Komplex számok elemi analitikus tulajdonságai

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
('''R'''- és '''C'''-linearitás)
('''R'''- és '''C'''-linearitás)
42. sor: 42. sor:
 
:(''a'',''b'') <math>\mapsto</math> (''c'',''d'')
 
:(''a'',''b'') <math>\mapsto</math> (''c'',''d'')
 
lineáris a valós számok teste felett. Az '''R'''-lineáris függvények általános alakja, mint kétváltozós függvény nyilván:
 
lineáris a valós számok teste felett. Az '''R'''-lineáris függvények általános alakja, mint kétváltozós függvény nyilván:
:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}Ax+By\\Cx+Dy\end{pmatrix}</math>
+
:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}a_{11}x+a_{12}y\\a_{21}x+a_{22}y\end{pmatrix}=A\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}</math>
ahol A,B,C és D valós számok. Komplex alakba írva:
+
ahol A mátrixelemei valós számok. Komplex alakba írva:
:<math>f(z)=A\mathrm{Re}(z)+B\mathrm{Im}(z)+\mathrm{i}(C\mathrm{Re}(z)+D\mathrm{Im}(z))\,=</math>
+
:<math>f(z)=a_{11}\mathrm{Re}(z)+a_{12}\mathrm{Im}(z)+\mathrm{i}(a_{21}\mathrm{Re}(z)+a_{22}\mathrm{Im}(z))\,=</math>
:::<math>=(A+\mathrm{i}C)\mathrm{Re}(z)+(B+\mathrm{i}D)\mathrm{Im}(z)= \,</math>
+
:::<math>=(a_{11}+\mathrm{i}a_{21})\mathrm{Re}(z)+(a_{11}+\mathrm{i}a_{22})\mathrm{Im}(z)= \,</math>
:::<math> =(A+\mathrm{i}C)\frac{z+\overline{z}}{2}+(B+\mathrm{i}D)(-\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=</math>
+
:::<math> =(a_{11}+\mathrm{i}a_{21})\frac{z+\overline{z}}{2}+(a_{12}+\mathrm{i}a_{22})(-\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=</math>
:::<math> =(A+\mathrm{i}C)\frac{z+\overline{z}}{2}+(D-B\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=</math>
+
:::<math> =(a_{11}+\mathrm{i}a_{21})\frac{z+\overline{z}}{2}+(a_{22}-a_{12}\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=</math>
 
:::<math> =w_1z+w_2\overline{z}</math>
 
:::<math> =w_1z+w_2\overline{z}</math>
ahol ''w''<sub>1</sub>=(''A'' + ''D'')/2 + i(''C''-''B'')/2 és ''w''<sub>2</sub>=(''A'' - ''D'')/2 + i(''C''+''B'')/2, azaz tetszőlegesen választható komplex számok.
+
ahol ''w''<sub>1</sub>=(''a''<sub>11</sub> + ''a''<sub>22</sub>)/2 + i(''a''<sub>21</sub>-''a''<sub>12</sub>)/2 és ''w''<sub>2</sub>=(''a''<sub>11</sub> - ''a''<sub>22</sub>)/2 + i(''a''<sub>21</sub> + ''a''<sub>12</sub>)/2, azaz tetszőlegesen választható komplex számok.
  
 
Világos, hogy csak a ''w''<sub>1</sub>''z'' tag '''C'''-lineáris is egyben, a második nem. Tehát kimondhatjuk:
 
Világos, hogy csak a ''w''<sub>1</sub>''z'' tag '''C'''-lineáris is egyben, a második nem. Tehát kimondhatjuk:

A lap 2008. május 25., 08:20-kori változata

A komplex számok teste, mint kétdimenziós valós test feletti vektortér első megközelítésben vizsgálható a valós analízis eszközeivel. A komplex szorzás művelete miatt azonban olyan jellegzetességek és sajátosságok tapasztalhatók ebben a vektortérben, melyek nagy mértékben indokolják a kimondottan komplex analitikus fogalmak létét.

Topologikus fogalmak

A C testen, mint az R2 vektortérbeli (a,b) ≡ a + bi és (c,d) ≡ c + di elemei a

(a+b\mathrm{i})\cdot (c+d\mathrm{i})=_{\mathrm{def}}

szorzásával ellátott testen értelmes topológiát alkot, az R2

||(x,y)||_p:=(|x|^p+|y|^p)^{1/p}\,

normája által generált topológiája. Speciálisan p = 2 -re az euklideszi topológiát, a

|(x,y)|:=\sqrt{|x|^2+|y|^2}\,

norma topológiáját kapjuk. (Természetesen teljesen mindegy, hogy melyik normát vesszük R2-ben, mert mindegyik ugyanazokat a nyílt halmazokat határozza meg).

