Informatics1-2017/Practice9
Tartalomjegyzék |
Octave
Octave is a numerical calculator, its the free (opensource) version of MatLab.
First steps
Getting the program
Use one of the following from home:
- install Octave, free for all platforms
- using putty log in to leibniz, start octave with the octave command
- run octave from the computer lab
Calculator
Octave can be used as an advanced calculator. Try the following (after entering octave):
2 + 3
press Enter:
> 2 + 3 ans = 5
Try these as well:
2 - 3 2 * 3 2 / 3 floor (2 / 3) mod (2, 3) 2^3 sqrt (2) log (2) log (3) log (8) / log (2) exp (1) pi cos (pi / 2) (180 / pi) * acos (0.5)
This is how you quit
exit
Data types
Every number is a floating point number, even if it happens to be an integer:
1000 / 9 ans = 111.11
We can however force it to use integers:
int32 (1000) / int32 (9) ans = 111
In Octave every number is real as long as it does not turn out to be complex:
sqrt (2) sqrt (-2)
Number representation
- double: double precision float, 64 bit (8 byte)
- real: 8 byte
- complex: 16 byte
- single: single precision float, 32 bit (4 byte)
- real: 4 byte
- complex: 8 byte
- int32: 32 bites two's complement integer (4 byte)
- int8: 8 bites two's complement integer -128..127 (1 byte)
- uint32: 32 bites unsigned integer (4 byte)
- uint8: 8 bites unsigned integer: 0..255 (1 byte)
Size does matter:
log(single(1.0001)) log(double(1.0001)) int32(100+100) int8(100+100)
Matrices
Az octave-ban minden szám egy mátrix
- számok: 1x1
- vektorok:
- sorvektor: 1xn
- oszlopvektor: nx1
- matrix: nxm
Ennek alapos oka van, amit majd később fogunk megérteni és ami a MatLab leglényegéhez vezet bennünket, ezt vette át az octave is. Bővebben itt.
Sorvektor:
[1 2 3 4] [1, 2, 3, 4]
Oszlopvektor:
[1; 2; 3; 4]
Ez nem oszlopvektor:
[[1], [2], [3], [4]]
Mátrix:
[1 2; 3 4] [1, 2; 3, 4]
Speciális mátrixok:
- zeros: csupa 0
- ones: csupa 1
- eye: diagonálisban 1, máshol 0
- diag: négyzetes diagonális mátrix, megadott főátlóval
zeros (2, 3) eye (2, 3) ones (3, 1) diag ([1, 2, 3, 4])
Próbáljuk ki:
size (5) size ([1, 2, 3]) size ([1; 2; 3])
Tartományok
A tartományok speciális sorvektorok, próbáljuk ki:
1:10
Ha nem egyesével akarunk ugrani:
1:0.1:2 1:2:10
Komplex számmal nem lehet, mert azok nem rendezhetőek!
Az eredmény mindig double lesz, de utána konvertálhatjuk:
int32 (1:0.5:10)
Leszálló tartományok:
4:-1:1
Üres tartomány:
4:1:1 4:1
Diagonális mátrixot megadhatunk így is:
> diag(1:4) ans = 1 0 0 0 0 2 0 0 0 0 3 0 0 0 0 4
typeinfo
Egy érték típusáról meggyőződhetünk a typeinfo paranccsal.
typeinfo (1)
typeinfo (int32(1))
typeinfo (i)
typeinfo ([1 2 3 4])
typeinfo ([1 i -1 -i])
typeinfo (1:4)
typeinfo ([1:4])
typeinfo (1 >= 0)
typeinfo ("szöveg")
typeinfo ([1 + 2i 1 - 1i])
Műveletek mátrixokkal
Mivel minden szám egyben egy 1x1-es mátrix, így ezek mindig használhatóak.
Transzponált
Transzponált egyszerűen vesszővel ('):
> [1 2; 3 4]' ans = 1 3 2 4 > _
Vagy
> (1:4)' ans = 1 2 3 4
Komplex mátrixokra a vessző adjungálást jelent, azaz a transzponált elemenként konjugáltját:
> [1 2i; 3i 4]' ans = 1 - 0i 0 - 3i 0 - 2i 4 - 0i
Konjugálást így csinálhatunk: (2 + 1i)'
Összeadás
1 + (1:4) eye (2, 2) + ones (2, 2) [1; 2; 3; 4] - [4; 3; 2; 1]
Szorzás
Minden szorzás mátrixszorzás:
> [1 2; 3 4]*[1 2; 3 4] ans = 7 10 15 22
Hatványozás szintén, így az invertálás is:
[1 2; 3 4]^2 [1 2; 3 4]^-1
A szorzásnál a méreteknek kompatibiliseknek kell lenniük:
ones (2, 3) * ones (3, 5)
Sorvektor szorozva oszlopvektorral a skalárszorzás, fordítva diádszorzatnak hívjuk:
[1,2,3]*[1;2;3] [1;2;3]*[1,2,3]
Tagonként vagy mátrixként
Ha a hatványozást ismételt mátrixszorzásként értelmezi, akkor ez mi?
