Lineáris altér
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Mátrix magtere és képtere) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
30. sor: | 30. sor: | ||
:<math>\mathrm{r}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_k)=\mathrm{dim}(\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_k\rangle)</math> | :<math>\mathrm{r}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_k)=\mathrm{dim}(\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_k\rangle)</math> | ||
− | ==Mátrix magtere és képtere== | + | ===Mátrix magtere és képtere=== |
− | Ha ''T'' test és ''M'' ∈ ''T''<sup>n× | + | Ha ''T'' test és ''M'' ∈ ''T''<sup>n×m</sup>, azaz n × m-es mártix, akkor |
:<math>\mathrm{Ker}(M)=\{\mathbf{v}\in T^n\mid M\mathbf{v}=\mathbf{0}\}</math> | :<math>\mathrm{Ker}(M)=\{\mathbf{v}\in T^n\mid M\mathbf{v}=\mathbf{0}\}</math> | ||
az ''M'' mártix '''magtere''', azaz azon elemek a ''T''<sup>n</sup> vektortérből, melyeket a mátrix a vele való szorzás által a nullába visz és | az ''M'' mártix '''magtere''', azaz azon elemek a ''T''<sup>n</sup> vektortérből, melyeket a mátrix a vele való szorzás által a nullába visz és | ||
− | :<math>\mathrm{Im}(M)=\{M\mathbf{v}\in T^ | + | :<math>\mathrm{Im}(M)=\{M\mathbf{v}\in T^m\mid \mathbf{v}\in T^n\}</math> |
az ''M'' '''képtere''', azaz azon vektorok, melyek előállnak valamely vektor és az ''M'' mátrix szorzataként. | az ''M'' '''képtere''', azaz azon vektorok, melyek előállnak valamely vektor és az ''M'' mátrix szorzataként. | ||
43. sor: | 43. sor: | ||
Világos, hogy az első esetben [[Gauss-elimináció]]val kell megoldani a feldatot, a második esetben azokat az y-okat kell behatárolni, amelyre az (M|y) kibővített együtthatómátrix rangja egyezik M rangjával. | Világos, hogy az első esetben [[Gauss-elimináció]]val kell megoldani a feldatot, a második esetben azokat az y-okat kell behatárolni, amelyre az (M|y) kibővített együtthatómátrix rangja egyezik M rangjával. | ||
+ | ===Lineáris leképezés magtere és képtere=== | ||
+ | ''A'' ∈ Hom(''V'',''U''), akkor | ||
+ | :<math>\mathrm{Ker}(\mathcal{A})=\{\mathbf{v}\in V\mid \mathcal{A}\mathbf{v}=\mathbf{0}\}</math> | ||
+ | :<math>\mathrm{Im}(\mathcal{A})=\{\mathcal{A}\mathbf{v}\in U\mid \mathbf{v}\in V\}</math> |
A lap 2008. március 3., 13:17-kori változata
A V vektortér lineáris alterének nevezzük a W ⊆ V halmazt, ha W vektorteret alkot ugyanazokkal a műveletekkel, melyek V-nek is műveletei. Azt, hogy W altere V-nek a következőképpen jelöljük:
Tartalomjegyzék |
Altér jellemzése
Annak ellenőrzése, hogy egy vektortér részhalmaza altér egyszerűbben türténik annál, minthogy ellenőrizzük, hogy a részhalmazra teljesülnek-e a vektortéraxiómák. Altér jellemezhető a következőkkel.
Tétel - Ha (V,+,.) vektortér a T test fölött és a W ⊆ V nemüres halmaz, akkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:
- W altere V-nek
- minden u, v ∈ W-re és λ ∈ T-re:
- u + v ∈ W
- λ.v ∈ W
Tehát altér, ami zárt az összeadásra és a számmal való szorzásra.
Példák
Triviális alterek
Bármely V vektortérben maga V és a nullvektort tartalmazó {0} halmaz altér. Az előbbi dim V dimenziós, az utóbbi nulladimenziós.
Generált altér
Ha v1, v2, ... ,vk véges vektorrendszer a T test feletti V lineáris térben, akkor a
részhalmazát V-nek a { v1, v2, ... ,vk } vektorrendszer által generált altérnek vagy kifeszített altérnek nevezünk.
Ez valóban altér, hiszen bármely két elemének összege és számszorosa eleme az részhalmaznak:
Az vektorrendszer rangján éretjük, a vektorrendszer által kifesztett altér dimenzióját:
Mátrix magtere és képtere
Ha T test és M ∈ Tn×m, azaz n × m-es mártix, akkor
az M mártix magtere, azaz azon elemek a Tn vektortérből, melyeket a mátrix a vele való szorzás által a nullába visz és
az M képtere, azaz azon vektorok, melyek előállnak valamely vektor és az M mátrix szorzataként.
Praktikusan:
- Ker(M) az M együtthatómátrixú homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak halmaza
- Im(M) azon "jobb oldalak" halmaza az Mx=y egyenletrendszerben, melyekre az egyenletrendszer megoldható.
Világos, hogy az első esetben Gauss-eliminációval kell megoldani a feldatot, a második esetben azokat az y-okat kell behatárolni, amelyre az (M|y) kibővített együtthatómátrix rangja egyezik M rangjával.
Lineáris leképezés magtere és képtere
A ∈ Hom(V,U), akkor