Mátrix rangja
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Példák) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
(egy szerkesztő 3 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | Egy ''n'' × ''m''-es '''mátrix rang'''ján a mátrix oszlopai által kifeszített '''R'''<sup> | + | Egy ''n'' × ''m''-es '''mátrix rang'''ján a mátrix oszlopai által kifeszített '''R'''<sup>n</sup>-beli altér dimenzióját értjük. A mátrix rangja tehát ''k'', ha oszlopai közül kiválasztható ''k'' db lineárisan független, de ''k'' + 1 db már nem. |
==Definíció== | ==Definíció== | ||
Ha tehát az ''A'' ∈ '''R'''<sup>n×m</sup> mátrix alakja: | Ha tehát az ''A'' ∈ '''R'''<sup>n×m</sup> mátrix alakja: | ||
58. sor: | 58. sor: | ||
\Rightarrow \mathrm{r}(B) = 2 | \Rightarrow \mathrm{r}(B) = 2 | ||
</math> | </math> | ||
− | mert alsó sor tiviálisan teljesül, a felső kettőból pedig kifejezhető λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>, éspedig: λ<sub>2</sub> = 4/6 = 2/3, λ<sub>1</sub> = 5/3 (és persze az első két oszlop független, mert | + | mert alsó sor tiviálisan teljesül, a felső kettőból pedig kifejezhető λ<sub>1</sub>, λ<sub>2</sub>, éspedig: λ<sub>2</sub> = 4/6 = 2/3, λ<sub>1</sub> = 5/3 (és persze az első két oszlop független, mert a másodikat a 2 nemnulla miatt sehogyan se lehet kifejezni az elsőből ennek a két nullája miatt). |
==Sorrang és determinánsrang== | ==Sorrang és determinánsrang== | ||
78. sor: | 78. sor: | ||
\end{pmatrix}</math> | \end{pmatrix}</math> | ||
Tekintsük a determinánsrangot! A mátrixot az első oszlopa szerint [[kifejtési tétel|kifejtve]] kapjuk, hogy det(M) = 1 <math>\cdot</math> (6<math>\cdot</math>2 - 3<math>\cdot</math>4) = 0. Nincs tehát 3 × 3-as nemnulla aldeterminánsa. De a bal felső másodrendű aldetermináns a 6 ≠ 0, azaz van másodrendű, azaz r(M)=2. | Tekintsük a determinánsrangot! A mátrixot az első oszlopa szerint [[kifejtési tétel|kifejtve]] kapjuk, hogy det(M) = 1 <math>\cdot</math> (6<math>\cdot</math>2 - 3<math>\cdot</math>4) = 0. Nincs tehát 3 × 3-as nemnulla aldeterminánsa. De a bal felső másodrendű aldetermináns a 6 ≠ 0, azaz van másodrendű, azaz r(M)=2. | ||
+ | |||
+ | '''2.''' | ||
+ | :<math>C=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 1 & -1\;\;\; & 1 & 8\\ | ||
+ | 2 & 1 & -1\;\;\; & -1\;\;\; & 3\\ | ||
+ | 1 & 2 & 1 & -2\;\;\; & 0\\ | ||
+ | 1 & -1\;\;\; & -1\;\;\; & 3 & 12 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | C rangja nyilván kisebb négynél, mert a sorok száma négy. A Gauss-eljárás azonnal megmondja, hány független oszlop van. | ||
+ | |||
+ | :<math>C\sim\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 1 & -1\;\;\; & 1 & 8\\ | ||
+ | 0 & -1\;\;\; & 1 & -3\;\;\; & -13\;\;\;\;\;\\ | ||
+ | 0 & 0 & 1 & -2\;\;\; & -7\;\;\;\\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 & 2 & 8 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | eszerint 4 független oszlop van (az ötödik már kifejezhető a többiből). | ||
+ | |||
+ | '''3.''' | ||
+ | :<math> D=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & -8\;\;\; & 9 & -32\;\;\;\;\;\\ | ||
+ | 2 & -1\;\;\; & 3 & -1\;\;\;\\ | ||
+ | 1 & 2 & -1\;\;\;& 12\;\;\; | ||
+ | \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & -8\;\;\; & 9 & -32\;\;\;\;\;\\ | ||
+ | 0 & 15\;\; & -15\;\;\;\;\; & 63\;\;\;\\ | ||
+ | 0 & 0 & 0 & 2\;\;\; | ||
+ | \end{pmatrix} </math> | ||
+ | Ez a lépcsős alak arról árulkodik, hogy az 1. 2. és 4. oszlop függetelen vektorrendszert alkot, miközben a 3. kifejezhető az első kettő lineáris kombinációjaként. | ||
+ | |||
+ | [[Kategória: Lineáris algebra]] |
A lap jelenlegi, 2008. május 20., 13:36-kori változata
Egy n × m-es mátrix rangján a mátrix oszlopai által kifeszített Rn-beli altér dimenzióját értjük. A mátrix rangja tehát k, ha oszlopai közül kiválasztható k db lineárisan független, de k + 1 db már nem.
Tartalomjegyzék |
Definíció
Ha tehát az A ∈ Rn×m mátrix alakja:
ahol A1, A2, ..., Am az oszlopai, akkor
ahol
jelöli az oszlopvektorok által kifeszített (generált) alteret.
Példák
1.
- ekkor
Világos, hogy az első két vektor független rendszert alkot, tehát r(A) legalább 2 (és legfeljebb 3, mert ilyen hosszúak). A kérdés, hogy a harmadik kifejezhető-e az első kettő lineáris kombinációjaként, azaz megoldható-e az
egyenletrendszer (λ1,λ2)-re? Akibővítet mártix maga az A. Ebből Gauss-eliminációval (a középső kétszeresét kivonjuk a legalsóból)
Az alsó sor így:
aminek nincs megoldása. Tehát a harmadik oszlop nem fejezhető ki az első kettő lineáris kombinációjával, így függetlenek, ergó a rang 3.
- Általánosan: ha az A n × n-es mátrixot Gauss-eliminálva háromszögmátrix jön ki, nemnulla főátlóbeli elemekkel, akkor A rangja a dimenzió: n.
2.
mert alsó sor tiviálisan teljesül, a felső kettőból pedig kifejezhető λ1, λ2, éspedig: λ2 = 4/6 = 2/3, λ1 = 5/3 (és persze az első két oszlop független, mert a másodikat a 2 nemnulla miatt sehogyan se lehet kifejezni az elsőből ennek a két nullája miatt).
Sorrang és determinánsrang
A fenti fogalmaz oszloprangnak nevezzük. Belátható, hogy a függetlesn sorok maximális száma ugyanannyi, mint a független oszlopok maximális száma, azaz a sorrang egyenlő az oszlopranggal. Ebből az is következik, hogy
A számolásokban hasznos a következő tétel. Nevezzük egy tetszőleges mártix esetén aldeterminánsnak azt, hogy a mátrix tetszőleges négyzetes részmátrixának vesszük a determinánsát. Négyzetes részmátrixot úgy választunk ki, hogy vesszük a mátrix valamely k db oszlopát és k db sorát, és a metszéspontokban lévő elemekből alkotunk egy mátrixot. Az ilyet még k-adrendű minormátrixnak, determinánsát k-adrendű aldeterminánsnak is nevezzük. Ha a mátrix n × n-es kvadratikus, akkor maga is sajét maga egy (n-edrendű) minormátrixa. Ekkor
Tétel. Az A mátrix rangja az r szám, ha van r-edrendű nemulla aldeterminánsa, de nincs r + 1-ed rendű nemulla aldeterminánsa.
Ez utóbbi fogalmat determinánsrangnak nevezzük és mely atétel szerint egyezik a ranggal.
Példák
1.
Tekintsük a determinánsrangot! A mátrixot az első oszlopa szerint kifejtve kapjuk, hogy det(M) = 1 (62 - 34) = 0. Nincs tehát 3 × 3-as nemnulla aldeterminánsa. De a bal felső másodrendű aldetermináns a 6 ≠ 0, azaz van másodrendű, azaz r(M)=2.
2.
C rangja nyilván kisebb négynél, mert a sorok száma négy. A Gauss-eljárás azonnal megmondja, hány független oszlop van.
eszerint 4 független oszlop van (az ötödik már kifejezhető a többiből).
3.
Ez a lépcsős alak arról árulkodik, hogy az 1. 2. és 4. oszlop függetelen vektorrendszert alkot, miközben a 3. kifejezhető az első kettő lineáris kombinációjaként.