Haladó szintre hozó kurzus/1

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2016. június 28., 20:34-kor történt szerkesztése után volt.
Ez az szócikk a Haladó szintre hozó szócikk alszócikke.

Kijelentéslogika

1. Igazoljuk igazságtáblázattal, hogy a következő kijelentések mindig igazak:

a) p\Rightarrow(p\vee q), q\Rightarrow(p\vee q) (a "vagy" alaptulajdonsága)
b) (p\wedge (\neg p))\Rightarrow q (a "hamisból" minden következik)
c) q\Rightarrow (p\vee (\neg p)) (az "igaz" mindenből következik)
d) [(p\Rightarrow r) \wedge (q\Rightarrow r)\wedge (p\vee q)]\Rightarrow r (az esetszétválasztás szabálya)

2. Igazoljuk igazságtáblázattal, hogy alább a ≡ két oldalán álló kifejezés mindig ugyanolyan igazságértékű!

a) \neg(p\Rightarrow q)\quad \equiv\quad [(\neg q)\Rightarrow (\neg p)]\qquad (a kontrapozíció szabálya)
b) (p\Rightarrow q)\quad \equiv\quad (\neg p)\vee q (a "ha-akkor" jellemzése "vagy"-gyal és "nem"-mel)
c) \neg (p\vee q)\quad \equiv\quad (\neg p)\wedge (\neg q),\qquad\neg(p\wedge q)\quad \equiv\quad (\neg p)\vee (\neg q)\qquad (De-Morgan-szabályok)
d) (p\vee q)\wedge r\quad \equiv\quad (p \wedge r) \vee (q\wedge r),\qquad(p\wedge q)\vee r\quad \equiv\quad (p \vee r) \wedge (q\vee r) (disztributív szabályok)

Halmazok

3. Tudva hogy:

A\cup B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \vee x\in B\}
A\cap B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \wedge x\in B\}
A\subseteq B\Leftrightarrow_\mathrm{def}\mbox{ minden }x\mbox{-re } x\in A \Rightarrow x\in B
A= B\Leftrightarrow_\mathrm{def} A\subseteq B\;\wedge\;B\subseteq A

igazoljuk, hogy

a) A\cap(B\cup C)=(A\cap B)\cup(A\cap C)
b) A\cap(B\cup A)=A
c) A\cup(B\cap A)=A

Halmazok Boole-algebrája

4. Felhasználva, hogy

A\setminus B=_\mathrm{def}\{x\mid x\in A \wedge x\notin B\}
\overline{A}|_H=_\mathrm{def}\{x\in H\mid x\notin A\} illetve
A\setminus B=A\cap \overline{B} (ahol H-ra vonatkozik a komplementerképzés)

igazolja, hogy minden A, B, C halmazra

a) A\setminus(B\setminus C)=(A\setminus B)\cup (A\cap C)
b) A\setminus(A\setminus B)=B\setminus (B\setminus A)
c) (A\cap B)\setminus(A\setminus C)=A\cap B\cap C

5. Legyen A, B és C tetszőleges halmaz, továbbá legyen

K=(A\setminus(B\setminus C))\setminus C és
 L=(A\setminus B)\cup(A\cap C)

Vizsgáljuk meg, hogy melyik tartalmazás áll fenn!

  1. K\subseteq L
  2.  K\supseteq L






Haladó szintre hozó 2. téma
Személyes eszközök