Mátrix rangja

Egy n × m-es mátrix rangján a mátrix oszlopai által kifeszített R^m-beli altér dimenzióját. A mátrix rangja tehát k, ha oszlopai közül kiválasztható k db lineárisan független, de k + 1 db már nem.

Definíció

Ha tehát az A ∈ R^n×m mátrix alakja:

$A = \begin{pmatrix} \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ A_1 \\ \vert \\ \vert \end{matrix}& \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ A_2 \\ \vert \\ \vert \end{matrix} & ... & \begin{matrix}\vert \\ \vert \\ A_m \\ \vert \\ \vert \end{matrix} \end{pmatrix}$

ahol A₁, A₂, ..., A_m az oszlopai, akkor

$\mathrm{r}(A):=\mathrm{dim}\langle\{A_1,A_2,...A_m\}\rangle$

ahol

$\langle\{A_1,A_2,...A_m\}\rangle$

jelöli az oszlopvektorok által kifeszített (generált) alteret.

Példa

1.

$A = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 10 & 2 \end{pmatrix}$ ekkor $\mathrm{r}(A):=\mathrm{dim}\left\langle \begin{pmatrix}1\\0\\0\end{pmatrix},\begin{pmatrix}2\\5\\10\end{pmatrix},\begin{pmatrix}3\\4\\2\end{pmatrix}\right\rangle$

Világos, hogy az első két vektor független rendszert alkot, tehát r(A) legalább 2 (és legfeljebb 3, mert ilyen hosszúak). A kérdés, hogy a harmadik kifejezhető-e az első kettő lineáris kombinációjaként, azaz megoldható-e az

$\begin{pmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 5 \\ 0 & 10 \end{pmatrix}\cdot \begin{pmatrix} \lambda_1 \\ \lambda_2\end{pmatrix}=\begin{pmatrix} 3 \\ 4 \\ 2 \end{pmatrix}$

egyenletrendszer (λ₁,λ₂)-re? Akibővítet mártix maga az A. Ebből Gauss-eliminációval (a középső kétszeresét kivonjuk a legalsóból)

$\begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 5 & 4 \\ 0 & 0 & -6 \end{pmatrix}$

Az alsó sor így:

$0\cdot \lambda_1+0\cdot \lambda_2=-6$

aminek nincs megoldása.

Általánosan: ha az A n × n-es mátrixot Gauss-eliminálva háromszögmátrix jön ki, nemnulla főátlóbeli elemekkel, akkor A rangja a dimenzió: n.

2.

$B = \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 4 \\ 0 & 3 & 2 \end{pmatrix} \sim \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 0 & 6 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{pmatrix} \Rightarrow \mathrm{r}(B) = 2$

mert az alsó sor tiviálisan teljesül, a felső kettőból pedig kifejezhető λ₁, λ₂, éspedig: λ₂ = 4/6 = 2/3, λ₁ = 5/3