Matematika A1a 2008/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Folytonos differenciálhatóság) |
||
1. sor: | 1. sor: | ||
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub> | <sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub> | ||
+ | |||
+ | ==A derivált korlátosságának témaköre== | ||
+ | |||
== Folytonos differenciálhatóság== | == Folytonos differenciálhatóság== | ||
72. sor: | 75. sor: | ||
# Korlátos és zárt intervallumon differenciálható függvények egyenletesen folytonos. | # Korlátos és zárt intervallumon differenciálható függvények egyenletesen folytonos. | ||
# A korlátos deriválttal rendelkező függvények egyenletesen folytonosak. | # A korlátos deriválttal rendelkező függvények egyenletesen folytonosak. | ||
+ | |||
==Egyenletes folytonosság, Lipschitz-tulajdonság, korlátos derivált== | ==Egyenletes folytonosság, Lipschitz-tulajdonság, korlátos derivált== | ||
A lap 2009. április 22., 10:05-kori változata
Tartalomjegyzék |
A derivált korlátosságának témaköre
Folytonos differenciálhatóság
Tétel. -- Intervallumon értelmezett deriválfüggvénynek, csak másodfajú szakadása lehet.
Ugyanis. Legyen f:[a,b] R diff.-ható és tegyük fel, hogy létezik a
és véges. Ekkor belátjuk, hogy ez a derivált a-beli helyettesítési értéke. Kiszámítjuk különbségi hányados határértéktét! Vegyük az xn = a + 1/n sorozatot (ill ennek [a,b]-beli részét). Minden [a,a+1/n] intervallumra felírhatjuk a Lagrange-tételt:
Ekkor a különbségi hányados függvényértékek sorozata egyenlő lesz a derivált egy függvényértéksorozatával, melyek így ugyanahhoz tartanak. De ez csak az f'(a) és a limuf' számok lehetnek, amik így egyenlők.
Ne keressünk tehát sem ugrást, sem megszüntethető szakadást a derivátlfüggvényen. Ellenben lehet korlátos másodfajú és a végtelen másodfajú szakadása.
6. Feladat. Határozzuk meg, hogy az alábbi függvények folytonosan differencálhatóak-e?
Megoldás. Mindegyiknél a metódus az, hogy (A) Meghatározzuk a deriváltfüggvény határértékét , (B) meghatározzuk a pontbeli deriváltat (C) Megnézzük, hogy egyenlők-e? Ha (A)-ban nincs határérték, akkor abból már kövevetkezik, hogy nem folyt. diff a függvény.
1.
nem folyt diff a 0-ban, mert nincs lim0 f', mert a második tag határértéke nem létezik (bár korlátos).
2.
nwm folyt diff a 0-ban, mert nincs lim0 f', mert a második tag határértéke nem létezik és nem is korlátos.
3.
Már csak a pontbeli deriváltat kell kiszámítani. Ez (Ekkor a függvény folytonosságából már követezik a 0-beli derivált létezése).
A fenti tételen kívül több is igaz.
Állítás. Ha f:[a,b] R folytonos a-ban, differenciálható a nyílton és létezik a derivált határértéke a-ban és ez véges szám, akkor f-nek létezik a deriváltja a-ban (és a deriváltja a fent említett tétel miatt a lima f' szám.
Bizonyítás. A későbbiekben igazolandó erős L'Hospital-tétel következménye. Tekintsük a különbségi hányados függvényt, legyen a L'H-beli "f" az f(x)-f(a), az x-a a g. Ekkor
azaz létezik a pontbeli derivált és ez a derivált határértéke.
Kérdés: hol használtuk fel, hogy az f függvény folytonos?
Tétel. -- Darboux-tétel -- Az f:[a,b] R differenciálható függvény deriváltfüggvénye Darboux-tulajdonságú (azaz minden ilyen függvény két függvényértéke között minden értéket fölvesz).
Ugyanis, Legyen f'(a)<m<f'(b) és igazoljuk, hogy létezik ξ ∈ (a,b), hogy f'(ξ) = m. Vegyük a Lagrange-tételhez hasonlóan a
függvényt. Megállapíthatjuk, hogy tetszőleges x ∈ (a,b)-re
ha tehát keresünk g-hez stacionárius pontot (a,b)-n, akkor megtaláltuk ξ-t. Ilyet a Weierstrass-tétellel kereshetünk. g folytonos, így van maximuma és minimuma. Kell, hogy legyen belül is, ugyanis, ha csak kívül venné fel a szélsőértékeit, akkor a következő történne. g'(a) < 0, így a-ban g lokálisan csökken, hiszen ekkor van olyan kis intervallum, ahol az a-beli különbségihányados függvény negatív, azaz
ugyanekkor egy kis környzetben b-körül a függvény szintén lokálisan, hiszen
és így
Sem a-ban, sem b-ben ezek szerint nem lehet a ξ minimum, így annak belül kell lennie. Ekkor viszont alkalmazható a Fermat-tétel, mellyel:
- , azaz
Feladat. Igaz-e?
- R R differenciálható függvény deriváltfüggvénye minden zárt és korlátos intervallumon felveszi minimumát és maximumát.
- Ha az R R differenciálható függvény deriváltfüggvénye negatív és pozitív értékeket is felvesz, akkor van a driváltnak zérushelye.
- R R differenciálható függvény deriváltfüggvénye korlátos, akkor létezik olyan L szám, hogy minden x,y-ra: |f(x)-f(y)| < L|x-y|.
- A deriválható függvények egyenletesen folytonosak.
- Korlátos és zárt intervallumon differenciálható függvények egyenletesen folytonos.
- A korlátos deriválttal rendelkező függvények egyenletesen folytonosak.
