Gauss-elimináció

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
5. sor: 5. sor:
 
==Az eljárás leírása==
 
==Az eljárás leírása==
 
A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a ''kibővített együtthatómátrixot''.
 
A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a ''kibővített együtthatómátrixot''.
 
 
A kibővített együtthatómátrix akkor ''lépcsős alakú'', ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A ''redukált lépcsős alak'' az olyan lépcsős alak amiben minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.
 
A kibővített együtthatómátrix akkor ''lépcsős alakú'', ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A ''redukált lépcsős alak'' az olyan lépcsős alak amiben minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.
  
14. sor: 13. sor:
 
==Példák==
 
==Példák==
 
===1.===  
 
===1.===  
Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert:
 
:<math>2x+y-z=8 \ </math>
 
:<math>-3x-y+2z=-11 \ </math>
 
:<math>-2x+y+2z=-3 \ </math>
 
A kibővített együtthatómátrix így néz ki:
 
:<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}</math>
 
  
 +
{|style="width:80%" class="prettytable"
 +
|Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert:
 +
|A kibővített együtthatómátrix így néz ki:
 +
|-
 +
|<math>\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\
 +
-3x-y+2z&=&-11 \\
 +
-2x+y+2z&=&-3 \end{matrix} </math>
 +
|<math> \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}</math>
 +
|}
 
===2.===
 
===2.===
  

A lap 2008. február 6., 23:02-kori változata

A Gauss-elimináció egy eljárás, amivel megtalálhatjuk egy lineáris egyenletrendszer megoldásait, meghatározhatjuk egy mátrix rangját.

Az eljárás során először a kibővített együtthatómátrixot elemi sorekvivalens átalakítások felhasználásával lépcsős alakúra hozzuk, majd a második lépésben redukált lépcsős alakra redukáljuk.

Tartalomjegyzék

Az eljárás leírása

A lineáris egyenletrendszereket rendezhetjük úgy, hogy az egyenlőség jobb oldalára írjuk a konstansokat, a bal oldalára pedig rögzített sorrendben az ismeretleneket és az együtthatókat. Ha ezeket az együtthatókat és konstansokat táblázatba rendezzük, akkor kapjuk a kibővített együtthatómátrixot. A kibővített együtthatómátrix akkor lépcsős alakú, ha minden sor az első nemnulla eleme 1 (vezéregyes), valamint bármely vezéregyes alatt csak tőle jobbra lévő oszlopban vannak vezéregyesek. A redukált lépcsős alak az olyan lépcsős alak amiben minden vezéregyes az egyetlen nemnulla elem az oszlopában.

A lineáris egyenletrendszer megoldásait nem változtatják meg az elemi sorekvivalens átalakítások:

  • Sorok felcserélése
  • Egy sor elemeinek nullától különböző számmal történő végigszorzása
  • Egy sor konstansszorosának másikhoz való elemenkénti hozzáadása

Példák

1.

Oldjuk meg az alábbi lineáris egyenletrendszert: A kibővített együtthatómátrix így néz ki:
\begin{matrix}2x+y-z&=&8 \\ 
-3x-y+2z&=&-11 \\
-2x+y+2z&=&-3 \end{matrix}  \begin{bmatrix} 2 & 1 & -1 & 8 \\ -3 & -1 & 2 & -11 \\ -2 & 1 & 2 & -3\end{bmatrix}

2.

  1. x1 + 2x2 + 3x3 = 2
  2. x1 + x2 + x3 = 2
  3. 3x1 + 3x2 + x3 = 0

Az együtthatómátrix:

[1]

Az eljárás:

[2]
Személyes eszközök