Azt, hogy értelmes ezt a normát, illetve topológiát bevezetni C-n az indokolja, hogy C mindkét művelete folytonos ezekben a normákban.

Összeadás.

Rögzített a + bi komplex számra az

(a,b)+.\;:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}a + x\\b + y\end{pmatrix}

leképezés valós affin leképezés, így nemcsak folytonos, de totálisan differenciálható és Jacobi-mátrixa az egységmátrix (differenciálja pedig az identitás leképezés). Emiatt még valós analitikus is, hiszen az a + x és b + y függvények triviális hatványsorok.

Természetsen a (z,w) \mapsto z + w leképezés is folytonos lesz, de az R2 × R2 szorzattér és a R2 tér topológiája szerint. (Sőt valós analitikus.)

Szorzás.

Rögzített a + bi komplex számra az

(a,b)\cdot.\;:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}ax - by\\bx + ay\end{pmatrix}

szorzás szintén folytonos, sőt totálisan differenciálható (sőt valós analitikus) leképezés, hiszen lineáris és Jacobi-mátrixa:

 \mathrm{J}(x,y)=\begin{pmatrix}a & -b\\ b & \;\; a\end{pmatrix}

Megjegyzendő, hogy a komplex számok mártixreprezentációja pontosan ilyen alakú mátrixok halmazaként definiálja C-t (persze a és b valósak), ahol a szorzás a mátrixszorzás. Ez a fenti Jacobi-mátrixból is jól látható, hisz lineáris leképezések differenciálja pont ugyanaza leképezés, így két ilyen kompozíciójának a szorzata egyenlő a differenciáljaik szorzatával.

Multiplikatív inverz.

A nemnullvektorok halmazán értelmezett

(.)^{-1}:\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}\cfrac{x}{x^2+y^2}\\\cfrac{-y}{x^2+y^2}\end{pmatrix}

leképezés szintén folytonos, sőt differenciálható (hiszen olyanokból van azt megőrző módon összetéve).

R- és C-linearitás

Az f: C \to C

a + b i \mapsto c + d i

leképezés definíció szerint R-lineáris, ha mint R2-ből R2-be menő függvény, azaz

(a,b) \mapsto (c,d)

lineáris a valós számok teste felett. Az R-lineáris függvények általános alakja, mint kétváltozós függvény nyilván:

f(x,y)=\begin{pmatrix}a_{11}x+a_{12}y\\a_{21}x+a_{22}y\end{pmatrix}=A\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

ahol A mátrixelemei valós számok. Komplex alakba írva:

f(z)=a_{11}\mathrm{Re}(z)+a_{12}\mathrm{Im}(z)+\mathrm{i}(a_{21}\mathrm{Re}(z)+a_{22}\mathrm{Im}(z))\,=
=(a_{11}+\mathrm{i}a_{21})\mathrm{Re}(z)+(a_{11}+\mathrm{i}a_{22})\mathrm{Im}(z)= \,
 =(a_{11}+\mathrm{i}a_{21})\frac{z+\overline{z}}{2}+(a_{12}+\mathrm{i}a_{22})(-\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=
 =(a_{11}+\mathrm{i}a_{21})\frac{z+\overline{z}}{2}+(a_{22}-a_{12}\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=
 =w_1z+w_2\overline{z}

ahol w1=(a11 + a22)/2 + i(a21-a12)/2 és w2=(a11 - a22)/2 + i(a21 + a12)/2, azaz tetszőlegesen választható komplex számok.

Világos, hogy csak a w1z tag C-lineáris is egyben, a második nem. Tehát kimondhatjuk:

Egy f(z) R-lineáris leképezés akkor és csak akkor C lineáris, ha az f R-lineárist reprezentáló A mátrix elemei között fennáll:

a_{11}=a_{22}\, és
a_{12}=-a_{21}\,

Ezeket az egyenleteket akár Cauchy–Riemann-egyenleteknek is nevezhetnénk amiatt, hogy a komplex függvények, mint R2-ből R2-be menő differenciálható függvény Jacobi-mátrixaira vonatkoztatva ezeket, az előbbi módon nevezik őket.

Személyes eszközök