Mátrix rangja
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példa) |
||
11. sor: | 11. sor: | ||
jelöli az oszlopvektorok által kifeszített (generált) alteret. | jelöli az oszlopvektorok által kifeszített (generált) alteret. | ||
− | === | + | ===Példák=== |
'''1.''' | '''1.''' | ||
:<math>A = | :<math>A = | ||
58. sor: | 58. sor: | ||
\Rightarrow \mathrm{r}(B) = 2 | \Rightarrow \mathrm{r}(B) = 2 | ||
</math> | </math> | ||
− | mert | + | mert alsó sor tiviálisan teljesül, a felső kettőból pedig kifejezhető λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>, éspedig: λ<sub>2</sub> = 4/6 = 2/3, λ<sub>1</sub> = 5/3 (és persze az első két oszlop független, mert az elsőt a 2 nulla miatt sehogyan se lehet kifejezni a második oszloppal). |
A lap 2008. február 2., 10:55-kori változata
Egy n × m-es mátrix rangján a mátrix oszlopai által kifeszített Rm-beli altér dimenzióját. A mátrix rangja tehát k, ha oszlopai közül kiválasztható k db lineárisan független, de k + 1 db már nem.
Definíció
Ha tehát az A ∈ Rn×m mátrix alakja:
ahol A1, A2, ..., Am az oszlopai, akkor
ahol
jelöli az oszlopvektorok által kifeszített (generált) alteret.
Példák
1.
- ekkor
Világos, hogy az első két vektor független rendszert alkot, tehát r(A) legalább 2 (és legfeljebb 3, mert ilyen hosszúak). A kérdés, hogy a harmadik kifejezhető-e az első kettő lineáris kombinációjaként, azaz megoldható-e az
egyenletrendszer (λ1,λ2)-re? Akibővítet mártix maga az A. Ebből Gauss-eliminációval (a középső kétszeresét kivonjuk a legalsóból)
Az alsó sor így:
aminek nincs megoldása.
- Általánosan: ha az A n × n-es mátrixot Gauss-eliminálva háromszögmátrix jön ki, nemnulla főátlóbeli elemekkel, akkor A rangja a dimenzió: n.
2.
mert alsó sor tiviálisan teljesül, a felső kettőból pedig kifejezhető λ1, λ2, éspedig: λ2 = 4/6 = 2/3, λ1 = 5/3 (és persze az első két oszlop független, mert az elsőt a 2 nulla miatt sehogyan se lehet kifejezni a második oszloppal).