Matematika A1a 2008/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Lagrange-tétel) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Gyenge L'Hospital-szabály) |
||
15. sor: | 15. sor: | ||
:<math>\lim\limits_{x\to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0} e^{\frac{\mathrm{ln}\,\cos x}{x}}= e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{ln}\,\cos x}{x}}=e^{\frac{\frac{\sin(0)}{\cos (0)}}{1}}=1</math> | :<math>\lim\limits_{x\to 0} (\cos x)^{\frac{1}{x}}=\lim\limits_{x\to 0} e^{\frac{\mathrm{ln}\,\cos x}{x}}= e^{\lim\limits_{x\to 0}\frac{\mathrm{ln}\,\cos x}{x}}=e^{\frac{\frac{\sin(0)}{\cos (0)}}{1}}=1</math> | ||
+ | |||
+ | ==Fermat-féle szélsőértéktétel== | ||
+ | |||
+ | Ha ''f'' valós-valós függvény és ''f'' differenciálható az ''u'' ∈ int Dom(''f'') pontban és ''f''-nek ''u''-ban lokális szélsőértéke van, akkor | ||
+ | :<math>f'(u)=0,</math> | ||
+ | |||
+ | Tipikus átvitelielves tétel, hisz a "határérték" létezését tudjuk, csak az értékét kell kiszámolnunk. Tegyük fel, hogy ''u''-ban minimum van. Legyen (δ<sub>n</sub>) az 0-hoz tartó pozitív sorozat, mely minden ''n''-re δ<sub>n</sub> + u, u- &deta;<sub>n</sub> ∈ Dom(''f''). Ekkor | ||
+ | :<math>0\leq f(u+\delta_n)-f(u)\,</math> és <math>f(u-\delta_n)-f(u)\geq 0\,</math> | ||
+ | Most az elsőt osszuk le &deta;<sub>n</sub>-nel, a másodikat -&deta;<sub>n</sub>-nel. Ekkor: | ||
+ | :<math>0\leq\frac{f(u+\delta_n)-f(u)}{\delta_n}\to f'(u)\,</math> és <math>f'(u)\leftarrow\frac{f(u-\delta_n)-f(u)}{-\delta_n}\leq 0\,</math> | ||
==Lagrange-tétel== | ==Lagrange-tétel== |
A lap 2008. november 25., 01:26-kori változata
Gyenge L'Hospital-szabály
Legyenek f és g: A R valós-valós függvények, u ∈ A ∩ A ', f(u)=g(u)=0, mindkettő differenciálható u-ban és g'(u) ≠ 0. Ekkor létezik a limu(f/g), és
Ugyanis,' írjuk fel az 1. definíciónak megfelelően a határértéket. Létezik az u-hoz olyan ε, η: A R, hogy minden x ∈ A ∩ Dom(f/g)-ra
és ∃limuε=ε(u)=0, ∃limuη=η(u)=0. Emiatt és f(u)=g(u)=0 miatt
Aminek a határéttéke, ha x tart u-hoz a kívánt hányados, amennyiben ellenőrizük, hogy g'(u) + η nem lesz nulla egy elég szűk környzeteben. Ekkor ugyanis a hányadosnak nem lenne értelme. Nos, |η| egy elég kis környzetben a nulla |g'(u)|/2 sugarú környzetében lesz, így ez a veszély nem fenyeget.
Példa.
Fermat-féle szélsőértéktétel
Ha f valós-valós függvény és f differenciálható az u ∈ int Dom(f) pontban és f-nek u-ban lokális szélsőértéke van, akkor
- f'(u) = 0,
Tipikus átvitelielves tétel, hisz a "határérték" létezését tudjuk, csak az értékét kell kiszámolnunk. Tegyük fel, hogy u-ban minimum van. Legyen (δn) az 0-hoz tartó pozitív sorozat, mely minden n-re δn + u, u- &deta;n ∈ Dom(f). Ekkor
- és
Most az elsőt osszuk le &deta;n-nel, a másodikat -&deta;n-nel. Ekkor:
- és
Lagrange-tétel
Legyen f: [a,b] R differenciálható függvény. Ekkor létezik olyan ξ ∈ (a,b), hogy
Ugyanis, Legyen
Olyan g differenciálható függvény adunk meg, melynek pontosan olyan x helyen van nulla deriváltja, ahol f'(x)=m. Transzformáljuk el az f függvényt az l(x)=m(x-a) függvénnyel. Ezzel a g(x) = f(x) - l(x) olyan lesz, hogy g(a)=f(a)=g(b). 1) g folytonos, így a Weierstrass-tétel miatt felveszi mindkét típusú extrémumát. 2) van szélsőértéke a nyílt (a,b)-n. Esetszétválasztással. Ha max=min=f(a), akkor a függvény konstans, így van belül extrémum. Ha bármelyik nem f(a), akkor az a valamelyik nem lehet a-ban vagy b-ben (mert ezekben g f(a)). 3) alkalmazhatjuk a Fermat-féle szélsőértéktételt, így g'(ξ)=0, azaz f'(ξ) = m.