3/2-szeresét, ekkor kiesik az x | ||
+ | |- | ||
+ | |<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ -2x+y+2z&=&-3 \end{matrix} </math> | ||
+ | |<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2" style="text-align:left"|Adjuk hozzá a harmadik sorhoz az elsőt, hogy ott se legyen x | ||
+ | |- | ||
+ | |<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ 2y+z&=&5 \end{matrix} </math> | ||
+ | |<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5\end{bmatrix}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2" style="text-align:left"|Most vonjuk ki a harmadik sorból a második sor 4-szeresét | ||
+ | |- | ||
+ | |<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ -z&=&1 \end{matrix} </math> | ||
+ | |<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1\end{bmatrix}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2" style="text-align:left"|Meg is vagyunk az eljárás első felével, vagyis az együtthatómátrix lépcsős alakú, szorozzuk be a 3. sort -1-el, ezzel fejezzük ki z-t | ||
+ | |- | ||
+ | |<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ z&=&-1 \end{matrix} </math> | ||
+ | |<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2" style="text-align:left"|Most a második egyenletbe z-t behelyettesítve fejezzük ki y-t (a második sort szorozzuk be kettővel és vonjuk ki belőle a harmadik sort) | ||
+ | |- | ||
+ | |<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ y&=&3 \\ z&=&-1 \end{matrix} </math> | ||
+ | |<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2" style="text-align:left"|Végül az első egyenletbe y-t és z-t behelyettesítve fejezzük ki x-et (Vonjuk ki belőle a második sort, adjuk hozzá a harmadikat és osszuk el kettővel) | ||
+ | |- | ||
+ | |<math>\begin{matrix}x&=&2 \\ y&=&3 \\ z&=&-1 \end{matrix} </math> | ||
+ | |<math> \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}</math> | ||
+ | |- | ||
+ | |colspan="2" style="text-align:left"|És ezzel meg is volnánk a kibővített együtthatómátrix redukált lépcsős alakú, minden ismeretlen ki van fejezve. | ||
+ | |} | ||
+ | ===2.=== | ||
+ | |||
+ | :<math>\begin{matrix} | ||
+ | x_1 + 2x_2 + 3x_3 & = & 2 \\ | ||
+ | x_1 + x_2 + x_3 & = & 2 \\ | ||
+ | 3x_1 + 3x_2 + x_3 & = & 0 | ||
+ | \end{matrix}</math> | ||
+ | :<math>\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 2 & 3 & 2 \\ | ||
+ | 1 & 1 & 1 & 2 \\ | ||
+ | 3 & 3 & 1 & 0 | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | :<math>\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 2 & 3 & 2 \\ | ||
+ | 0 & -1 & -2 & 0 \\ | ||
+ | 0 & -3 & -8 & -6 | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | :<math>\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 2 & 3 & 2 \\ | ||
+ | 0 & -1 & -2 & 0 \\ | ||
+ | 0 & 0 & -2 & -6 | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | :<math>\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 2 & 3 & 2 \\ | ||
+ | 0 & -1 & -2 & 0\\ | ||
+ | 0 & 0 & 1 & 3 | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | :<math>\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 2 & 3 & 2 \\ | ||
+ | 0 & 1 & 0 & -6\\ | ||
+ | 0 & 0 & 1 & 3 | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | :<math>\begin{bmatrix} | ||
+ | 1 & 0 & 0 & 5 \\ | ||
+ | 0 & 1 & 0 & -6\\ | ||
+ | 0 & 0 & 1 & 3 | ||
+ | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | -------- | ||
+ | # <math>x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 2</math> | ||
+ | # <math>x_1 + x_2 + x_3 = 2</math> | ||
+ | # <math>3x_1 + 3x_2 + x_3 = 0</math> | ||
+ | Az együtthatómátrix: | ||
+ | :[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/0/0e/Gausselimlgs.PNG] | ||
+ | Az eljárás: | ||
+ | :[http://upload.wikimedia.org/wikipedia/de/3/3e/Gausseliminierung.PNG] | ||
+ | ==Linkek== | ||
+ | * [http://en.wikipedia.org/wiki/Gauss_elimination Gaussian elimination] szócikk az angol wikipediáról | ||
+ | * [http://www.cs.bme.hu/%7Efleiner/bszjegyzet/bsz1jegyzet.pdf#nameddest=section.2.3 Lineáris egyenletrendszerek] Fleiner Tamás bsz1 jegyzete | ||
+ | |||
+ | [[Kategória: Lineáris algebra]] |
A lap jelenlegi, 2008. május 20., 13:38-kori változata
A Gauss-elimináció egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy mátrix rangját.
Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált lépcsős alakra redukáljuk.
Tartalomjegyzék |
Az eljárás leírása
A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a kibővített együtthatómátrixot. A kibővített együtthatómátrix akkor lépcsős alakú, ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A redukált lépcsős alak az olyan lépcsős alak amiben minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.
A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az elemi sorekvivalens átalakítások:
- Sorok felcserélése
- Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
- Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása
Példák
1.
Lineáris egyenletrendszer | Kibővített együtthatómátrix |
---|---|
Adjuk hozzá a második sorhoz az első sor 3/2-szeresét, ekkor kiesik az x | |
Adjuk hozzá a harmadik sorhoz az elsőt, hogy ott se legyen x | |
Most vonjuk ki a harmadik sorból a második sor 4-szeresét | |
Meg is vagyunk az eljárás első felével, vagyis az együtthatómátrix lépcsős alakú, szorozzuk be a 3. sort -1-el, ezzel fejezzük ki z-t | |
Most a második egyenletbe z-t behelyettesítve fejezzük ki y-t (a második sort szorozzuk be kettővel és vonjuk ki belőle a harmadik sort) | |
Végül az első egyenletbe y-t és z-t behelyettesítve fejezzük ki x-et (Vonjuk ki belőle a második sort, adjuk hozzá a harmadikat és osszuk el kettővel) | |
És ezzel meg is volnánk a kibővített együtthatómátrix redukált lépcsős alakú, minden ismeretlen ki van fejezve. |
2.
- x1 + 2x2 + 3x3 = 2
- x1 + x2 + x3 = 2
- 3x1 + 3x2 + x3 = 0
Az együtthatómátrix:
Az eljárás:
Linkek
- Gaussian elimination szócikk az angol wikipediáról
- Lineáris egyenletrendszerek Fleiner Tamás bsz1 jegyzete