Mátrix rangja
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Sorrang és determinánsrang) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
63. sor: | 63. sor: | ||
:<math>A\in \mathbf{R}^{n\times m}\quad\Rightarrow\quad\mathrm{r}(A)\leq n \quad\mathrm{\acute{e}s}\quad \mathrm{r}(A)\leq m</math> | :<math>A\in \mathbf{R}^{n\times m}\quad\Rightarrow\quad\mathrm{r}(A)\leq n \quad\mathrm{\acute{e}s}\quad \mathrm{r}(A)\leq m</math> | ||
A számolásokban hasznos a következő tétel. Nevezzük egy tetszőleges mártix | A számolásokban hasznos a következő tétel. Nevezzük egy tetszőleges mártix | ||
− | esetén aldeterminánsnak azt, hogy a mátrix tetszőleges négyzetes részmátrixának vesszük a determinánsát. Négyzetes részmátrixot úgy választunk ki, hogy vesszük a mátrix valamely k db oszlopát és k db sorát, és a metszéspontokban lévő elemekből alkotunk egy mátrixot. Az ilyet még k-adrendű | + | esetén aldeterminánsnak azt, hogy a mátrix tetszőleges négyzetes részmátrixának vesszük a determinánsát. Négyzetes részmátrixot úgy választunk ki, hogy vesszük a mátrix valamely k db oszlopát és k db sorát, és a metszéspontokban lévő elemekből alkotunk egy mátrixot. Az ilyet még k-adrendű minormátrixnak, determinánsát k-adrendű aldeterminánsnak is nevezzük. Ha a mátrix n × n-es kvadratikus, akkor maga is sajét maga egy (n-edrendű) minormátrixa. Ekkor |
'''Tétel.''' Az A mátrix rangja az r szám, ha van r-edrendű nemulla aldeterminánsa, de nincs r + 1-ed rendű nemulla aldeterminánsa. | '''Tétel.''' Az A mátrix rangja az r szám, ha van r-edrendű nemulla aldeterminánsa, de nincs r + 1-ed rendű nemulla aldeterminánsa. | ||
+ | |||
+ | Ez utóbbi fogalmat determinánsrangnak nevezzük és mely atétel szerint egyezik a ranggal. | ||
===Példák=== | ===Példák=== | ||
+ | '''1.''' | ||
+ | :<math>M=\begin{pmatrix} | ||
+ | 1 & 2 & 3 \\ | ||
+ | 0 & 6 & 4 \\ | ||
+ | 0 & 3 & 2 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> | ||
+ | Tekintsük a determinánsrangot! A mátrixot az első oszlopa szerint [[kifejtési tétel|kifejtve]] kapjuk, hogy det(M) = 1 <math>\cdot</math> (6<math>\cdot</math>2 - 3<math>\cdot</math>4) = 0. Nincs tehát 3 × 3-as nemnulla aldeterminánsa. De a bal felső másodrendű aldetermináns a 6 ≠ 0, azaz van másodrendű, azaz r(M)=2. |
A lap 2008. február 2., 11:22-kori változata
Egy n × m-es mátrix rangján a mátrix oszlopai által kifeszített Rm-beli altér dimenzióját. A mátrix rangja tehát k, ha oszlopai közül kiválasztható k db lineárisan független, de k + 1 db már nem.
Tartalomjegyzék |
Definíció
Ha tehát az A ∈ Rn×m mátrix alakja:
ahol A1, A2, ..., Am az oszlopai, akkor
ahol
jelöli az oszlopvektorok által kifeszített (generált) alteret.
Példák
1.
- ekkor
Világos, hogy az első két vektor független rendszert alkot, tehát r(A) legalább 2 (és legfeljebb 3, mert ilyen hosszúak). A kérdés, hogy a harmadik kifejezhető-e az első kettő lineáris kombinációjaként, azaz megoldható-e az
egyenletrendszer (λ1,λ2)-re? Akibővítet mártix maga az A. Ebből Gauss-eliminációval (a középső kétszeresét kivonjuk a legalsóból)
Az alsó sor így:
aminek nincs megoldása.
- Általánosan: ha az A n × n-es mátrixot Gauss-eliminálva háromszögmátrix jön ki, nemnulla főátlóbeli elemekkel, akkor A rangja a dimenzió: n.
2.
mert alsó sor tiviálisan teljesül, a felső kettőból pedig kifejezhető λ1, λ2, éspedig: λ2 = 4/6 = 2/3, λ1 = 5/3 (és persze az első két oszlop független, mert az elsőt a 2 nulla miatt sehogyan se lehet kifejezni a második oszloppal).
Sorrang és determinánsrang
A fenti fogalmaz oszloprangnak nevezzük. Belátható, hogy a függetlesn sorok maximális száma ugyanannyi, mint a független oszlopok maximális száma, azaz a sorrang egyenlő az oszlopranggal. Ebből az is következik, hogy
A számolásokban hasznos a következő tétel. Nevezzük egy tetszőleges mártix esetén aldeterminánsnak azt, hogy a mátrix tetszőleges négyzetes részmátrixának vesszük a determinánsát. Négyzetes részmátrixot úgy választunk ki, hogy vesszük a mátrix valamely k db oszlopát és k db sorát, és a metszéspontokban lévő elemekből alkotunk egy mátrixot. Az ilyet még k-adrendű minormátrixnak, determinánsát k-adrendű aldeterminánsnak is nevezzük. Ha a mátrix n × n-es kvadratikus, akkor maga is sajét maga egy (n-edrendű) minormátrixa. Ekkor
Tétel. Az A mátrix rangja az r szám, ha van r-edrendű nemulla aldeterminánsa, de nincs r + 1-ed rendű nemulla aldeterminánsa.
Ez utóbbi fogalmat determinánsrangnak nevezzük és mely atétel szerint egyezik a ranggal.
Példák
1.
Tekintsük a determinánsrangot! A mátrixot az első oszlopa szerint kifejtve kapjuk, hogy det(M) = 1 (62 - 34) = 0. Nincs tehát 3 × 3-as nemnulla aldeterminánsa. De a bal felső másodrendű aldetermináns a 6 ≠ 0, azaz van másodrendű, azaz r(M)=2.