Egyenletes folytonosság, Lipschitz-tulajdonság, korlátos derivált
A folytonosság lokális tulajdonság. Létezik azonban ennek a fogalomnak globális változata is. A jellegzetes különbségre a két folytonosság között, a következő kérdés mutat rá. Igaz-e, hogy a H halmazon folytonos f függvény kiterjeszthető úgy a H halmaz lezártjára olymódon, hogy a kiterjesztés is folytonos lesz? A válasz nem: az
függvénynek nincs folytonos kiterjeszése a [0,+∞) zárt halmazra, hisz a 0-ban nem létezik határértéke.
Az egyenletesen folytonos függvények azonban ilyenek lesznek.
Definíció. Legyen f a valós számok egy részhalmazán értelmezett, valósba képező függvény és H ⊆ Dom(f). Azt mondjuk, hogy az f egyenletesen folytonos a H halmazon, ha
Példa. A négyzetgyök-függvény egyenletesen folytonos.
Elemi úton látjuk be. Egyfelől világos, hogy ha ε>0, akkor a δ = ε2 olyan, hogy minden nemnegatív x-re, ha x < δ, akkor
Másrészt legyen x, y > 0 és legyen ε>0. Ekkor a δ = ε2 szintén alkalmas választás, mert:
Tehát bármely ε-hoz közös δ található minden ponthoz.
Példa. A reciprok a pozitív számok halmazán nem egyenletesen folytonos.
Ugyanis. Például az ε=1 esetén minden δ=1/n-re meg kell adnunk olyan xn és yn pozitív számokat, hogy bár | xn − yn | < 1 / n, de legyen. Márpedig
- és
ilyen. A különbségük a 0-hoz tart, a reciprok-különbségük viszont 1
Két tételből következtethetünk egyenletes konvergenciára.
Tétel #1 -- Heine tétele -- Zárt és korlátos intervallumon értelmezett folytonos függvény egyenletesen folytonos.
Bizonyítás. Legyegyszerűbb a Heine--Borel-tétellel igazolni. Eszerint egy K kompakt halmaz (speciálisan egy korlátos és zárt intervallum) minden nyílt halmazokkal történő lefedéséből kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, mely még mindig lefedi K-t.
Inverzfüggvénytétel R-re
Inverzfüggvény deriváltja. Ha az f invertálható függvény differenciálható u-ban, f -1 folytonos u-ban és f'(u) ≠ 0, akkor az inverz is differenciálható u-ban és
Biz.
Itt az
függvény akkor lesz folytonos és v-ben eltűnő, ha maga f-1 is folytonos v-ben.
Megjegyzás. A tételi állításban az inverz folytonossági feltétele csak olyan esetben jelent megszorítást, amikor a függvény nem intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény. Példa olyan invertálható függvényre, melynek deriváltja nem nulla egy adott pontban, de inverze a képpontban nem folytonos:
f ekkor a 0-ban deriválható és f '(0)=1, invertálható, mert R \ (1/Z+) \ Z+-n az identitás és az Z+-n pedig az 1/id, mely értékei vétetnek fel az R \ (1/Z+)- halmaz képeiként. Viszont így f-1 nem korlátos 0-ban, azaz nem folytonos, így nem is differenciálható.
Állítás. Intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény inverze folytonos (tehát ezesetben még akkor is folytonos az inverz, ha a függvénynek magának ugrása van).
Erre a meglepő eredményre egy illusztráló példát adunk.
Példa. Folytonosan invertálható-e az alábbi függvény? Indokoljuk a fenti tétel nélkül!
Megoldás. Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhatlmazokon kívül esik (a 0). Az inverz:
Ez a függvény mindenütt folytonos, mert a gyök az, és a 0-ban izolált pontja van, ahol a függvények triviálisan folytonosak.
Tétel -- Globális inverzfüggvény-tétel -- Ha f: I R függvény differenciálható és f' sehol se nulla, akkor f diffeomorfizmus (azaz differenciálható módon invertálható függvény).
Ugyanis, a derivált mindenhol azonos előjelű, ellenkező esetben lenne két hely, ahol különböző, de a Dearboux-tétel miatt akkor lenne zérushelye is a deriváltnak, ami ellentmond a feltételeknek. Tehát f szigorúan monoton, így invertálható. Már csak azt kell belátnunk, hogy az inverz folytonos. Ez abból a tételből következik, hogy intervallumon értelmezett szigorúen monoton függvény inverze folytonos.
Példa. Igazoljuk, hogy létezik a sin inverze a [-π/2,π/2]-n és az inverz folytonos a [-1,1]-en (ez az arcsin) ezen kívül az inverz deriválható a belső pontokban!
Ugyanis. [-π/2,π/2]-n a sin szigorúan monoton nő és inverz képe [-1,1]. Emiatt ez folytonos is és az inverzfüggvény-tétel miatt a nyílton differenciálható, ugyanis
az inverze:
Paraméteres görbe és Cauchy-féle középértéktétel
Tegyük fel, hogy adva van az aritmetikai síkon (R2) egy
görbe paraméteres alakban úgy, hogy g és f differenciálható függvények és g deriváltja sehol sem nulla.
Ekkor a globális inverzfüggvény-tételből következőleg a g szigorúan monoton, inverze differenciálható és kifejezhető x=g(t)-ből a t:
ahol [c,d] a g értékkészélete.
Ezzel a görbe implicit módon is megadható lesz, mint az
függvény grafikonja. Erre az F függvényre és a g(a), g(b) pontokra alkalmazva a Lagrange-tételt, létezik az (a,b) nyílton olyan ξ, hogy
amit Cauchy-féle középértékételnek nevezünk.
Ebből következtethetünk az erős L'Hospital-szabály első deriválttas alakjára: