Komplex számok elemi analitikus tulajdonságai

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
('''R'''- és '''C'''-linearitás)
(Szorzás)
 
(egy szerkesztő 6 közbeeső változata nincs mutatva)
4. sor: 4. sor:
  
 
A '''C''' testen, mint az '''R'''<sup>2</sup> vektortérbeli (''a'',''b'') &equiv; ''a'' + ''b''i és (c,d) &equiv; ''c'' + ''d''i  elemei a
 
A '''C''' testen, mint az '''R'''<sup>2</sup> vektortérbeli (''a'',''b'') &equiv; ''a'' + ''b''i és (c,d) &equiv; ''c'' + ''d''i  elemei a
:<math>(a+b\mathrm{i})\cdot (c+d\mathrm{i})=_{\mathrm{def}}</math>
+
:<math>(a+b\mathrm{i})\cdot (c+d\mathrm{i})=_{\mathrm{def}}(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}</math>
 
szorzásával ellátott testen értelmes topológiát alkot, az '''R'''<sup>2</sup>  
 
szorzásával ellátott testen értelmes topológiát alkot, az '''R'''<sup>2</sup>  
 
:<math>||(x,y)||_p:=(|x|^p+|y|^p)^{1/p}\,</math>
 
:<math>||(x,y)||_p:=(|x|^p+|y|^p)^{1/p}\,</math>
13. sor: 13. sor:
 
Azt, hogy értelmes ezt a normát, illetve topológiát bevezetni '''C'''-n  az indokolja, hogy '''C''' mindkét művelete folytonos ezekben a normákban.  
 
Azt, hogy értelmes ezt a normát, illetve topológiát bevezetni '''C'''-n  az indokolja, hogy '''C''' mindkét művelete folytonos ezekben a normákban.  
  
'''Összeadás.'''
+
===Összeadás===
  
 
Rögzített ''a'' + ''b''i komplex számra az
 
Rögzített ''a'' + ''b''i komplex számra az
19. sor: 19. sor:
 
leképezés valós affin leképezés, így nemcsak folytonos, de totálisan  differenciálható és Jacobi-mátrixa az egységmátrix (differenciálja pedig az identitás leképezés). Emiatt még valós analitikus is, hiszen az ''a'' + ''x'' és ''b'' + ''y'' függvények triviális hatványsorok.  
 
leképezés valós affin leképezés, így nemcsak folytonos, de totálisan  differenciálható és Jacobi-mátrixa az egységmátrix (differenciálja pedig az identitás leképezés). Emiatt még valós analitikus is, hiszen az ''a'' + ''x'' és ''b'' + ''y'' függvények triviális hatványsorok.  
  
Természetsen a (''z'',''w'') <math>\mapsto</math> ''z'' + ''w'' leképezés is folytonos lesz, de az '''R'''<sup>2</sup> &times; '''R'''<sup>2</sup> szorzattér és a '''R'''<sup>2</sup> tér topológiája szerint. (Sőt valós analitikus.)
+
Az, hogy ez a függvény folytonos amellett, hogy lineáris, geometriai indokokkal is megokolható, hiszen a '''C''' <math>\to</math> '''C''' eltolás egy <math>z</math> pontot egy <math>z</math> + <math>z_0</math> pontba viszi, és a <math>z</math> körüli gömböt ugyanolyansugarú  <math>z</math> + <math>z_0</math> körüli gömbbe képezi le. Világos, hogy ekkor a távolságtartás miatt folytonos lesz a függvény (&epsilon;=&delta; lesz a definícióval történő igazoláskor).
  
'''Szorzás.'''
+
Természetsen a (''z'',''w'') <math>\mapsto</math> ''z'' + ''w'' leképezés is folytonos lesz, az '''R'''<sup>2</sup> &times; '''R'''<sup>2</sup>  szorzattér és a '''R'''<sup>2</sup> tér topológiája szerint. (Sőt valós analitikus.)
 +
 
 +
===Szorzás===
  
 
Rögzített ''a'' + ''b''i komplex számra az
 
Rögzített ''a'' + ''b''i komplex számra az
 
:<math>(a,b)\cdot.\;:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}ax - by\\bx + ay\end{pmatrix}</math>
 
:<math>(a,b)\cdot.\;:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}ax - by\\bx + ay\end{pmatrix}</math>
szorzás szintén folytonos, sőt totálisan differenciálható (sőt valós analitikus) leképezés, hiszen lineáris és Jacobi-mátrixa:
+
szorzás szintén folytonos, sőt totálisan differenciálható (sőt valós analitikus) leképezés, hiszen '''R'''-lineáris és Jacobi-mátrixa:
 
:<math> \mathrm{J}(x,y)=\begin{pmatrix}a & -b\\ b & \;\; a\end{pmatrix}</math>
 
:<math> \mathrm{J}(x,y)=\begin{pmatrix}a & -b\\ b & \;\; a\end{pmatrix}</math>
 
Megjegyzendő, hogy a komplex számok mártixreprezentációja pontosan ilyen alakú mátrixok halmazaként definiálja '''C'''-t (persze ''a'' és ''b'' valósak), ahol a szorzás a mátrixszorzás. Ez a fenti Jacobi-mátrixból is jól látható, hisz lineáris leképezések differenciálja pont ugyanaza leképezés, így két ilyen kompozíciójának a szorzata egyenlő a differenciáljaik szorzatával.
 
Megjegyzendő, hogy a komplex számok mártixreprezentációja pontosan ilyen alakú mátrixok halmazaként definiálja '''C'''-t (persze ''a'' és ''b'' valósak), ahol a szorzás a mátrixszorzás. Ez a fenti Jacobi-mátrixból is jól látható, hisz lineáris leképezések differenciálja pont ugyanaza leképezés, így két ilyen kompozíciójának a szorzata egyenlő a differenciáljaik szorzatával.
  
'''Multiplikatív inverz.'''
+
Továbbá szintén geometriai indokokkal, a szorzás forgatva nyújtás, így a gömböt egy elforgatott és megnyújtott gömbbé változtatja át, ami esetén az &epsilon;-hoz a &delta; a nyújtási raányból visszaszámolva nyerhető.
 +
 
 +
A szorzás '''C'''-lineráis is, hiszen maga a '''C'''-lineris '''C'''-skalárral szorzás.
 +
 
 +
===Multiplikatív inverz===
  
 
A nemnullvektorok halmazán értelmezett
 
A nemnullvektorok halmazán értelmezett
 
: <math>(.)^{-1}:\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}\cfrac{x}{x^2+y^2}\\\cfrac{-y}{x^2+y^2}\end{pmatrix}</math>
 
: <math>(.)^{-1}:\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}\cfrac{x}{x^2+y^2}\\\cfrac{-y}{x^2+y^2}\end{pmatrix}</math>
leképezés szintén folytonos, sőt differenciálható (hiszen olyanokból van azt megőrző módon összetéve).  
+
leképezés szintén folytonos, sőt differenciálható (hiszen olyanokból van azt megőrző módon összetéve).
  
 
=='''R'''- és '''C'''-linearitás==
 
=='''R'''- és '''C'''-linearitás==
42. sor: 48. sor:
 
:(''a'',''b'') <math>\mapsto</math> (''c'',''d'')
 
:(''a'',''b'') <math>\mapsto</math> (''c'',''d'')
 
lineáris a valós számok teste felett. Az '''R'''-lineáris függvények általános alakja, mint kétváltozós függvény nyilván:
 
lineáris a valós számok teste felett. Az '''R'''-lineáris függvények általános alakja, mint kétváltozós függvény nyilván:
:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}Ax+By\\Cx+Dy\end{pmatrix}</math>
+
:<math>f(x,y)=\begin{pmatrix}a_{11}x+a_{12}y\\a_{21}x+a_{22}y\end{pmatrix}=A\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}</math>
ahol A,B,C és D valós számok. Komplex alakba írva:
+
ahol A mátrixelemei valós számok. Komplex alakba írva:
:<math>f(z)=A\mathrm{Re}(z)+B\mathrm{Im}(z)+\mathrm{i}(C\mathrm{Re}(z)+D\mathrm{Im}(z))\,=</math>
+
:<math>f(z)=a_{11}\mathrm{Re}(z)+a_{12}\mathrm{Im}(z)+\mathrm{i}(a_{21}\mathrm{Re}(z)+a_{22}\mathrm{Im}(z))\,=</math>
:::<math>=(A+\mathrm{i}C)\mathrm{Re}(z)+(B+\mathrm{i}D)\mathrm{Im}(z)= \,</math>
+
:::<math>=(a_{11}+\mathrm{i}a_{21})\mathrm{Re}(z)+(a_{11}+\mathrm{i}a_{22})\mathrm{Im}(z)= \,</math>
:::<math> =(A+\mathrm{i}C)\frac{z+\overline{z}}{2}+(B+\mathrm{i}D)(-\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=</math>
+
:::<math> =(a_{11}+\mathrm{i}a_{21})\frac{z+\overline{z}}{2}+(a_{12}+\mathrm{i}a_{22})(-\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=</math>
:::<math> =(A+\mathrm{i}C)\frac{z+\overline{z}}{2}+(D-B\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=</math>
+
:::<math> =(a_{11}+\mathrm{i}a_{21})\frac{z+\overline{z}}{2}+(a_{22}-a_{12}\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=</math>
 
:::<math> =w_1z+w_2\overline{z}</math>
 
:::<math> =w_1z+w_2\overline{z}</math>
ahol ''w''<sub>1</sub>=(''A'' + ''D'')/2 + i(''C''-''B'')/2 és ''w''<sub>2</sub>=(''A'' - ''D'')/2 + i(''C''+''B'')/2, azaz tetszőlegesen választható komplex számok.
+
ahol ''w''<sub>1</sub>=(''a''<sub>11</sub> + ''a''<sub>22</sub>)/2 + i(''a''<sub>21</sub>-''a''<sub>12</sub>)/2 és ''w''<sub>2</sub>=(''a''<sub>11</sub> - ''a''<sub>22</sub>)/2 + i(''a''<sub>21</sub> + ''a''<sub>12</sub>)/2, azaz tetszőlegesen választható komplex számok.
  
 
Világos, hogy csak a ''w''<sub>1</sub>''z'' tag '''C'''-lineáris is egyben, a második nem. Tehát kimondhatjuk:
 
Világos, hogy csak a ''w''<sub>1</sub>''z'' tag '''C'''-lineáris is egyben, a második nem. Tehát kimondhatjuk:
58. sor: 64. sor:
  
 
Ezeket az egyenleteket akár Cauchy–Riemann-egyenleteknek is nevezhetnénk amiatt, hogy a komplex függvények, mint '''R'''<sup>2</sup>-ből '''R'''<sup>2</sup>-be menő differenciálható függvény Jacobi-mátrixaira vonatkoztatva ezeket, az előbbi módon nevezik őket.
 
Ezeket az egyenleteket akár Cauchy–Riemann-egyenleteknek is nevezhetnénk amiatt, hogy a komplex függvények, mint '''R'''<sup>2</sup>-ből '''R'''<sup>2</sup>-be menő differenciálható függvény Jacobi-mátrixaira vonatkoztatva ezeket, az előbbi módon nevezik őket.
 +
==Normált algebra==
 +
:<math>||xy|| \leq ||x||\cdot||y||</math>
 +
esetén az algebrát normált algebrának nevezzük (ekkor persze a szorzás folytonos a norma által generált topológiában).
 +
 
 +
'''C''' kétdimenziós normált algebra az '''R''' test felett a komplex szorzással és az euklideszi normával, mert
 +
:<math>||xy||_2 = ||x||_2\cdot||y||_2</math>
 +
sőt, ||.||<sub>2</sub>-t abszolútérték függvénynek is nevezzük ilyenkor.
 +
Megjegyezzük, hogy '''C''' a maximumnormával ellátva is normált algebra.
  
 
+
Azonban '''C''' saját maga felett (azaz komplex módon) egydimenziós  normált algebra, a normája a komplex abszolútérték.
 
+
  
 
[[Kategória:Komplex analízis]]
 
[[Kategória:Komplex analízis]]

A lap jelenlegi, 2008. augusztus 30., 20:33-kori változata

A komplex számok teste, mint kétdimenziós valós test feletti vektortér első megközelítésben vizsgálható a valós analízis eszközeivel. A komplex szorzás művelete miatt azonban olyan jellegzetességek és sajátosságok tapasztalhatók ebben a vektortérben, melyek nagy mértékben indokolják a kimondottan komplex analitikus fogalmak létét.

Tartalomjegyzék

Topologikus fogalmak

A C testen, mint az R2 vektortérbeli (a,b) ≡ a + bi és (c,d) ≡ c + di elemei a

(a+b\mathrm{i})\cdot (c+d\mathrm{i})=_{\mathrm{def}}(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}

szorzásával ellátott testen értelmes topológiát alkot, az R2

||(x,y)||_p:=(|x|^p+|y|^p)^{1/p}\,

normája által generált topológiája. Speciálisan p = 2 -re az euklideszi topológiát, a

|(x,y)|:=\sqrt{|x|^2+|y|^2}\,

norma topológiáját kapjuk. (Természetesen teljesen mindegy, hogy melyik normát vesszük R2-ben, mert mindegyik ugyanazokat a nyílt halmazokat határozza meg).

Azt, hogy értelmes ezt a normát, illetve topológiát bevezetni C-n az indokolja, hogy C mindkét művelete folytonos ezekben a normákban.

Összeadás

Rögzített a + bi komplex számra az

(a,b)+.\;:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}a + x\\b + y\end{pmatrix}

leképezés valós affin leképezés, így nemcsak folytonos, de totálisan differenciálható és Jacobi-mátrixa az egységmátrix (differenciálja pedig az identitás leképezés). Emiatt még valós analitikus is, hiszen az a + x és b + y függvények triviális hatványsorok.

Az, hogy ez a függvény folytonos amellett, hogy lineáris, geometriai indokokkal is megokolható, hiszen a C \to C eltolás egy z pontot egy z + z0 pontba viszi, és a z körüli gömböt ugyanolyansugarú z + z0 körüli gömbbe képezi le. Világos, hogy ekkor a távolságtartás miatt folytonos lesz a függvény (ε=δ lesz a definícióval történő igazoláskor).

Természetsen a (z,w) \mapsto z + w leképezés is folytonos lesz, az R2 × R2 szorzattér és a R2 tér topológiája szerint. (Sőt valós analitikus.)

Szorzás

Rögzített a + bi komplex számra az

(a,b)\cdot.\;:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}ax - by\\bx + ay\end{pmatrix}

szorzás szintén folytonos, sőt totálisan differenciálható (sőt valós analitikus) leképezés, hiszen R-lineáris és Jacobi-mátrixa:

 \mathrm{J}(x,y)=\begin{pmatrix}a & -b\\ b & \;\; a\end{pmatrix}

Megjegyzendő, hogy a komplex számok mártixreprezentációja pontosan ilyen alakú mátrixok halmazaként definiálja C-t (persze a és b valósak), ahol a szorzás a mátrixszorzás. Ez a fenti Jacobi-mátrixból is jól látható, hisz lineáris leképezések differenciálja pont ugyanaza leképezés, így két ilyen kompozíciójának a szorzata egyenlő a differenciáljaik szorzatával.

Továbbá szintén geometriai indokokkal, a szorzás forgatva nyújtás, így a gömböt egy elforgatott és megnyújtott gömbbé változtatja át, ami esetén az ε-hoz a δ a nyújtási raányból visszaszámolva nyerhető.

A szorzás C-lineráis is, hiszen maga a C-lineris C-skalárral szorzás.

Multiplikatív inverz

A nemnullvektorok halmazán értelmezett

(.)^{-1}:\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}\cfrac{x}{x^2+y^2}\\\cfrac{-y}{x^2+y^2}\end{pmatrix}

leképezés szintén folytonos, sőt differenciálható (hiszen olyanokból van azt megőrző módon összetéve).

R- és C-linearitás

Az f: C \to C

a + b i \mapsto c + d i

leképezés definíció szerint R-lineáris, ha mint R2-ből R2-be menő függvény, azaz

(a,b) \mapsto (c,d)

lineáris a valós számok teste felett. Az R-lineáris függvények általános alakja, mint kétváltozós függvény nyilván:

f(x,y)=\begin{pmatrix}a_{11}x+a_{12}y\\a_{21}x+a_{22}y\end{pmatrix}=A\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

ahol A mátrixelemei valós számok. Komplex alakba írva:

f(z)=a_{11}\mathrm{Re}(z)+a_{12}\mathrm{Im}(z)+\mathrm{i}(a_{21}\mathrm{Re}(z)+a_{22}\mathrm{Im}(z))\,=
=(a_{11}+\mathrm{i}a_{21})\mathrm{Re}(z)+(a_{11}+\mathrm{i}a_{22})\mathrm{Im}(z)= \,
 =(a_{11}+\mathrm{i}a_{21})\frac{z+\overline{z}}{2}+(a_{12}+\mathrm{i}a_{22})(-\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=
 =(a_{11}+\mathrm{i}a_{21})\frac{z+\overline{z}}{2}+(a_{22}-a_{12}\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=
 =w_1z+w_2\overline{z}

ahol w1=(a11 + a22)/2 + i(a21-a12)/2 és w2=(a11 - a22)/2 + i(a21 + a12)/2, azaz tetszőlegesen választható komplex számok.

Világos, hogy csak a w1z tag C-lineáris is egyben, a második nem. Tehát kimondhatjuk:

Egy f(z) R-lineáris leképezés akkor és csak akkor C lineáris, ha az f R-lineárist reprezentáló A mátrix elemei között fennáll:

a_{11}=a_{22}\, és
a_{12}=-a_{21}\,

Ezeket az egyenleteket akár Cauchy–Riemann-egyenleteknek is nevezhetnénk amiatt, hogy a komplex függvények, mint R2-ből R2-be menő differenciálható függvény Jacobi-mátrixaira vonatkoztatva ezeket, az előbbi módon nevezik őket.

Normált algebra

||xy|| \leq ||x||\cdot||y||

esetén az algebrát normált algebrának nevezzük (ekkor persze a szorzás folytonos a norma által generált topológiában).

C kétdimenziós normált algebra az R test felett a komplex szorzással és az euklideszi normával, mert

||xy||_2 = ||x||_2\cdot||y||_2

sőt, ||.||2-t abszolútérték függvénynek is nevezzük ilyenkor. Megjegyezzük, hogy C a maximumnormával ellátva is normált algebra.

Azonban C saját maga felett (azaz komplex módon) egydimenziós normált algebra, a normája a komplex abszolútérték.

Személyes eszközök