Haladó szintre hozó kurzus/1

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Kijelentéslogika)
(Egyéb)
 
(egy szerkesztő 16 közbeeső változata nincs mutatva)
8. sor: 8. sor:
 
:c) <math>q\Rightarrow (p\vee (\neg p))</math> (az "igaz" mindenből következik)
 
:c) <math>q\Rightarrow (p\vee (\neg p))</math> (az "igaz" mindenből következik)
 
:d) <math>[(p\Rightarrow r) \wedge (q\Rightarrow r)\wedge (p\vee q)]\Rightarrow r</math> (az esetszétválasztás szabálya)
 
:d) <math>[(p\Rightarrow r) \wedge (q\Rightarrow r)\wedge (p\vee q)]\Rightarrow r</math> (az esetszétválasztás szabálya)
:e) <math>\neg(p\Rightarrow q)\Rightarrow [(\neg q)\Rightarrow (\neg p)]</math> (a kontrapozíció szabálya)
+
 
:f) <math>\neg(p\Rightarrow q)\Leftrightarrow [p\vee (\neg p)]</math> (a "ha-akkor" jellemzése "vagy"-gyal és "nem"-mel)
+
'''2. ''' Igazoljuk igazságtáblázattal, hogy alább a &equiv; két oldalán álló kifejezés mindig ugyanolyan igazságértékű!
 +
:a) <math>\neg(p\Rightarrow q)\quad \equiv\quad [(\neg q)\Rightarrow (\neg p)]\qquad</math> (a kontrapozíció szabálya)
 +
:b) <math>(p\Rightarrow q)\quad \equiv\quad (\neg p)\vee q</math> (a "ha-akkor" jellemzése "vagy"-gyal és "nem"-mel)
 +
:c) <math>\neg (p\vee q)\quad \equiv\quad (\neg p)\wedge (\neg q),\qquad\neg(p\wedge q)\quad \equiv\quad (\neg p)\vee (\neg q)\qquad</math> (De-Morgan-szabályok)
 +
:d) <math>(p\vee q)\wedge r\quad \equiv\quad (p \wedge r) \vee (q\wedge r),\qquad(p\wedge q)\vee r\quad \equiv\quad (p \vee r) \wedge (q\vee r)</math> (disztributív szabályok)
 +
 
 +
==Halmazok==
 +
 
 +
'''3.''' Tudva hogy:
 +
:<math>A\cup B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \vee x\in B\}</math>
 +
:<math>A\cap B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \wedge x\in B\}</math>
 +
:<math>A\subseteq B\Leftrightarrow_\mathrm{def}\mbox{ minden }x\mbox{-re } x\in A \Rightarrow x\in B</math>
 +
:<math>A= B\Leftrightarrow_\mathrm{def} A\subseteq B\;\wedge\;B\subseteq A</math>
 +
igazoljuk, hogy
 +
:a) <math>A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)</math>
 +
:b) <math>A\cap(B\cup A)=A</math>
 +
:c) <math>A\cup(B\cap A)=A</math>
 +
 
 +
==Halmazok Boole-algebrája==
 +
 
 +
'''4. ''' Felhasználva, hogy
 +
:<math>A\setminus B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \wedge x\notin B\}</math>
 +
:<math>\overline{A}|_H=_\mathrm{def}\{x\in H\mid x\notin A\}</math> illetve
 +
:<math>A\setminus B=A\cap \overline{B}</math>
 +
igazolja, hogy minden A, B, C halmazra
 +
:a) <math>A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)</math>
 +
:b) <math>A\setminus(A\setminus B)=B\setminus (B\setminus A)</math>
 +
:c) <math>(A\cap B)\setminus(A\setminus C)=A\cap B\cap C</math>
 +
 
 +
==Egyéb==
 +
 
 +
'''5.''' Legyen A, B és C tetszőleges halmaz, továbbá legyen
 +
:<math>K=(A\setminus(B\setminus C))\setminus C</math> és
 +
:<math> L=(A\setminus B)\cup(A\cap C)</math>
 +
Vizsgáljuk meg, hogy melyik tartalmazás áll fenn!
 +
# <math>K\subseteq L</math>
 +
# <math> K\supseteq L</math>
 +
 
 +
'''6.''' Mely ''X'' halmazokra teljesülnek az alábbi egyenletek, ha ''A'' és ''B'' tetszőleges halmazok?
 +
 
 +
:a) <math>A\setminus X=X\setminus A\,</math>
 +
:b) <math> (A\setminus X)\cup B=X\,</math>
 +
 
 +
 
 +
 
 +
 +
 
 +
 
 +
 
  
  
15. sor: 63. sor:
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
{| class="wikitable" style="text-align:center"
 
|- bgcolor="#efefef"
 
|- bgcolor="#efefef"
||[[Haladó szintre hozó]] || [[Haladó szintre hozó/2|2. téma]]
+
||[[Haladó szintre hozó]] || [[Haladó szintre hozó kurzus/2|2. téma]]
 
|}
 
|}
 
</center>
 
</center>
  
 
[[Kategória:Haladó szintre hozó]]
 
[[Kategória:Haladó szintre hozó]]

A lap jelenlegi, 2016. augusztus 8., 17:52-kori változata

Ez az szócikk a Haladó szintre hozó szócikk alszócikke.

Tartalomjegyzék

Kijelentéslogika

1. Igazoljuk igazságtáblázattal, hogy a következő kijelentések mindig igazak:

a) p\Rightarrow(p\vee q), q\Rightarrow(p\vee q) (a "vagy" alaptulajdonsága)
b) (p\wedge (\neg p))\Rightarrow q (a "hamisból" minden következik)
c) q\Rightarrow (p\vee (\neg p)) (az "igaz" mindenből következik)
d) [(p\Rightarrow r) \wedge (q\Rightarrow r)\wedge (p\vee q)]\Rightarrow r (az esetszétválasztás szabálya)

2. Igazoljuk igazságtáblázattal, hogy alább a ≡ két oldalán álló kifejezés mindig ugyanolyan igazságértékű!

a) \neg(p\Rightarrow q)\quad \equiv\quad [(\neg q)\Rightarrow (\neg p)]\qquad (a kontrapozíció szabálya)
b) (p\Rightarrow q)\quad \equiv\quad (\neg p)\vee q (a "ha-akkor" jellemzése "vagy"-gyal és "nem"-mel)
c) \neg (p\vee q)\quad \equiv\quad (\neg p)\wedge (\neg q),\qquad\neg(p\wedge q)\quad \equiv\quad (\neg p)\vee (\neg q)\qquad (De-Morgan-szabályok)
d) (p\vee q)\wedge r\quad \equiv\quad (p \wedge r) \vee (q\wedge r),\qquad(p\wedge q)\vee r\quad \equiv\quad (p \vee r) \wedge (q\vee r) (disztributív szabályok)

Halmazok

3. Tudva hogy:

A\cup B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \vee x\in B\}
A\cap B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \wedge x\in B\}
A\subseteq B\Leftrightarrow_\mathrm{def}\mbox{ minden }x\mbox{-re } x\in A \Rightarrow x\in B
A= B\Leftrightarrow_\mathrm{def} A\subseteq B\;\wedge\;B\subseteq A

igazoljuk, hogy

a) A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)
b) A\cap(B\cup A)=A
c) A\cup(B\cap A)=A

Halmazok Boole-algebrája

4. Felhasználva, hogy

A\setminus B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \wedge x\notin B\}
\overline{A}|_H=_\mathrm{def}\{x\in H\mid x\notin A\} illetve
A\setminus B=A\cap \overline{B}

igazolja, hogy minden A, B, C halmazra

a) A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)
b) A\setminus(A\setminus B)=B\setminus (B\setminus A)
c) (A\cap B)\setminus(A\setminus C)=A\cap B\cap C

Egyéb

5. Legyen A, B és C tetszőleges halmaz, továbbá legyen

K=(A\setminus(B\setminus C))\setminus C és
 L=(A\setminus B)\cup(A\cap C)

Vizsgáljuk meg, hogy melyik tartalmazás áll fenn!

  1. K\subseteq L
  2.  K\supseteq L

6. Mely X halmazokra teljesülnek az alábbi egyenletek, ha A és B tetszőleges halmazok?

a) A\setminus X=X\setminus A\,
b)  (A\setminus X)\cup B=X\,





Haladó szintre hozó 2. téma
Személyes eszközök