Gauss-elimináció
15. sor: | 15. sor: | ||
{|style="width:80%;text-align:center" | {|style="width:80%;text-align:center" | ||
− | !width="50%"|Lineáris | + | !width="50%"|Lineáris egyenletrendszer |
!width="50%"|Kibővített együtthatómátrix | !width="50%"|Kibővített együtthatómátrix | ||
|- | |- | ||
21. sor: | 21. sor: | ||
|<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}</math> | |<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}</math> | ||
|- | |- | ||
− | |colspan="2"|Adjuk hozzá a második sorhoz az első sor 3/2-szeresét, ekkor kiesik az x | + | |colspan="2" style="text-align:left"|Adjuk hozzá a második sorhoz az első sor 3/2-szeresét, ekkor kiesik az x |
|- | |- | ||
|<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ -2x+y+2z&=&-3 \end{matrix} </math> | |<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ -2x+y+2z&=&-3 \end{matrix} </math> | ||
|<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}</math> | |<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}</math> | ||
|- | |- | ||
− | |colspan="2"|Adjuk hozzá a harmadik sorhoz az elsőt, hogy ott se legyen x | + | |colspan="2" style="text-align:left"|Adjuk hozzá a harmadik sorhoz az elsőt, hogy ott se legyen x |
|- | |- | ||
|<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ 2y+z&=&5 \end{matrix} </math> | |<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ 2y+z&=&5 \end{matrix} </math> | ||
|<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5\end{bmatrix}</math> | |<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 2 & 1 & 5\end{bmatrix}</math> | ||
|- | |- | ||
− | |colspan="2"|Most vonjuk ki a harmadik sorból a második sor 4-szeresét | + | |colspan="2" style="text-align:left"|Most vonjuk ki a harmadik sorból a második sor 4-szeresét |
|- | |- | ||
|<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ -z&=&1 \end{matrix} </math> | |<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ -z&=&1 \end{matrix} </math> | ||
|<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1\end{bmatrix}</math> | |<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & -1 & 1\end{bmatrix}</math> | ||
|- | |- | ||
− | |colspan="2"|Meg is vagyunk az eljárás első felével, vagyis az együtthatómátrix lépcsős alakú, szorozzuk be a 3. sort -1-el, ezzel fejezzük ki z-t | + | |colspan="2" style="text-align:left"|Meg is vagyunk az eljárás első felével, vagyis az együtthatómátrix lépcsős alakú, szorozzuk be a 3. sort -1-el, ezzel fejezzük ki z-t |
|- | |- | ||
|<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ z&=&-1 \end{matrix} </math> | |<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ \frac{1}{2}y+\frac{1}{2}z&=&1 \\ z&=&-1 \end{matrix} </math> | ||
|<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}</math> | |<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 1 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}</math> | ||
|- | |- | ||
− | |colspan="2"|Most a második egyenletbe z-t behelyettesítve fejezzük ki y-t (a második sort szorozzuk be kettővel és vonjuk ki belőle a harmadik sort) | + | |colspan="2" style="text-align:left"|Most a második egyenletbe z-t behelyettesítve fejezzük ki y-t (a második sort szorozzuk be kettővel és vonjuk ki belőle a harmadik sort) |
|- | |- | ||
|<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ y&=&3 \\ z&=&-1 \end{matrix} </math> | |<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ y&=&3 \\ z&=&-1 \end{matrix} </math> | ||
|<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}</math> | |<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}</math> | ||
|- | |- | ||
− | |colspan="2"|Végül az első egyenletbe y-t és z-t behelyettesítve fejezzük ki x-et (Vonjuk ki belőle a második sort, adjuk hozzá a harmadikat és osszuk el kettővel) | + | |colspan="2" style="text-align:left"|Végül az első egyenletbe y-t és z-t behelyettesítve fejezzük ki x-et (Vonjuk ki belőle a második sort, adjuk hozzá a harmadikat és osszuk el kettővel) |
|- | |- | ||
|<math>\begin{matrix}x&=&2 \\ y&=&3 \\ z&=&-1 \end{matrix} </math> | |<math>\begin{matrix}x&=&2 \\ y&=&3 \\ z&=&-1 \end{matrix} </math> | ||
|<math> \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}</math> | |<math> \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 1 & -1\end{bmatrix}</math> | ||
|- | |- | ||
− | |colspan="2"|És ezzel meg is volnánk a kibővített együtthatómátrix redukált lépcsős alakú, minden ismeretlen ki van fejezve. | + | |colspan="2" style="text-align:left"|És ezzel meg is volnánk a kibővített együtthatómátrix redukált lépcsős alakú, minden ismeretlen ki van fejezve. |
|} | |} | ||
===2.=== | ===2.=== |
A lap 2008. február 6., 23:50-kori változata
A Gauss-elimináció egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy mátrix rangját.
Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált lépcsős alakra redukáljuk.
Tartalomjegyzék |
Az eljárás leírása
A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a kibővített együtthatómátrixot. A kibővített együtthatómátrix akkor lépcsős alakú, ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A redukált lépcsős alak az olyan lépcsős alak amiben minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.
A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az elemi sorekvivalens átalakítások:
- Sorok felcserélése
- Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
- Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása
Példák
1.
Lineáris egyenletrendszer | Kibővített együtthatómátrix |
---|---|
Adjuk hozzá a második sorhoz az első sor 3/2-szeresét, ekkor kiesik az x | |
Adjuk hozzá a harmadik sorhoz az elsőt, hogy ott se legyen x | |
Most vonjuk ki a harmadik sorból a második sor 4-szeresét | |
Meg is vagyunk az eljárás első felével, vagyis az együtthatómátrix lépcsős alakú, szorozzuk be a 3. sort -1-el, ezzel fejezzük ki z-t | |
Most a második egyenletbe z-t behelyettesítve fejezzük ki y-t (a második sort szorozzuk be kettővel és vonjuk ki belőle a harmadik sort) | |
Végül az első egyenletbe y-t és z-t behelyettesítve fejezzük ki x-et (Vonjuk ki belőle a második sort, adjuk hozzá a harmadikat és osszuk el kettővel) | |
És ezzel meg is volnánk a kibővített együtthatómátrix redukált lépcsős alakú, minden ismeretlen ki van fejezve. |
2.
- x1 + 2x2 + 3x3 = 2
- x1 + x2 + x3 = 2
- 3x1 + 3x2 + x3 = 0
Az együtthatómátrix:
Az eljárás: