Lineáris altér

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2008. március 9., 10:38-kor történt szerkesztése után volt.

A V vektortér lineáris alterének nevezzük a WV halmazt, ha W vektorteret alkot ugyanazokkal a műveletekkel, melyek V-nek is műveletei. Azt, hogy W altere V-nek a következőképpen jelöljük:

W\leq V\,

Tartalomjegyzék

Altér jellemzése

Annak ellenőrzése, hogy egy vektortér részhalmaza altér egyszerűbben türténik annál, minthogy ellenőrizzük, hogy a részhalmazra teljesülnek-e a vektortéraxiómák. Altér jellemezhető a következőkkel.

Tétel - Ha (V,+,.) vektortér a T test fölött és a WV nemüres halmaz, akkor az alábbi két kijelentés ekvivalens egymással:

  1. W altere V-nek
  2. minden u, vW-re és λ ∈ T-re:
  • u + vW
  • λ.vW

Tehát altér, ami zárt az összeadásra és a számmal való szorzásra.

Példák

Triviális alterek

Bármely V vektortérben maga V és a nullvektort tartalmazó {0} halmaz altér. Az előbbi dim V dimenziós, az utóbbi nulladimenziós.

Generált altér

Ha v1, v2, ... ,vk véges vektorrendszer a T test feletti V lineáris térben, akkor a

\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_k\rangle:=\{\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+...+\lambda_k\mathbf{v}_k\mid \lambda_1,\lambda_2,..., \lambda_k\in T\}

részhalmazát V-nek a { v1, v2, ... ,vk } vektorrendszer által generált altérnek vagy kifeszített altérnek nevezünk.

Ez valóban altér, hiszen bármely két elemének összege és számszorosa eleme az részhalmaznak:

(\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+...+\lambda_k\mathbf{v}_k)+(\mu_1\mathbf{v}_1+\mu_2\mathbf{v}_2+...+\mu_k\mathbf{v}_k)=(\lambda_1+\mu_1).\mathbf{v}_1+(\lambda_2+\mu_2).\mathbf{v}_2+...+(\lambda_k+\mu_k).\mathbf{v}_k)
\mu.(\lambda_1\mathbf{v}_1+\lambda_2\mathbf{v}_2+...+\lambda_k\mathbf{v}_k)=(\mu\cdot\lambda_1).\mathbf{v}_1+(\mu\cdot\lambda_2).\mathbf{v}_2+...+(\mu\cdot\lambda_k).\mathbf{v}_k)

Az vektorrendszer rangján éretjük, a vektorrendszer által kifesztett altér dimenzióját:

\mathrm{r}(\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_k)=\mathrm{dim}(\langle\mathbf{v}_1,\mathbf{v}_2,...,\mathbf{v}_k\rangle)

Mátrix magtere és képtere

Ha T test és MTn×m, azaz n × m-es mártix, akkor

\mathrm{Ker}(M)=\{\mathbf{v}\in T^n\mid M\mathbf{v}=\mathbf{0}\}

az M mártix magtere, azaz azon elemek a Tn vektortérből, melyeket a mátrix a vele való szorzás által a nullába visz és

\mathrm{Im}(M)=\{M\mathbf{v}\in T^m\mid \mathbf{v}\in T^n\}

az M képtere, azaz azon vektorok, melyek előállnak valamely vektor és az M mátrix szorzataként.

Praktikusan:

Ker(M) az M együtthatómátrixú homogén lineáris egyenletrendszer megoldásainak halmaza
Im(M) azon "jobb oldalak" halmaza az Mx=y egyenletrendszerben, melyekre az egyenletrendszer megoldható.

Világos, hogy az első esetben Gauss-eliminációval kell megoldani a feldatot, a második esetben azokat az y-okat kell behatárolni, amelyre az (M|y) kibővített együtthatómátrix rangja egyezik M rangjával.

Lineáris leképezés magtere és képtere

A ∈ Hom(V,U), akkor

\mathrm{Ker}(\mathcal{A})=\{\mathbf{v}\in V\mid \mathcal{A}\mathbf{v}=\mathbf{0}\}
\mathrm{Im}(\mathcal{A})=\{\mathcal{A}\mathbf{v}\in U\mid \mathbf{v}\in V\}

Ezekkel a fogalmakkal kapcsolatos a vektorterek dimenziótétele. Ha A ∈ Hom(V,U), akkor

\mathrm{dim}\,\mathrm{Ker}(\mathcal{A})+\mathrm{dim}\,\mathrm{Im}(\mathcal{A})=\mathrm{dim}\,V

Feladatok

1. (altér jellemzése)

Alteret alkotnak-e?

