Haladó szintre hozó kurzus/2
A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
Mozo (vitalap | szerkesztései) (Új oldal, tartalma: „:''Ez az szócikk a Haladó szintre hozó szócikk alszócikke.'' ==Kvantorok felcserélhetősége== '''1.''' Legyen (a<sub>n</sub>) valós számsorozat, '''N''' …”) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Természetes számok) |
||
(egy szerkesztő 16 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
:''Ez az szócikk a [[Haladó szintre hozó]] szócikk alszócikke.'' | :''Ez az szócikk a [[Haladó szintre hozó]] szócikk alszócikke.'' | ||
− | ==Kvantorok | + | ==Kvantorok== |
+ | |||
+ | '''1.''' Legyen (a<sub>n</sub>) valós számsorozat, '''N''' természetes számok halmaza, [0,∞) a nemnegatív számoké. Igazak-e az alábbi következtetések? | ||
+ | :a) <math>(\forall K\in [0,\infty))(\forall n\in \mathbf{N})(\,|a_n|\leq K\,)\quad \Rightarrow \quad(\forall n\in \mathbf{N})(\forall K\in [0,\infty))(\,|a_n|\leq K\,)</math> | ||
+ | :b) <math>(\exists K\in [0,\infty))(\forall n\in \mathbf{N})(\,|a_n|\leq K\,)\quad \Rightarrow \quad(\forall n\in \mathbf{N})(\exists K\in [0,\infty))(\,|a_n|\leq K\,)</math> | ||
+ | :c) <math>(\forall K\in [0,\infty))(\exists n\in \mathbf{N})(\,|a_n|\leq K\,)\quad \Rightarrow \quad(\exists n\in \mathbf{N})(\forall K\in [0,\infty))(\,|a_n|\leq K\,)</math> | ||
+ | :d) <math>(\exists K\in [0,\infty))(\exists n\in \mathbf{N})(\,|a_n|\leq K\,)\quad \Rightarrow \quad(\exists n\in \mathbf{N})(\exists K\in [0,\infty))(\,|a_n|\leq K\,)</math> | ||
+ | |||
+ | '''2.''' Formalizáljuk az alábbi kifejezéseket és írjuk föl a negációjukat (tagadásukat). | ||
+ | :a) Minden tanyán van banya, aki tunya. | ||
+ | :b) Van olyan tanya, ahol van tunya banya. | ||
+ | :c) Ha minden tanyán van tunya banya, akkor van olyan banya, aki minden tanyán tunya. | ||
+ | :d) Mindenki szeret valakit. | ||
+ | :e) Mindenkit szeret valaki. | ||
+ | :f) Valakit mindenki szeret. | ||
+ | :g) Minden delegátus elhozta feleségét, vagy nem hozta el és jól érezte magát. | ||
+ | |||
+ | ==Vegyes== | ||
+ | |||
+ | '''3.''' Legyen ∅ az üres halmaz (a halmaz, aminek egyetlen eleme sincs) és legyen A és B tetszőleges halmazok. Igazak-e az alábbiak és ha igen, igazoljuk, ha nem cáfoljuk. | ||
+ | |||
+ | Használjuk fel, hogy | ||
+ | :<math>H\subseteq K</math> definíciója: <math>(\forall x)(x\in H \Rightarrow x\in K) | ||
+ | </math> | ||
+ | továbbá, hogy a ''H'' halmaz ''P(H)'' hatványhalmaza: | ||
+ | :<math>\mathcal{P}(H)=\{X\mid X\subseteq H\}</math> | ||
+ | |||
+ | :a) <math>\emptyset\subseteq A</math> | ||
+ | :b) <math>A\cap B=A,</math> akkor és csak akkor, ha <math>A\subseteq B</math> | ||
+ | :c) <math>A\cap B=A,</math> akkor és csak akkor, ha <math>B\subseteq A</math> | ||
+ | :d) <math>\mathcal{P}(A\cap B)=\mathcal{P}(A)\cap \mathcal{P}(B)</math> | ||
+ | :e) <math>\mathcal{P}(A\cup B)=\mathcal{P}(A)\cup \mathcal{P}(B)</math> | ||
+ | |||
+ | ==Természetes számok== | ||
+ | |||
+ | '''4.''' Mely ''p'' prímszámra lesz ''p'' + 2 és ''p'' + 8 is prímszám? | ||
+ | |||
+ | '''5. ''' Igazoljuk '''teljes indukcióval,''' hogy minden ''n'' természetes számra: | ||
+ | :a) <math>5^n-2^n\,</math> osztható 3-mal | ||
+ | :b) <math>11^n-1\,</math> osztható 10-zel | ||
+ | |||
+ | '''6.''' Igazoljuk '''teljes indukcióval,''' hogy minden ''n'' természetes számra: | ||
+ | :a) <math>2^n>n\,</math> | ||
+ | :b) ha n>0, akkor <math>3^n>2^n+n\,</math> | ||
− | |||
− | |||
<center> | <center> | ||
{| class="wikitable" style="text-align:center" | {| class="wikitable" style="text-align:center" | ||
|- bgcolor="#efefef" | |- bgcolor="#efefef" | ||
− | ||[[Haladó szintre hozó/1|1. téma]] || [[Haladó szintre hozó/3|3. téma]] | + | ||[[Haladó szintre hozó kurzus/1|1. téma]] || [[Haladó szintre hozó kurzus/3|3. téma]] |
|} | |} | ||
</center> | </center> | ||
[[Kategória:Haladó szintre hozó]] | [[Kategória:Haladó szintre hozó]] |
A lap jelenlegi, 2016. augusztus 8., 22:04-kori változata
- Ez az szócikk a Haladó szintre hozó szócikk alszócikke.
Kvantorok
1. Legyen (an) valós számsorozat, N természetes számok halmaza, [0,∞) a nemnegatív számoké. Igazak-e az alábbi következtetések?
- a)
- b)
- c)
- d)
2. Formalizáljuk az alábbi kifejezéseket és írjuk föl a negációjukat (tagadásukat).
- a) Minden tanyán van banya, aki tunya.
- b) Van olyan tanya, ahol van tunya banya.
- c) Ha minden tanyán van tunya banya, akkor van olyan banya, aki minden tanyán tunya.
- d) Mindenki szeret valakit.
- e) Mindenkit szeret valaki.
- f) Valakit mindenki szeret.
- g) Minden delegátus elhozta feleségét, vagy nem hozta el és jól érezte magát.
Vegyes
3. Legyen ∅ az üres halmaz (a halmaz, aminek egyetlen eleme sincs) és legyen A és B tetszőleges halmazok. Igazak-e az alábbiak és ha igen, igazoljuk, ha nem cáfoljuk.
Használjuk fel, hogy
- definíciója:
továbbá, hogy a H halmaz P(H) hatványhalmaza:
- a)
- b) akkor és csak akkor, ha
- c) akkor és csak akkor, ha
- d)
- e)
Természetes számok
4. Mely p prímszámra lesz p + 2 és p + 8 is prímszám?
5. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden n természetes számra:
- a) osztható 3-mal
- b) osztható 10-zel
6. Igazoljuk teljes indukcióval, hogy minden n természetes számra:
- a)
- b) ha n>0, akkor
1. téma | 3. téma |