Matematika A1a 2008/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Inverzfüggvénytétel '''R'''-re) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonos differenciálhatóság) |
||
(egy szerkesztő 10 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
9. sor: | 9. sor: | ||
függvénynek nincs folytonos kiterjeszése a [0,+∞) zárt halmazra, hisz a 0-ban nem létezik határértéke. | függvénynek nincs folytonos kiterjeszése a [0,+∞) zárt halmazra, hisz a 0-ban nem létezik határértéke. | ||
− | Az egyenletesen folytonos függvények azonban ilyenek lesznek. | + | Az egyenletesen folytonos függvények azonban ilyenek lesznek (alább egy példában belátjuk, hogy a fenti függvény valóban nem egyenletesen folytonos). |
'''Definíció.''' Legyen ''f'' a valós számok egy részhalmazán értelmezett, valósba képező függvény és ''H'' ⊆ Dom(''f''). Azt mondjuk, hogy az ''f'' '''egyenletesen folytonos a H halmazon''', ha | '''Definíció.''' Legyen ''f'' a valós számok egy részhalmazán értelmezett, valósba képező függvény és ''H'' ⊆ Dom(''f''). Azt mondjuk, hogy az ''f'' '''egyenletesen folytonos a H halmazon''', ha | ||
:<math>(\forall\varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x,y\in H)(|x-y|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(y)|< \varepsilon)</math> | :<math>(\forall\varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x,y\in H)(|x-y|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(y)|< \varepsilon)</math> | ||
+ | |||
+ | Tehát az egyenletes folytonosság '''közös''' delta létezését állítja minden a halmazban lévő pontra, szemben a pontbéli folyonossággal, mely csak külön deltákat garantál mindenhol. | ||
'''Példa.''' A négyzetgyök-függvény egyenletesen folytonos. | '''Példa.''' A négyzetgyök-függvény egyenletesen folytonos. | ||
22. sor: | 24. sor: | ||
:<math>\leq\sqrt{|x-y|}\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{|x-y|}<\sqrt{\delta}=\sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon</math> | :<math>\leq\sqrt{|x-y|}\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{|x-y|}<\sqrt{\delta}=\sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon</math> | ||
Tehát bármely ε-hoz ''közös'' δ található minden ponthoz. | Tehát bármely ε-hoz ''közös'' δ található minden ponthoz. | ||
+ | |||
+ | '''Nem egyenletes folytonosság jellemzése.''' Ha azt szeretnénk definíció szerint belátni, hogy egy függvény nem egyenletesen folytonos egy halmazon, akkor a folytonossághoz hasonló módon a sorozatokkal történő jellemzés eszközéhez szoktunk folyamodni. Először is a definíció tagadását kell felírnunk, ebből fogjuk a sorozatokkal jellemezni a nem-egyenletes folytonosságot. | ||
+ | |||
+ | ''f'' nem egyenletesen folytonos a ''H'' halmazon, ha | ||
+ | |||
+ | :<math>(\exists \varepsilon>0)(\forall \delta>0)(\exists x,y \in H)(|x-y|< \delta,\;\;\mathrm{de}\;\;|f(x)-f(y)|\geq\varepsilon)</math> | ||
+ | |||
+ | Itt δ helyett írhatjuk az (1/n) sorozatot, hiszen, ha minden ''n''-re igaz a kijelentés a δ=1/n-re, akkor minden δ-ra is igaz: | ||
+ | |||
+ | :<math>(\exists \varepsilon>0)(\forall n\in\mathbf{Z}^+)(\exists x_n,y_n \in H)(|x_n-y_n|< \frac{1}{n},\;\;\mathrm{de}\;\;|f(x_n)-f(y_n)|\geq\varepsilon)</math> | ||
+ | |||
+ | A következő példák erre vonatkoznak: | ||
'''Példa.''' A reciprok a pozitív számok halmazán nem egyenletesen folytonos. | '''Példa.''' A reciprok a pozitív számok halmazán nem egyenletesen folytonos. | ||