[1 2; 3 4]^0.5
És ez mi?
sqrt([1 2; 3 4])
Bizonyos műveletek tagonként hatnak ha egy mátrixra alkalmazzuk, míg mások mátrix-műveletként. De tudunk váltani köztük.
> (1:4)^2 error: for A^b, A must be a square matrix
Hibát ad, mert két 1x4-es mátrixnak nem értelmes a szorzata. De:
> (1:4).^2 ans = 1 4 9 16
Minden műveleti jel olyan, hogy ha elé pontot rakunk, akkor elemenként hat. Például az összeadásnál a mátrix összeadás és az elemenkénti összeadás ugyan az.
> [1 2; 3 4] + [1 2; 3 4] ans = 2 4 6 8 > [1 2; 3 4] .+ [1 2; 3 4] ans = 2 4 6 8
De a szorzásnál már különböznek:
> [1 2; 3 4] * [1 2; 3 4] ans = 7 10 15 22 > [1 2; 3 4] .* [1 2; 3 4] ans = 1 4 9 16
Hatványozás hasonlóan:
> [1 2; 3 4]^-1 ans = -2.00000 1.00000 1.50000 -0.50000 > [1 2; 3 4].^-1 ans = 1.00000 0.50000 0.33333 0.25000
A nevesített függvények általában elemenként hatnak:
sin (0:0.1:2*pi) exp ([0,-1;1,0])
A műveleti jelek pedig mátrix műveletként (*, ^, /, \)
Változók
Ahhoz hogy ne csak egy soros dolgokat tudjunk számolni, az adatokat változókban tároljuk.
a = 2 b = 3 a + b
Mindig van egy ans nevű változónak, amiben az utoljára kiszámolt érték található.
Ha nincsen érték adva egy változónak, akkor nem tudunk hivatkozni rá:
> a / q error: `q' undefined
A pontosvesszővel (;) csendes számolást végezhetünk, ekkor a parancs eredménye nem lesz kiírva:
a = 2; b = 3; a + b
A whos paranccsal megnézhetjük az aktuálisan tárolt változóinkat.
> whos
Variables in the current scope:
Attr Name Size Bytes Class
==== ==== ==== ===== =====
a 1x1 8 double
ans 1x1 8 double
b 1x1 8 double
Total is 3 elements using 24 bytes
Egy változó értékét bármikor felülírhatjuk:
> a = 2;
> a = [1 2; 3 4];
> whos
Variables in the current scope:
Attr Name Size Bytes Class
==== ==== ==== ===== =====
a 2x2 32 double
Indexelés
Legyen M egy 3x3-as mátrix. Ennek az i-edik sorának j-edik eleme a következő.
M = rand(3,3); i = 1; j = 3; M(i,j)
Mátrixok összefűzése:
[M M] [M; M]
Részsorozat kiválasztása a tartományok használatával:
l = 0:0.1:1; l (:) l (1:11) l (1:5) l (5:end) l (1:2:11)
Sőt:
l (1:2:11) = 0
Részmátrix hasonlóan, csak két indexszel.
A = [1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; A (1:3, 1:2) A (1:2, 1:3)
Egy sor kihagyása:
A ([1, 3], :)
Vagy részmátrix kiválasztása:
S = ones (8, 8); S (3:6, 3:6) = -1
Vagy adott indexekre:
S = ones (8, 8); S ([1 2 8], [2 6]) = 8
Mátrix kilapítása:
A = eye (3, 3); A (:)
Vektorizáció
Az Octave-ban (MatLab-ban) általában egyszerre sok dolgot számolunk, nem csak egy értéken értékelünk ki egy függvényt. Például az X mátrix minden sorának számoljuk ki a normáját (X lehet nx3-as, ahol n nagyon sok):
X = rand (10, 3); sqrt (sum (X.^2, 2)) ans = 0.99105 0.86977 1.29362 0.91697 1.26149 0.84024 1.45410 1.19791 1.01153 1.07420
Belülről kifelé haladva elemezzük a függvényeket:
- X.^2: kiszámolja az elemenkénti négyzetet
- sum(●, 2): összegzi a mátrix sorait egy oszlopvektorba (a 2 azt jelenti, a tömb második dimenziója, azaz a 2. index mentén)
- sqrt: elemenként gyököt von
Számoljuk ki a 2x^2-3x+1 függvényértékeket, ahol x egy sorvektor:
x=0:0.1:1; fx=2.*x.^2 - 3.*x + 1
A vektorizáció lényege, hogy ahol lehet mátrix és vektor műveletekre vezessük vissza a számításainkat, mert 1000 darab számpár összeszorzása lassabb, mint két darab 1000 hosszú vektor szorzása!
