Komplex számok elemi analitikus tulajdonságai
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Topologikus fogalmak) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→'''R'''- és '''C'''-linearitás) |
||
46. sor: | 46. sor: | ||
:<math>f(z)=A\mathrm{Re}(z)+B\mathrm{Im}(z)+\mathrm{i}(C\mathrm{Re}(z)+D\mathrm{Im}(z))\,=</math> | :<math>f(z)=A\mathrm{Re}(z)+B\mathrm{Im}(z)+\mathrm{i}(C\mathrm{Re}(z)+D\mathrm{Im}(z))\,=</math> | ||
:::<math>=(A+\mathrm{i}C)\mathrm{Re}(z)+(B+\mathrm{i}D)\mathrm{Im}(z)= \,</math> | :::<math>=(A+\mathrm{i}C)\mathrm{Re}(z)+(B+\mathrm{i}D)\mathrm{Im}(z)= \,</math> | ||
− | :::<math> =(A+\mathrm{i}C)\frac{z+\overline{z}}{2}+(B+\mathrm{i}D)\frac{z-\overline{z}}{2}=</math> | + | :::<math> =(A+\mathrm{i}C)\frac{z+\overline{z}}{2}+(B+\mathrm{i}D)(-\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=</math> |
+ | :::<math> =(A+\mathrm{i}C)\frac{z+\overline{z}}{2}+(D-B\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=</math> | ||
:::<math> =w_1z+w_2\overline{z}</math> | :::<math> =w_1z+w_2\overline{z}</math> | ||
− | ahol ''w''<sub>1</sub>=(''A'' + '' | + | ahol ''w''<sub>1</sub>=(''A'' + ''D'')/2 + i(''C''-''B'')/2 és ''w''<sub>2</sub>=(''A'' - ''D'')/2 + i(''C''+''B'')/2, azaz tetszőlegesen választható komplex számok. |
+ | |||
+ | Világos, hogy csak a ''w''<sub>1</sub>''z'' tag '''C'''-lineáris is egyben, a második nem. Tehát kimondhatjuk: | ||
+ | |||
+ | Egy ''f''(''z'') '''R'''-lineáris leképezés akkor és csak akkor '''C''' lineáris, ha az ''f'' '''R'''-lineárist reprezentáló '''A''' mátrix elemei között fennáll: | ||
+ | : <math>a_{11}=a_{22}\,</math> és | ||
+ | : <math>a_{12}=-a_{21}\,</math> | ||
+ | |||
+ | Ezeket az egyenleteket akár Cauchy–Riemann-egyenleteknek is nevezhetnénk amiatt, hogy a komplex függvények, mint '''R'''<sup>2</sup>-ből '''R'''<sup>2</sup>-be menő differenciálható függvény Jacobi-mátrixaira vonatkoztatva ezeket, az előbbi módon nevezik őket. | ||
+ | |||
[[Kategória:Komplex analízis]] | [[Kategória:Komplex analízis]] |
A lap 2008. május 23., 22:01-kori változata
A komplex számok teste, mint kétdimenziós valós test feletti vektortér első megközelítésben vizsgálható a valós analízis eszközeivel. A komplex szorzás művelete miatt azonban olyan jellegzetességek és sajátosságok tapasztalhatók ebben a vektortérben, melyek nagy mértékben indokolják a kimondottan komplex analitikus fogalmak létét.
Topologikus fogalmak
A C testen, mint az R2 vektortérbeli (a,b) ≡ a + bi és (c,d) ≡ c + di elemei a
szorzásával ellátott testen értelmes topológiát alkot, az R2
normája által generált topológiája. Speciálisan p = 2 -re az euklideszi topológiát, a
norma topológiáját kapjuk. (Természetesen teljesen mindegy, hogy melyik normát vesszük R2-ben, mert mindegyik ugyanazokat a nyílt halmazokat határozza meg).
Azt, hogy értelmes ezt a normát, illetve topológiát bevezetni C-n az indokolja, hogy C mindkét művelete folytonos ezekben a normákban.
Összeadás.
Rögzített a + bi komplex számra az
leképezés valós affin leképezés, így nemcsak folytonos, de totálisan differenciálható és Jacobi-mátrixa az egységmátrix (differenciálja pedig az identitás leképezés). Emiatt még valós analitikus is, hiszen az a + x és b + y függvények triviális hatványsorok.
Természetsen a (z,w) z + w leképezés is folytonos lesz, de az R2 × R2 szorzattér és a R2 tér topológiája szerint. (Sőt valós analitikus.)
Szorzás.
Rögzített a + bi komplex számra az
szorzás szintén folytonos, sőt totálisan differenciálható (sőt valós analitikus) leképezés, hiszen lineáris és Jacobi-mátrixa:
Megjegyzendő, hogy a komplex számok mártixreprezentációja pontosan ilyen alakú mátrixok halmazaként definiálja C-t (persze a és b valósak), ahol a szorzás a mátrixszorzás. Ez a fenti Jacobi-mátrixból is jól látható, hisz lineáris leképezések differenciálja pont ugyanaza leképezés, így két ilyen kompozíciójának a szorzata egyenlő a differenciáljaik szorzatával.
Multiplikatív inverz.
A nemnullvektorok halmazán értelmezett
leképezés szintén folytonos, sőt differenciálható (hiszen olyanokból van azt megőrző módon összetéve).
R- és C-linearitás
Az f: C C
- a + b i c + d i
leképezés definíció szerint R-lineáris, ha mint R2-ből R2-be menő függvény, azaz
- (a,b) (c,d)
lineáris a valós számok teste felett. Az R-lineáris függvények általános alakja, mint kétváltozós függvény nyilván:
ahol A,B,C és D valós számok. Komplex alakba írva:
ahol w1=(A + D)/2 + i(C-B)/2 és w2=(A - D)/2 + i(C+B)/2, azaz tetszőlegesen választható komplex számok.
Világos, hogy csak a w1z tag C-lineáris is egyben, a második nem. Tehát kimondhatjuk:
Egy f(z) R-lineáris leképezés akkor és csak akkor C lineáris, ha az f R-lineárist reprezentáló A mátrix elemei között fennáll:
- és
Ezeket az egyenleteket akár Cauchy–Riemann-egyenleteknek is nevezhetnénk amiatt, hogy a komplex függvények, mint R2-ből R2-be menő differenciálható függvény Jacobi-mátrixaira vonatkoztatva ezeket, az előbbi módon nevezik őket.