Mátrix rangja
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példa) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
59. sor: | 59. sor: | ||
</math> | </math> | ||
mert alsó sor tiviálisan teljesül, a felső kettőból pedig kifejezhető λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>, éspedig: λ<sub>2</sub> = 4/6 = 2/3, λ<sub>1</sub> = 5/3 (és persze az első két oszlop független, mert az elsőt a 2 nulla miatt sehogyan se lehet kifejezni a második oszloppal). | mert alsó sor tiviálisan teljesül, a felső kettőból pedig kifejezhető λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>, éspedig: λ<sub>2</sub> = 4/6 = 2/3, λ<sub>1</sub> = 5/3 (és persze az első két oszlop független, mert az elsőt a 2 nulla miatt sehogyan se lehet kifejezni a második oszloppal). | ||
+ | ==Sorrang és determinánsrang== | ||
+ | A fenti fogalmaz oszloprangnak nevezzük. Belátható, hogy a függetlesn sorok maximális száma ugyanannyi, mint a független oszlopok maximális száma, azaz a sorrang egyenlő az oszlopanggal. Ebből az is következik, hogy | ||
+ | :<math>A\in \mathbf{R}^{n\times m}\quad\Rightarrow\quad\mathrm{r}(A)\leq n \quad\mathrm{\acute{e}s}\quad \mathrm{r}(A)\leq m</math> |
A lap 2008. február 2., 11:03-kori változata
Egy n × m-es mátrix rangján a mátrix oszlopai által kifeszített Rm-beli altér dimenzióját. A mátrix rangja tehát k, ha oszlopai közül kiválasztható k db lineárisan független, de k + 1 db már nem.
Definíció
Ha tehát az A ∈ Rn×m mátrix alakja:
ahol A1, A2, ..., Am az oszlopai, akkor
ahol
jelöli az oszlopvektorok által kifeszített (generált) alteret.
Példák
1.
- ekkor
Világos, hogy az első két vektor független rendszert alkot, tehát r(A) legalább 2 (és legfeljebb 3, mert ilyen hosszúak). A kérdés, hogy a harmadik kifejezhető-e az első kettő lineáris kombinációjaként, azaz megoldható-e az
egyenletrendszer (λ1,λ2)-re? Akibővítet mártix maga az A. Ebből Gauss-eliminációval (a középső kétszeresét kivonjuk a legalsóból)
Az alsó sor így:
aminek nincs megoldása.
- Általánosan: ha az A n × n-es mátrixot Gauss-eliminálva háromszögmátrix jön ki, nemnulla főátlóbeli elemekkel, akkor A rangja a dimenzió: n.
2.
mert alsó sor tiviálisan teljesül, a felső kettőból pedig kifejezhető λ1, λ2, éspedig: λ2 = 4/6 = 2/3, λ1 = 5/3 (és persze az első két oszlop független, mert az elsőt a 2 nulla miatt sehogyan se lehet kifejezni a második oszloppal).
Sorrang és determinánsrang
A fenti fogalmaz oszloprangnak nevezzük. Belátható, hogy a függetlesn sorok maximális száma ugyanannyi, mint a független oszlopok maximális száma, azaz a sorrang egyenlő az oszlopanggal. Ebből az is következik, hogy