  • R[X]-ben, a valósegyütthatós polinomok terében a
    • { p | deg(p)=100 vagy p=0 }
    • { p | deg(p)\leq100 vagy p=0 }
    • { p | p-nek van valós gyöke }
  • A valós számsorozatok terében a
    • { s | s korlátos }
    • { s | s konvergens }
    • {s | s véges sok helyen nemnulla}
  • A valós függvények terében a
    • { f | f periodikus }
    • { f | f(1) > 0 }
    • {f | f injektív }

2. (generált altér)

Hány dimenziós alteret generál az alábbi vektorrendszer? Adja meg a kifeszített altér egy bázisát!

\begin{pmatrix}2 \\-2\\-4\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}1 \\9\\3\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}-2 \\-4\\1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}3 \\7\\-1\end{pmatrix}

Megoldás

A vektorok az R3 térbeliek, így az altér legfeljebb 3 dimenziós lehet. Ha A-val jelöljük a fenti oszlopvektorok alkotta mátrixot, akkor a feladat megoldásban (azaz egymással összefőggő vektorok keresésében) segít az

A\cdotx = 0

homogén lineáris egyenletrendszer megoldása. Ebből nem csak azt tudjuk majd meg, hogy lineárisan függetlenek-e (hiszen pontosan tudjuk, hogy nem azok, mert \mathrm{dim}\langle A\rangle < 4 ), hanem hogy hány független választható ki, vagyis az A ragját, r(A)-t. A-t Gauss-algoritmussal átalakítva:

\begin{bmatrix}2 & 1 & -2 & 3\\ -2 & 9 & -4 & 7 \\ -4 & 3 & 1 & -1\end{bmatrix}\sim_{\mathrm{GAlg}}\begin{bmatrix}2 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 10 & -6 & 10 \\ 0 & 5 & -3 & 5\end{bmatrix}\sim_{\mathrm{GAlg}}
\sim_{\mathrm{GAlg}}\begin{bmatrix}2 & 1 & -2 & 3\\ 0 & 10 & -6 & 10 \\ 0 & 0 & 0 & 0\end{bmatrix}

A megoldás: az utolsó két változó paraméternek vehető, mondjuk t és s, így minden t, s-re

y=\frac{3}{5}t-s
x=\frac{1}{2}(-\frac{3}{5}t+s+2t-3s)=\frac{7}{10}t-s
z=t\,
v=s\,

megoldás. Tehát minden t, s-re fennáll:

(\frac{7}{10}t-s)\begin{pmatrix}2 \\-2\\-4\end{pmatrix}+(\frac{3}{5}t-s)\begin{pmatrix}1 \\9\\3\end{pmatrix}+t\begin{pmatrix}-2 \\-4\\1\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}3 \\7\\-1\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}0 \\0\\0\end{pmatrix}

Ezekből világosan látható, hogy az első két vektor bázisnak választható, mert a 3. és 4. kifejezhető, rendre t=1, s=0 választással, majd t=0, s=1 választással.

Tehát:

\mathrm{dim}\langle A\rangle =2 és az altér egy bázisa:
B=\left\{\begin{pmatrix}2 \\-2\\-4\end{pmatrix},\begin{pmatrix}1 \\9\\3\end{pmatrix}\right\}

3. (magtér)

Mi az

A=\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 3 & 4 & 5 \\
\end{bmatrix}

magterének dimenziója és adja meg egy bázisát!

Megoldás.

Az A mátrix magtere praktikusan az A x = 0 homogén lineáris egyenletrendszer megoldásai alkotta lineáris altér, egyenletrendszeres formában:

\mathrm{Ker}(\mathbf{A})=\{(x,y,z,v)\in \mathbf{R}^4\mid x+2y+3z+4v=0 \quad \land \quad 2x+3y+4z+5v=0\}

Itt a megoldások nyilván R4-beli vektorok, így tehát dim legfeljebb 4. Szintén a Gauss-eliminációhoz folyamodunk:

\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
2 & 3 & 4 & 5 \\
\end{bmatrix}\sim_\mathrm{GAlg}\begin{bmatrix}
1 & 2 & 3 & 4\\
0 & -1 & -2 & -3 \\
\end{bmatrix}

Szintén két változó paramétenek vehető, így a megoldás visszafejtve:

v = s, z = t, y = -2t -3s, x = -t -2s

a megoldásvektor az alábbi, mely előáll a következő két vektor lineáris kombinációjaként:

\mathbf{x}=\begin{pmatrix}
-t-2s\\
-2t-3s\\
t\\
s
\end{pmatrix}=t\begin{pmatrix}
-1\\
-2\\
1\\
0
\end{pmatrix}+s\begin{pmatrix}
-2\\
-3\\
0\\
1
\end{pmatrix}

Azaz a magtér a fenti két kihozott vektor által generált altér. Ezek persze nyilvánvalóan nem összefüggők az alsó két sor sztenderd bázisra utaló alakja miatt (az 1-es sehogy se jöhet ki a 0-ból).

Tehát

\mathrm{dim\,Ker}\,\mathbf{A}=2 és a magtér egy bázisa:
B=\left\{\begin{pmatrix}
-1\\
-2\\
1\\
0
\end{pmatrix},\begin{pmatrix}
-2\\
-3\\
0\\
1
\end{pmatrix}\right\}
Személyes eszközök