Komplex számok elemi analitikus tulajdonságai

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2008. augusztus 30., 20:28-kor történt szerkesztése után volt.

A komplex számok teste, mint kétdimenziós valós test feletti vektortér első megközelítésben vizsgálható a valós analízis eszközeivel. A komplex szorzás művelete miatt azonban olyan jellegzetességek és sajátosságok tapasztalhatók ebben a vektortérben, melyek nagy mértékben indokolják a kimondottan komplex analitikus fogalmak létét.

Tartalomjegyzék

Topologikus fogalmak

A C testen, mint az R2 vektortérbeli (a,b) ≡ a + bi és (c,d) ≡ c + di elemei a

(a+b\mathrm{i})\cdot (c+d\mathrm{i})=_{\mathrm{def}}(ac-bd)+(ad+bc)\mathrm{i}

szorzásával ellátott testen értelmes topológiát alkot, az R2

||(x,y)||_p:=(|x|^p+|y|^p)^{1/p}\,

normája által generált topológiája. Speciálisan p = 2 -re az euklideszi topológiát, a

|(x,y)|:=\sqrt{|x|^2+|y|^2}\,

norma topológiáját kapjuk. (Természetesen teljesen mindegy, hogy melyik normát vesszük R2-ben, mert mindegyik ugyanazokat a nyílt halmazokat határozza meg).

Azt, hogy értelmes ezt a normát, illetve topológiát bevezetni C-n az indokolja, hogy C mindkét művelete folytonos ezekben a normákban.

Összeadás

Rögzített a + bi komplex számra az

(a,b)+.\;:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}a + x\\b + y\end{pmatrix}

leképezés valós affin leképezés, így nemcsak folytonos, de totálisan differenciálható és Jacobi-mátrixa az egységmátrix (differenciálja pedig az identitás leképezés). Emiatt még valós analitikus is, hiszen az a + x és b + y függvények triviális hatványsorok.

Az, hogy ez a függvény folytonos amellett, hogy lineáris, geometriai indokokkal is megokolható, hiszen a C \to C eltolás egy z pontot egy z + z0 pontba viszi, és a z körüli gömböt ugyanolyansugarú z + z0 körüli gömbbe képezi le. Világos, hogy ekkor a távolságtartás miatt folytonos lesz a függvény (ε=δ lesz a definícióval történő igazoláskor).

Természetsen a (z,w) \mapsto z + w leképezés is folytonos lesz, az R2 × R2 szorzattér és a R2 tér topológiája szerint. (Sőt valós analitikus.)

Szorzás

Rögzített a + bi komplex számra az

(a,b)\cdot.\;:\mathbf{R}^2\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}ax - by\\bx + ay\end{pmatrix}

szorzás szintén folytonos, sőt totálisan differenciálható (sőt valós analitikus) leképezés, hiszen lineáris és Jacobi-mátrixa:

 \mathrm{J}(x,y)=\begin{pmatrix}a & -b\\ b & \;\; a\end{pmatrix}

Megjegyzendő, hogy a komplex számok mártixreprezentációja pontosan ilyen alakú mátrixok halmazaként definiálja C-t (persze a és b valósak), ahol a szorzás a mátrixszorzás. Ez a fenti Jacobi-mátrixból is jól látható, hisz lineáris leképezések differenciálja pont ugyanaza leképezés, így két ilyen kompozíciójának a szorzata egyenlő a differenciáljaik szorzatával.

Továbbá szintén geometriai indokokkal, a szorzás forgatva nyújtás, így a gömböt egy elforgatott és megnyújtott gömbbé változtatja át, ami esetén az ε-hoz a δ a nyújtási raányból visszaszámolva nyerhető.

Multiplikatív inverz

A nemnullvektorok halmazán értelmezett

(.)^{-1}:\mathbf{R}^2\setminus\{(0,0)\}\to\mathbf{R}^2,\quad(x,y)\mapsto\begin{pmatrix}\cfrac{x}{x^2+y^2}\\\cfrac{-y}{x^2+y^2}\end{pmatrix}

leképezés szintén folytonos, sőt differenciálható (hiszen olyanokból van azt megőrző módon összetéve).

R- és C-linearitás

Az f: C \to C

a + b i \mapsto c + d i

leképezés definíció szerint R-lineáris, ha mint R2-ből R2-be menő függvény, azaz

(a,b) \mapsto (c,d)

lineáris a valós számok teste felett. Az R-lineáris függvények általános alakja, mint kétváltozós függvény nyilván:

f(x,y)=\begin{pmatrix}a_{11}x+a_{12}y\\a_{21}x+a_{22}y\end{pmatrix}=A\cdot\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}

ahol A mátrixelemei valós számok. Komplex alakba írva:

f(z)=a_{11}\mathrm{Re}(z)+a_{12}\mathrm{Im}(z)+\mathrm{i}(a_{21}\mathrm{Re}(z)+a_{22}\mathrm{Im}(z))\,=
=(a_{11}+\mathrm{i}a_{21})\mathrm{Re}(z)+(a_{11}+\mathrm{i}a_{22})\mathrm{Im}(z)= \,
 =(a_{11}+\mathrm{i}a_{21})\frac{z+\overline{z}}{2}+(a_{12}+\mathrm{i}a_{22})(-\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=
 =(a_{11}+\mathrm{i}a_{21})\frac{z+\overline{z}}{2}+(a_{22}-a_{12}\mathrm{i})\frac{z-\overline{z}}{2}=
 =w_1z+w_2\overline{z}

ahol w1=(a11 + a22)/2 + i(a21-a12)/2 és w2=(a11 - a22)/2 + i(a21 + a12)/2, azaz tetszőlegesen választható komplex számok.

Világos, hogy csak a w1z tag C-lineáris is egyben, a második nem. Tehát kimondhatjuk:

Egy f(z) R-lineáris leképezés akkor és csak akkor C lineáris, ha az f R-lineárist reprezentáló A mátrix elemei között fennáll:

a_{11}=a_{22}\, és
a_{12}=-a_{21}\,

Ezeket az egyenleteket akár Cauchy–Riemann-egyenleteknek is nevezhetnénk amiatt, hogy a komplex függvények, mint R2-ből R2-be menő differenciálható függvény Jacobi-mátrixaira vonatkoztatva ezeket, az előbbi módon nevezik őket.

Normált algebra

||xy|| \leq ||x||\cdot||y||

esetén az algebrát normált algebrának nevezzük (ekkor persze a szorzás folytonos a norma által generált topológiában).

C kétdimenziós normált algebra az R test felett a komplex szorzással és az euklideszi normával, mert

||xy||_2 = ||x||_2\cdot||y||_2

sőt, ||.||2-t abszolútérték függvénynek is nevezzük ilyenkor. Megjegyezzük, hogy C a maximumnormával ellátva is normált algebra.

Azonban C saját maga felett (azaz komplex módon) egydimenziós normált algebra, a normája a komplex abszolútérték.

Személyes eszközök