Mátrix rangja

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
1. sor: 1. sor:
Egy ''n'' &times; ''m''-es '''mátrix rang'''ján a mátrix oszlopai által kifeszített '''R'''<sup>m</sup>-beli altér dimenzióját. A mátrix rangja tehát ''k'', ha oszlopai közül kiválasztható ''k'' db lineárisan független, de ''k'' + 1 db már nem.
+
Egy ''n'' &times; ''m''-es '''mátrix rang'''ján a mátrix oszlopai által kifeszített '''R'''<sup>m</sup>-beli altér dimenzióját értjük. A mátrix rangja tehát ''k'', ha oszlopai közül kiválasztható ''k'' db lineárisan független, de ''k'' + 1 db már nem.
 
==Definíció==
 
==Definíció==
 
Ha tehát az ''A'' &isin; '''R'''<sup>n&times;m</sup> mátrix alakja:
 
Ha tehát az ''A'' &isin; '''R'''<sup>n&times;m</sup> mátrix alakja:

A lap 2008. február 2., 10:23-kori változata

Egy n × m-es mátrix rangján a mátrix oszlopai által kifeszített Rm-beli altér dimenzióját értjük. A mátrix rangja tehát k, ha oszlopai közül kiválasztható k db lineárisan független, de k + 1 db már nem.

Tartalomjegyzék

Definíció

Ha tehát az ARn×m mátrix alakja:

A = \begin{pmatrix}
\begin{matrix}\vert \\ \vert \\ A_1 \\ \vert \\ \vert \end{matrix}& \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ A_2 \\ \vert \\ \vert \end{matrix} & ... & \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ A_m \\ \vert \\ \vert \end{matrix} 
\end{pmatrix}

ahol A1, A2, ..., Am az oszlopai, akkor

\mathrm{r}(A):=\mathrm{dim}\langle\{A_1,A_2,...A_m\}\rangle

ahol

\langle\{A_1,A_2,...A_m\}\rangle

jelöli az oszlopvektorok által kifeszített (generált) alteret.

Példák

1.

A =
   \begin{pmatrix}
    1 &  2 & 3 \\
    0 &  5 &  4 \\
    0 & 10 &  2
  \end{pmatrix} ekkor \mathrm{r}(A):=\mathrm{dim}\left\langle \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\5\\10\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}\right\rangle

Világos, hogy az első két vektor független rendszert alkot, tehát r(A) legalább 2 (és legfeljebb 3, mert ilyen hosszúak). A kérdés, hogy a harmadik kifejezhető-e az első kettő lineáris kombinációjaként, azaz megoldható-e az


   \begin{pmatrix}
    1 &  2 \\
    0 &  5 \\
    0 & 10 
  \end{pmatrix}\cdot  \begin{pmatrix}
   \lambda_1 \\
   \lambda_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
    3 \\
    4  \\
    2  
  \end{pmatrix}

egyenletrendszer (λ12)-re? Akibővítet mártix maga az A. Ebből Gauss-eliminációval (a középső kétszeresét kivonjuk a legalsóból)

\begin{pmatrix}
    1 &  2 &  3 \\
    0 &  5 &  4 \\
    0 &  0 &  -6
  \end{pmatrix}

Az alsó sor így:

0\cdot \lambda_1+0\cdot \lambda_2=-6

aminek nincs megoldása.

Általánosan: ha az A n × n-es mátrixot Gauss-eliminálva háromszögmátrix jön ki, nemnulla főátlóbeli elemekkel, akkor A rangja a dimenzió: n.

2.

B =
   \begin{pmatrix}
    1 &  2 &  3 \\
    0 &  6 &  4 \\
    0 &  3 &  2
  \end{pmatrix}
  \sim
    \begin{pmatrix}
    1 &  2 &  3 \\
    0 &  6 &  4 \\
    0 &  0 &  0
  \end{pmatrix}

 \Rightarrow \mathrm{r}(B) = 2

mert alsó sor tiviálisan teljesül, a felső kettőból pedig kifejezhető λ1, λ2, éspedig: λ2 = 4/6 = 2/3, λ1 = 5/3 (és persze az első két oszlop független, mert az elsőt a 2 nulla miatt sehogyan se lehet kifejezni a második oszloppal).

Sorrang és determinánsrang

A fenti fogalmaz oszloprangnak nevezzük. Belátható, hogy a függetlesn sorok maximális száma ugyanannyi, mint a független oszlopok maximális száma, azaz a sorrang egyenlő az oszlopranggal. Ebből az is következik, hogy

A\in \mathbf{R}^{n\times m}\quad\Rightarrow\quad\mathrm{r}(A)\leq n \quad\mathrm{\acute{e}s}\quad \mathrm{r}(A)\leq m

A számolásokban hasznos a következő tétel. Nevezzük egy tetszőleges mártix esetén aldeterminánsnak azt, hogy a mátrix tetszőleges négyzetes részmátrixának vesszük a determinánsát. Négyzetes részmátrixot úgy választunk ki, hogy vesszük a mátrix valamely k db oszlopát és k db sorát, és a metszéspontokban lévő elemekből alkotunk egy mátrixot. Az ilyet még k-adrendű minormátrixnak, determinánsát k-adrendű aldeterminánsnak is nevezzük. Ha a mátrix n × n-es kvadratikus, akkor maga is sajét maga egy (n-edrendű) minormátrixa. Ekkor

Tétel. Az A mátrix rangja az r szám, ha van r-edrendű nemulla aldeterminánsa, de nincs r + 1-ed rendű nemulla aldeterminánsa.

Ez utóbbi fogalmat determinánsrangnak nevezzük és mely atétel szerint egyezik a ranggal.

Példák

1.

M=\begin{pmatrix}
    1 &  2 &  3 \\
    0 &  6 &  4 \\
    0 &  3 &  2
  \end{pmatrix}

Tekintsük a determinánsrangot! A mátrixot az első oszlopa szerint kifejtve kapjuk, hogy det(M) = 1 \cdot (6\cdot2 - 3\cdot4) = 0. Nincs tehát 3 × 3-as nemnulla aldeterminánsa. De a bal felső másodrendű aldetermináns a 6 ≠ 0, azaz van másodrendű, azaz r(M)=2.

Személyes eszközök