Informatika1-2009/sagelinalgkovetelmeny

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Morap (vitalap | szerkesztései) 2009. december 3., 00:01-kor történt szerkesztése után volt.
  • vector, matrix, random_matrix, identity_matrix,
  • ZZ, IntegerRing, QQ, RationalField, RR, RealField, RDF, CC, ComplexField, CDF, GF(p),
  • echelon_form, solve_right, solve_left,
  • transpose, det (ugyanaz, mint a determinant), trace, rank, right_nullity, left_nullity,
  • VectorSpace, dimension, basis, span, is_subspace, row_space, column_space, basis_matrix, coordinates,
  • right_kernel, left_kernel, intersection, +
  • charpoly, eigenvalues, eigenvectors_right, eigenspaces_right,
  • jordan_block, block_sum, jordan_form

Kérdések:

1. Hozzunk létre egy 3x4-es racionális elemű véletlen mátrixot!

  • random_matrix(QQ,3,4)

2. Egy mátrix sajátértékei 5 és 4, az elsőnek 2, a másodiknak 3 a multiplicitása. Mindkettőhöz egydimenziós altér tartozik. Konstruáljuk meg a Jordan-féle normálalakját!

  • jordan_block(5,2).block_sum(jordan_block(4,3))

3. Melyik egyenletrendszer megoldása az M\b vektor, ahol M mátrix, b vektor?

  • M*x=b

4. Ha M egy 5x6-os mátrix, akkor mennyivel egyenlő M.right_nullity()+M.row_space().dimension()

  • 6

5. Ha M egy 5x6-os mátrix, melynek rangja 3, akkor az RM=M.row_space().basis_matrix() mátrix hányszor hányas?

  • 3x6

6. Ha egy V vektortér esetén a V.basis() parancsra a

  [
  (1, 0, -1),
  (0, 1, 2)
  ]

választ kapjuk, akkor mi a kimenete a V.coordinates(vector([1,3,5])) parancsnak?

  • [1,3], mert a V a háromdimenziós tér egy kétdimenziós altere, ahol az első bázisvektor és a második háromszorosának összege egyenlő az (1,3,5) vektorral, tehát e bázisra vonatkozó koordinátái 1 és 3.

7. Mit jelent a ,,Free module of degree 4 and rank 2 over Integer Ring" kifejezés, és milyen objektumra mondja ezt a sage?

  • A ZZ^4, vagyis az egészek gyűrűje feletti 4-dimenziós szabad modulus egy 2-rangú, azaz 2-dimenziós részmodulusára. (A szabad modulus abban különbözik a vektortértől, hogy nem test, hanem gyűrű felett van definiálva. A kérdésbeli objektum az egészek gyűrűjéből képzett 4-dimenziós vektorokból áll.)

8. Ha M egy négyzetes mátrix, akkor mi a kimenete a következő parancsoknak?

  D, P = M.eigenmatrix_right() 
  P*D*~P
  • Az M mátrixot kapjuk, ugyanis D a sajátértékek diagonális mátrixa, P a transzformáció mátrixa.

9. Ha N egy négyzetes mátrix, akkor mi a kimenete a következő parancsoknak?

  J, P = N.jordan_form( transformation=True )
  ~P*N*P
  • A J mátrixot, azaz az N Jordan-féle normálalakját kapjuk.
Személyes eszközök