Lineáris altér

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
a (Lineáris leképezés magtere és képtere)
47. sor: 47. sor:
 
:<math>\mathrm{Ker}(\mathcal{A})=\{\mathbf{v}\in V\mid \mathcal{A}\mathbf{v}=\mathbf{0}\}</math>
 
:<math>\mathrm{Ker}(\mathcal{A})=\{\mathbf{v}\in V\mid \mathcal{A}\mathbf{v}=\mathbf{0}\}</math>
 
:<math>\mathrm{Im}(\mathcal{A})=\{\mathcal{A}\mathbf{v}\in U\mid \mathbf{v}\in V\}</math>
 
:<math>\mathrm{Im}(\mathcal{A})=\{\mathcal{A}\mathbf{v}\in U\mid \mathbf{v}\in V\}</math>
 +
==Feladatok==
 +
===1.===
 +
Alteret alkotnak-e?
 +
* '''R'''[X]-ben, a valósegyütthatós polinomok terében a
 +
**{ p | deg(p)=100 vagy p=0 }
 +
**{ p | deg(p)<math>\leq</math>100 vagy p=0 }
 +
**{ p | p-nek van valós gyöke }
 +
* A valós számsorozatok terében a
 +
**{ s | s korlátos }
 +
**{ s | s konvergens }
 +
**{s | s véges sok helyen nemnulla}
 +
*A valós függvények terében a
 +
**{ f | f periodikus }
 +
**{ f | f(1) > 0 }
 +
**{f | f injektív }
 +
===2.===
 +
Mi az
 +
:<math>A=\begin{pmatrix}
 +
1 & 2 & 3 & 4\\
 +
2 & 3 & 4 & 5 \\
 +
3 & 4 & 5 & 6
 +
\end{pmatrix}</math> 
 +
képtere és magtere?

A lap 2008. március 3., 13:28-kori változata

A V vektortér lineáris alterének nevezzük a WV halmazt, ha W vektorteret alkot ugyanazokkal a műveletekkel, melyek V-nek is műveletei. Azt, hogy W altere V-nek a következőképpen jelöljük:

W\leq V\,

Tartalomjegyzék

Altér jellemzése

Annak ellenőrzése, hogy egy vektortér részhalmaza altér egyszerűbben türténik annál, minthogy ellenőrizzük, hogy a részhalmazra teljesülnek-e a vektortéraxiómák. Altér jellemezhető a következőkkel.

Tétel - Ha (V,+,.) vektortér a T test fölött és a WV nemüres halmaz, akkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:

  1. W altere V-nek
  2. minden u, vW-re és λ ∈ T-re:
  • u + vW
  • λ.vW

Tehát altér, ami zárt az összeadásra és a számmal való szorzásra.

Példák

Triviális alterek

Bármely V vektortérben maga V és a nullvektort tartalmazó {0} halmaz altér. Az előbbi dim V dimenziós, az utóbbi nulladimenziós.

Generált altér

Ha v1, v2, ... ,vk véges vektorrendszer a T test feletti V lineáris térben, akkor a

\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_k\rangle:=\{\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+...+\lambda_k\mathbf{v}_k\mid \lambda_1,\lambda_2,..., \lambda_k\in T\}

részhalmazát V-nek a { v1, v2, ... ,vk } vektorrendszer által generált altérnek vagy kifeszített altérnek nevezünk.

Ez valóban altér, hiszen bármely két elemének összege és számszorosa eleme az részhalmaznak:

(\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+...+\lambda_k\mathbf{v}_k)+(\mu_1\mathbf{v}_1+\mu_2\mathbf{v}_2+...+\mu_k\mathbf{v}_k)=(\lambda_1+\mu_1).\mathbf{v}_1+(\lambda_2+\mu_2).\mathbf{v}_2+...+(\lambda_k+\mu_k).\mathbf{v}_k)
\mu.(\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+...+\lambda_k\mathbf{v}_k)=(\mu\cdot\lambda_1).\mathbf{v}_1+(\mu\cdot\lambda_2).\mathbf{v}_2+...+(\mu\cdot\lambda_k).\mathbf{v}_k)

Az vektorrendszer rangján éretjük, a vektorrendszer által kifesztett altér dimenzióját:

\mathrm{r}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_k)=\mathrm{dim}(\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_k\rangle)

Mátrix magtere és képtere

Ha T test és MTn×m, azaz n × m-es mártix, akkor

\mathrm{Ker}(M)=\{\mathbf{v}\in T^n\mid M\mathbf{v}=\mathbf{0}\}

az M mártix magtere, azaz azon elemek a Tn vektortérből, melyeket a mátrix a vele való szorzás által a nullába visz és

\mathrm{Im}(M)=\{M\mathbf{v}\in T^m\mid \mathbf{v}\in T^n\}

az M képtere, azaz azon vektorok, melyek előállnak valamely vektor és az M mátrix szorzataként.

Praktikusan:

Ker(M) az M együtthatómátrixú homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak halmaza
Im(M) azon "jobb oldalak" halmaza az Mx=y egyenletrendszerben, melyekre az egyenletrendszer megoldható.

Világos, hogy az első esetben Gauss-eliminációval kell megoldani a feldatot, a második esetben azokat az y-okat kell behatárolni, amelyre az (M|y) kibővített együtthatómátrix rangja egyezik M rangjával.

Lineáris leképezés magtere és képtere

A ∈ Hom(V,U), akkor

\mathrm{Ker}(\mathcal{A})=\{\mathbf{v}\in V\mid \mathcal{A}\mathbf{v}=\mathbf{0}\}
\mathrm{Im}(\mathcal{A})=\{\mathcal{A}\mathbf{v}\in U\mid \mathbf{v}\in V\}

Feladatok

1.

Alteret alkotnak-e?

  • R[X]-ben, a valósegyütthatós polinomok terében a
    • { p | deg(p)=100 vagy p=0 }
    • { p | deg(p)\leq100 vagy p=0 }
    • { p | p-nek van valós gyöke }
  • A valós számsorozatok terében a
    • { s | s korlátos }
    • { s | s konvergens }
    • {s | s véges sok helyen nemnulla}
  • A valós függvények terében a
    • { f | f periodikus }
    • { f | f(1) > 0 }
    • {f | f injektív }

2.

Mi az

A=\begin{pmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 3 & 4 & 5 \\
3 & 4 & 5 & 6
\end{pmatrix}

képtere és magtere?

Személyes eszközök