Függvények
Írjuk be az octave a parancssorába a következőket, vigyázzunk több soros lesz!
> function fx = f (x) > fx = 1 / (x^2 + 1); > endfunction
Majd próbáljuk ki:
> f(3) ans = 0.10000
Függvények megadása:
function <<az eredmény>> = <<a függvény neve>> (<<változók>>) ... endfunction
A függvény hasában bármit számolhatunk, de a végén adjunk értéket <<az eredmény>> változónak. A függvény hasában érdemes csendes számítást végezni, itt használjunk mindenütt pontosvesszőt (;) a sor végén!
Egy másik függvény:
function R = remove_last (x) R = x (1:end-1); endfunction
Példa:
> remove_last (1:5) ans = 1 2 3 4
Feladatok
Elemi sorműveletek elvégzése
Hozzunk létre egy egyjegyű nemnegatív egészekből álló 4x5-ös mátrixot, majd cseréljük ki két sorát, szorozzuk be a második sorát 2-vel és adjuk az első sorának kétszeresét a harmadik sorhoz! (A mátrix redukált lépcsős alakjának meghatározására azért a rref függvényt használjuk!)
Mi ez?
Figyeljük meg a következőket.
A=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9]; B=[9 8 7; 6 5 4; 3 2 1]; trace (A*B') A(:)' * B(:)
Mi a trace(A*B')?
LER
Számoljuk ki a következő lineáris egyenletrendszer megoldását:
x + 2y = 3 4x + 5y = 6
1. megoldás:
A = [1 2; 4 5] b = [3; 6] x = A^-1 * b
2. megoldás:
x = A \ b
Még LER
Oldjuk meg a következő egyenletrendszereket:
x + 5y = 1 2x + 4y = 2
x + 5y = 1 2x + 4y = 2 5x - 6y = -1
x + 2y + 5z = 1 5x + 4y + 6z = 2
Nagy mátrix okosan
- Készítsük el a következő mátrixot okosan! (Minél kevesebb karaktert használva.)
1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 5 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 7 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 9 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10
- És most ezt:
0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 -1 0
- Sakktáblaszabály
1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1 -1 1
Függvény mátrixokon
Írjunk függvényt, mely az adott mátrix minden elemére alkalmazza a 2sin2x + 1 függvényt.
Részmátrix
Írjunk függvényt, mely egy 5x5-ös mátrix 2. és 4. sorából és 1., 3. és 5. oszlopából álló mátrixot adja.
Részmátrixon függvény
Írjuk meg az elõzõ két függvény kombinációját, mely az adott mátrix 2. és 4. sorából és 1., 3. és 5. oszlopából álló mátrixon alkalmazza a 2sin2x + 1 függvényt.
Minden második oszlop
Írjunk függvényt, mely tetszőleges mátrix minden második oszlopából álló mátrixot adja vissza. (Segítség, a size sorvektorban megadja a mátrix dimenzióját.)
Függvény alkalmazás csak adott elemeken
Írjunk függvényt, mely a kapott mátrix csak minden második oszlopán hajtja végre a 2sin2x + 1 függvényt. (Az eredmény mátrix dimenziója ugyanaz, mint a kapott mátrix.)
Segíts magadon
Az octave dokumentációjában, a stackoverflow-n vagy a Google-n. Az elemi szintű dolgok általában a Matlab help segítségével is megkereshetők.
Numerikus deriválás
Deriváljuk az f(x)=2x^2-3x+1 függvényt numerikusan! Adott egy x sorvektor, ami az abszcissza értékeket tartalmazza, fx pedig a hozzájuk tartozó függvényértékeket.
x = 0:0.1:1 fx = 2.*x.^2 - 3.*x + 1
Ekkor a függvény numerikus deriváltja:
df = (fx(2:end) - fx(1:end-1)) ./ 0.1
Nem egyenletes lépésközzel pedig:
df = (fx(2:end) - fx(1:end-1)) ./ (x(2:end) - x(1:end-1))