27. sor: | 41. sor: | ||
''Ugyanis.'' Például az ε=1 esetén minden δ=1/n-re meg kell adnunk olyan <math>x_n</math> és <math>y_n</math> pozitív számokat, hogy ''bár'' <math>|x_n-y_n|<1/n</math>, ''de'' <math>|(1/x_n)-(1/y_n)|\geq 1</math> legyen. Márpedig | ''Ugyanis.'' Például az ε=1 esetén minden δ=1/n-re meg kell adnunk olyan <math>x_n</math> és <math>y_n</math> pozitív számokat, hogy ''bár'' <math>|x_n-y_n|<1/n</math>, ''de'' <math>|(1/x_n)-(1/y_n)|\geq 1</math> legyen. Márpedig | ||
:<math>x_n=\frac{1}{n}</math> és <math> y_n=\frac{1}{n+1}\,</math> | :<math>x_n=\frac{1}{n}</math> és <math> y_n=\frac{1}{n+1}\,</math> | ||
− | ilyen. A különbségük a 0-hoz tart, a reciprok-különbségük viszont 1 | + | ilyen. A különbségük a 0-hoz tart, a reciprok-különbségük viszont 1. |
− | + | '''Példa.''' Legyen | |
+ | :<math>f(x)=\sin(1/x)\,</math>, | ||
+ | és vizsgáljuk meg, hogy ez egyenletesen folytonos-e a (0,1) nyílt intervallumon. | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' Bár f folytonos a (0,1)-en, de a (0,1) nem zárt, azaz a Heine-tétel (lásd alább) nem alkalmazható. Hasonlóképpen a függvény deriváltja nem korlátos, ezért a később említendő kritérium sem alkalmazható. Gyanítható, hogy a függvény nem egyenletesen folytonos. | ||
+ | |||
+ | Legyen ε = 1. Kiválasztjuk f nullhelyeit az egyik, a maximumhelyeit a másik sorozatnak, mert ezek függvényértékeinek különbsége biztos, hogy nem tart a nullához: | ||
+ | :<math>x_n=\frac{1}{2n\pi}</math> | ||
+ | :<math>y_n=\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}</math> | ||
+ | Ekkor | ||
+ | :<math>x_n-y_n=\frac{1}{2n\pi}-\frac{1}{2n\pi+\frac{\pi}{2}}=\frac{\frac{\pi}{2}}{2n\pi(2n\pi+\frac{\pi}{2})}<\frac{\frac{\pi}{2}}{4n^2\pi^2}=\frac{1}{8n^2\pi}<\frac{1}{n}</math> | ||
+ | de a függvényértékek különbsége: | ||
+ | :<math>|\sin(x_n)-\sin(y_n)|=|\sin(2n\pi)-\sin(2n\pi+\pi/2)|=|0-1|=1\geq\varepsilon</math> | ||
+ | azaz nagyobb egyenlő a megadott epszilonnál. | ||
+ | |||
+ | ===Heine tétele=== | ||
'''Tétel''' -- ''Heine tétele'' -- Zárt és korlátos intervallumon értelmezett folytonos függvény egyenletesen folytonos. | '''Tétel''' -- ''Heine tétele'' -- Zárt és korlátos intervallumon értelmezett folytonos függvény egyenletesen folytonos. | ||
+ | '''Példa.''' Igazoljuk, hogy a | ||
+ | :<math>g(x)=x\sin(1/x)\,</math> | ||
+ | függvény egyenletesen folytonos a (0,1) intervallumon. | ||
+ | |||
+ | ''Mo.'' g-nek van folytonos kiterjesztése a [0,1] zárt korlátos intervallumra, mert egyfelől 1-ben értelmezhető folytonos módon a fenti formulával, másfelől 0-ban korlátos szor nullához tartó alakú, azaz a határértéke nulla. Legyen | ||
+ | :<math>h(x)=\begin{cases}x\sin(1/x),\;\;x\ne 0\\0, \;\;x=0\end{cases}</math> | ||
+ | h folytonos a zárt [0,1]-en, így Heine tétele miatt egyenletesen folytonos. De tudjuk, hogy egyenletesen folytonos függvény minden leszűkítése is egyenletesen folytonos, azaz h leszűkítése a g is egyenletesen folytonos. Ez az előbb említett, a leszűkítésre vonatkozó állítás azért igaz, mert ha van közös delta egy bővebb halmazon, akkor nyilván ugyanez a delta jó lesz a szűkebb halmazon is. | ||
===Lipschitz-tulajdonság=== | ===Lipschitz-tulajdonság=== | ||
60. sor: | 96. sor: | ||
:<math>f(x)=\frac{1}{x}\,</math> | :<math>f(x)=\frac{1}{x}\,</math> | ||
egyenletesen folytonos az [1,+∞) halmazon. | egyenletesen folytonos az [1,+∞) halmazon. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
''Ugyanis,'' itt korlátos a deriváltja: | ''Ugyanis,'' itt korlátos a deriváltja: | ||
65. sor: | 104. sor: | ||
Ezért ha x ∈ [1,+∞), akkor | Ezért ha x ∈ [1,+∞), akkor | ||
:<math>\left| -\frac{1}{x^2}\right|=\frac{1}{x^2}\leq 1</math> | :<math>\left| -\frac{1}{x^2}\right|=\frac{1}{x^2}\leq 1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
'''Példa.''' A mindenhol értelmezett | '''Példa.''' A mindenhol értelmezett | ||
:<math>f(x)=\cos\sqrt[3]{x}\,</math> | :<math>f(x)=\cos\sqrt[3]{x}\,</math> | ||
függvény egyenletesen folytonos. | függvény egyenletesen folytonos. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
''Ugyanis,'' a [-1,1] zárton a Heine-tétel miatt egyenletesen folytonos, azon kívül pedig | ''Ugyanis,'' a [-1,1] zárton a Heine-tétel miatt egyenletesen folytonos, azon kívül pedig | ||
75. sor: | 120. sor: | ||
== Folytonos differenciálhatóság== | == Folytonos differenciálhatóság== | ||
− | '''Tétel. ''' -- | + | '''Tétel. ''' -- Zárt intervallumon differenciálható függvény deriválfüggvénynek, nem lehet megszüntethető szakadása. |
''Ugyanis.'' Legyen f:[a,b] <math>\to</math> '''R''' diff.-ható és tegyük fel, hogy létezik a | ''Ugyanis.'' Legyen f:[a,b] <math>\to</math> '''R''' diff.-ható és tegyük fel, hogy létezik a | ||
202. sor: | 247. sor: | ||
:<math>L\leq |\frac{x_1-x_2}{f^{-1}(y_1)-f^{-1}(y_2)}|\,</math> | :<math>L\leq |\frac{x_1-x_2}{f^{-1}(y_1)-f^{-1}(y_2)}|\,</math> | ||
azaz | azaz | ||
− | :<math>\frac{1}{L}|y_1-y_2|\ | + | :<math>\frac{1}{L}|y_1-y_2|\geq |f^{-1}(y_1)-f^{-1}(y_2)w\,</math> |
azaz az inverz lipschitzes a környzetben, azaz a pontban folytonos. | azaz az inverz lipschitzes a környzetben, azaz a pontban folytonos. | ||
3) 4) ezt egyszerre igazoljuk. Az ''u''-beli diffhatóság miatt: | 3) 4) ezt egyszerre igazoljuk. Az ''u''-beli diffhatóság miatt: | ||
223. sor: | 268. sor: | ||
::<math>=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\mathrm{arc\,sin}(y))}}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}</math> | ::<math>=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\mathrm{arc\,sin}(y))}}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}</math> | ||
+ | <!-- | ||
==Paraméteres görbe és Cauchy-féle középértéktétel== | ==Paraméteres görbe és Cauchy-féle középértéktétel== | ||
242. sor: | 288. sor: | ||
amit Cauchy-féle középértékételnek nevezünk. | amit Cauchy-féle középértékételnek nevezünk. | ||
− | Ebből következtethetünk az erős L'Hospital-szabály első deriválttas alakjára: | + | Ebből következtethetünk az erős L'Hospital-szabály első deriválttas alakjára:--> |
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap jelenlegi, 2014. november 26., 07:38-kori változata
Tartalomjegyzék |
A derivált korlátosságának témaköre
Egyenletes folytonosság
A folytonosság lokális tulajdonság. Létezik azonban ennek a fogalomnak globális változata is. A jellegzetes különbségre a két folytonosság között, a következő kérdés mutat rá. Igaz-e, hogy a H halmazon folytonos f függvény kiterjeszthető úgy a H halmaz lezártjára olymódon, hogy a kiterjesztés is folytonos lesz? A válasz nem: az
függvénynek nincs folytonos kiterjeszése a [0,+∞) zárt halmazra, hisz a 0-ban nem létezik határértéke.
Az egyenletesen folytonos függvények azonban ilyenek lesznek (alább egy példában belátjuk, hogy a fenti függvény valóban nem egyenletesen folytonos).
Definíció. Legyen f a valós számok egy részhalmazán értelmezett, valósba képező függvény és H ⊆ Dom(f). Azt mondjuk, hogy az f egyenletesen folytonos a H halmazon, ha
Tehát az egyenletes folytonosság közös delta létezését állítja minden a halmazban lévő pontra, szemben a pontbéli folyonossággal, mely csak külön deltákat garantál mindenhol.
Példa. A négyzetgyök-függvény egyenletesen folytonos.
Elemi úton látjuk be. Egyfelől világos, hogy ha ε>0, akkor a δ = ε2 olyan, hogy minden nemnegatív x-re, ha x < δ, akkor
Másrészt legyen x, y > 0 és legyen ε>0. Ekkor a δ = ε2 szintén alkalmas választás, mert:
Tehát bármely ε-hoz közös δ található minden ponthoz.
Nem egyenletes folytonosság jellemzése. Ha azt szeretnénk definíció szerint belátni, hogy egy függvény nem egyenletesen folytonos egy halmazon, akkor a folytonossághoz hasonló módon a sorozatokkal történő jellemzés eszközéhez szoktunk folyamodni. Először is a definíció tagadását kell felírnunk, ebből fogjuk a sorozatokkal jellemezni a nem-egyenletes folytonosságot.
f nem egyenletesen folytonos a H halmazon, ha
Itt δ helyett írhatjuk az (1/n) sorozatot, hiszen, ha minden n-re igaz a kijelentés a δ=1/n-re, akkor minden δ-ra is igaz:
A következő példák erre vonatkoznak:
Példa. A reciprok a pozitív számok halmazán nem egyenletesen folytonos.
Ugyanis. Például az ε=1 esetén minden δ=1/n-re meg kell adnunk olyan xn és yn pozitív számokat, hogy bár | xn − yn | < 1 / n, de legyen. Márpedig
- és
ilyen. A különbségük a 0-hoz tart, a reciprok-különbségük viszont 1.
Példa. Legyen
- ,
és vizsgáljuk meg, hogy ez egyenletesen folytonos-e a (0,1) nyílt intervallumon.
Mo. Bár f folytonos a (0,1)-en, de a (0,1) nem zárt, azaz a Heine-tétel (lásd alább) nem alkalmazható. Hasonlóképpen a függvény deriváltja nem korlátos, ezért a később említendő kritérium sem alkalmazható. Gyanítható, hogy a függvény nem egyenletesen folytonos.
Legyen ε = 1. Kiválasztjuk f nullhelyeit az egyik, a maximumhelyeit a másik sorozatnak, mert ezek függvényértékeinek különbsége biztos, hogy nem tart a nullához:
Ekkor
de a függvényértékek különbsége:
azaz nagyobb egyenlő a megadott epszilonnál.
Heine tétele
Tétel -- Heine tétele -- Zárt és korlátos intervallumon értelmezett folytonos függvény egyenletesen folytonos.
Példa. Igazoljuk, hogy a
függvény egyenletesen folytonos a (0,1) intervallumon.
Mo. g-nek van folytonos kiterjesztése a [0,1] zárt korlátos intervallumra, mert egyfelől 1-ben értelmezhető folytonos módon a fenti formulával, másfelől 0-ban korlátos szor nullához tartó alakú, azaz a határértéke nulla. Legyen
h folytonos a zárt [0,1]-en, így Heine tétele miatt egyenletesen folytonos. De tudjuk, hogy egyenletesen folytonos függvény minden leszűkítése is egyenletesen folytonos, azaz h leszűkítése a g is egyenletesen folytonos. Ez az előbb említett, a leszűkítésre vonatkozó állítás azért igaz, mert ha van közös delta egy bővebb halmazon, akkor nyilván ugyanez a delta jó lesz a szűkebb halmazon is.
Lipschitz-tulajdonság
Jellegzetes folytonosságtípus a Lipschitz-folytonosság.
Definíció. A f:R ⊇ A R függvény Lipschitz-tulajdonságú, ha létezik olyan L > 0 szám, hogy minden x,y ∈ A-ra:
Világos, hogy ekkor f egyenletesen folytonos A-n, ugyanis legyen ε > 0. Ekkor a δ = ε/L olyan, hogy ha |x-y| < δ, akkor
Fordítva már nem igaz. A gyökfüggvény egyenletesen folytonos, de nem Lipschitz-tulajdonságú, ugyanis x=1/n, y=1/(n+1)-gyel:
Intervallumon értelmezett differenciálható függvény pontosan akkor Lipschtz-tulajdonságú, ha a deriváltja korlátos.
Ugyanis, 1) ha korlátos a derivált, akkor a Lagrange-tétellel találunk L-et. 2) ha lipschiztes, akkor minden különbségi hányadosnak ugyanaz a korlátja, így korlátos a derivált.
Korlátos derivált
Ha az f intervallumon értelmezett differenciálható függvény korlátos deriválttal rendelkezik, akkor a Lagrange-féle középértéktétel miatt f egyenletesen folytonos, sőt Lischitz-tulajdonsgú az értelmezési tartományán. Ugyanis legyen K olyan pozitív szám, hogy minden x ∈ Dom(f)-re:
Ha ε > 0 és δ:=ε/K, akkor minden x,y ∈ Dom(f)-re, ha |x-y| < δ, létezik ξ az x és az y között, hogy azzal:
Példa. Az
egyenletesen folytonos az [1,+∞) halmazon.
Ugyanis, itt korlátos a deriváltja:
Ezért ha x ∈ [1,+∞), akkor
Példa. A mindenhol értelmezett
függvény egyenletesen folytonos.
Ugyanis, a [-1,1] zárton a Heine-tétel miatt egyenletesen folytonos, azon kívül pedig
Folytonos differenciálhatóság
Tétel. -- Zárt intervallumon differenciálható függvény deriválfüggvénynek, nem lehet megszüntethető szakadása.
Ugyanis. Legyen f:[a,b] R diff.-ható és tegyük fel, hogy létezik a
és véges. Ekkor belátjuk, hogy ez a derivált a-beli helyettesítési értéke. Kiszámítjuk különbségi hányados határértéktét! Vegyük az xn = a + 1/n sorozatot (ill ennek [a,b]-beli részét). Minden [a,a+1/n] intervallumra felírhatjuk a Lagrange-tételt:
Ekkor a különbségi hányados függvényértékek sorozata egyenlő lesz a derivált egy függvényértéksorozatával, melyek így ugyanahhoz tartanak. De ez csak az f'(a) és a limuf' számok lehetnek, amik így egyenlők.
Ne keressünk tehát sem ugrást, sem megszüntethető szakadást a derivátlfüggvényen. Ellenben lehet korlátos másodfajú és a végtelen másodfajú szakadása.
6. Feladat. Határozzuk meg, hogy az alábbi függvények folytonosan differencálhatóak-e?
Megoldás. Mindegyiknél a metódus az, hogy (A) Meghatározzuk a deriváltfüggvény határértékét , (B) meghatározzuk a pontbeli deriváltat (C) Megnézzük, hogy egyenlők-e? Ha (A)-ban nincs határérték, akkor abból már kövevetkezik, hogy nem folyt. diff a függvény.
1.
nem folyt diff a 0-ban, mert nincs lim0 f', mert a második tag határértéke nem létezik (bár korlátos).
2.
nwm folyt diff a 0-ban, mert nincs lim0 f', mert a második tag határértéke nem létezik és nem is korlátos.
3.
Már csak a pontbeli deriváltat kell kiszámítani. Ez is 0.
A fenti tételen kívül több is igaz.
Állítás. Ha f:[a,b] R folytonos a-ban, differenciálható a nyílton és létezik a derivált határértéke a-ban és ez véges szám, akkor f-nek létezik a deriváltja a-ban (és a deriváltja a fent említett tétel miatt a lima f' szám.
Bizonyítás. A későbbiekben igazolandó erős L'Hospital-tétel következménye. Tekintsük a különbségi hányados függvényt, legyen a L'H-beli "f" az f(x)-f(a), az x-a a g. Ekkor
azaz létezik a pontbeli derivált és ez a derivált határértéke.
Kérdés: hol használtuk fel, hogy az f függvény folytonos?
Tétel. -- Darboux-tétel -- Az f:[a,b] R differenciálható függvény deriváltfüggvénye Darboux-tulajdonságú (azaz minden ilyen függvény két függvényértéke között minden értéket fölvesz).
Ugyanis, Legyen f'(a)<m<f'(b) és igazoljuk, hogy létezik ξ ∈ (a,b), hogy f'(ξ) = m. Vegyük a Lagrange-tételhez hasonlóan a
függvényt. Megállapíthatjuk, hogy tetszőleges x ∈ (a,b)-re
ha tehát keresünk g-hez stacionárius pontot (a,b)-n, akkor megtaláltuk ξ-t. Ilyet a Weierstrass-tétellel kereshetünk. g folytonos, így van maximuma és minimuma. Kell, hogy legyen belül is, ugyanis, ha csak kívül venné fel a szélsőértékeit, akkor a következő történne. g'(a) < 0, így a-ban g lokálisan csökken, hiszen ekkor van olyan kis intervallum, ahol az a-beli különbségihányados függvény negatív, azaz
ugyanekkor egy kis környzetben b-körül a függvény szintén lokálisan, hiszen
és így
Sem a-ban, sem b-ben ezek szerint nem lehet a ξ minimum, így annak belül kell lennie. Ekkor viszont alkalmazható a Fermat-tétel, mellyel:
- , azaz
Feladat. Igaz-e?
- R R differenciálható függvény deriváltfüggvénye minden zárt és korlátos intervallumon felveszi minimumát és maximumát.
- Ha az R R differenciálható függvény deriváltfüggvénye negatív és pozitív értékeket is felvesz, akkor van a driváltnak zérushelye.
- R R differenciálható függvény deriváltfüggvénye korlátos, akkor létezik olyan L szám, hogy minden x,y-ra: |f(x)-f(y)| < L|x-y|.
- A deriválható függvények egyenletesen folytonosak.
- Korlátos és zárt intervallumon differenciálható függvények egyenletesen folytonos.
- A korlátos deriválttal rendelkező függvények egyenletesen folytonosak.
Inverzfüggvénytétel R-re
Tétel -- Globális inverzfüggvény-tétel -- Ha f: I R függvény folytonosan differenciálható és f' sehol se nulla, akkor
- f invertálható
- f inverze folytonos (f homeomorfizmus)
- f inverze deriválható (f diffeomorfizmus)
- minden x ∈ I-re
Megjegyzés. Részeletesebb indoklás azt is kimutatja, hogy a derivált folytonossága nem szükséges (bár nem árt :).
Bizonyítás. 1) A derivált mindenhol azonos előjelű, ellenkező esetben lenne két hely, ahol különböző, de a Darboux-tétel miatt akkor lenne zérushelye is a deriváltnak, ami ellentmond a feltételeknek. Tehát f szigorúan monoton, így invertálható.
2) Minden a ∈ I pontban a derivált nem nulla és folytonos, így létezik olyan környzete, melyben a derivált mindenhol egy L pozitív számál nagyobb. Ezért a Lagrange-tétel miatt a környzet bármely két x1, x2 pontjára:
Emiatt az x=f-1(y) áttéréssel:
azaz
azaz az inverz lipschitzes a környzetben, azaz a pontban folytonos. 3) 4) ezt egyszerre igazoljuk. Az u-beli diffhatóság miatt:
Itt az
függvény akkor lesz folytonos és v-ben eltűnő, ha maga f-1 is folytonos v-ben.
Példa. Igazoljuk, hogy létezik a sin inverze a [-π/2,π/2]-n és az inverz folytonos a [-1,1]-en (ez az arcsin) ezen kívül az inverz deriválható a belső pontokban!
Ugyanis. [-π/2,π/2]-n a sin szigorúan monoton nő és inverz képe [-1,1]. Emiatt ez folytonos is és az inverzfüggvény-tétel miatt a nyílton differenciálható, ugyanis
az inverze: