Matematika A1a 2008/10. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Lipschitz-tulajdonság)
36. sor: 36. sor:
 
===Lipschitz-tulajdonság===
 
===Lipschitz-tulajdonság===
  
 +
Jellegzetes folytonosságtípus a Lipschitz-folytonosság.
 +
 +
'''Definíció.''' A f:'''R''' ⊇ ''A'' \to '''R''' függvény Lipschitz-tulajdonságú, ha létezik olyan ''L'' > 0 szám, hogy minden x,y ∈ ''A''-ra:
 +
:<math>|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|</math>
 +
 +
Világos, hogy ekkor ''f'' egyenletesen folytonos ''A''-n, ugyanis legyen &epsilon; > 0. Ekkor a &delta; = &epsilon;/L olyan, hogy ha |x-y| < &delta;, akkor
 +
:<math>|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|<L\delta=\varepsilon\,</math>
 +
Fordítva már nem igaz. A gyökfüggvény egyenletesen folytonos, de nem Lipschitz-tulajdonságú, ugyanis x=1/n, y=1/(n+1)-gyel:
 +
:<math>\sqrt{\frac{1}{n})}-\sqrt{\frac{1}{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1}}=\frac{1}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})\sqrt{n(n+1)}}=</math>
 +
:<math>\leq_{n>N}n\cdot(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})</math>
 +
===Korlátos derivált===
 +
Ha az ''f'' intervallumon értelmezett differenciálható függvény korlátos deriválttal rendelkezik, akkor a Lagrange-féle középértéktétel miatt ''f'' egyenletesen folytonos az értelmezési tartományán. Ugyanis legyen ''K'' olyan pozitív szám, hogy minden x &isin; Dom(''f'')-re:
 +
:<math>|f'(x)| \leq K \,</math>
 +
Ha &epsilon; > 0 és &delta;:=&epsilon;/''K'', akkor minden x,y &isin; Dom(''f'')-re, ha |x-y| < &delta;, létezik &xi; az x és az y között, hogy azzal:
 +
:<math>|f(x)-f(y)|= |f'(\xi)|\cdot|x-y|< K\cdot \delta=\varepsilon</math>
 +
 +
'''Példa.''' Az
 +
:<math>f(x)=\frac{1}{x}\,</math>
 +
egyenletesen folytonos az [1,+&infin;) halmazon.
 +
 +
''Ugyanis,'' itt korlátos a deriváltja:
 +
:<math>\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}\,</math>
 +
Ezért ha x &isin; [1,+&infin;), akkor
 +
:<math>\left| -\frac{1}{x^2}\right|=\frac{1}{x^2}\leq 1</math>
  
 
== Folytonos differenciálhatóság==
 
== Folytonos differenciálhatóság==

A lap 2009. április 22., 09:23-kori változata

<Matematika A1a 2008

Tartalomjegyzék

A derivált korlátosságának témaköre

Egyenletes folytonosság

A folytonosság lokális tulajdonság. Létezik azonban ennek a fogalomnak globális változata is. A jellegzetes különbségre a két folytonosság között, a következő kérdés mutat rá. Igaz-e, hogy a H halmazon folytonos f függvény kiterjeszthető úgy a H halmaz lezártjára olymódon, hogy a kiterjesztés is folytonos lesz? A válasz nem: az

f:(0,+\infty)\to \mathbf{R},\;x\mapsto \sin\frac{1}{x}

függvénynek nincs folytonos kiterjeszése a [0,+∞) zárt halmazra, hisz a 0-ban nem létezik határértéke.

Az egyenletesen folytonos függvények azonban ilyenek lesznek.

Definíció. Legyen f a valós számok egy részhalmazán értelmezett, valósba képező függvény és H ⊆ Dom(f). Azt mondjuk, hogy az f egyenletesen folytonos a H halmazon, ha

(\forall\varepsilon>0)(\exists \delta>0)(\forall x,y\in H)(|x-y|<\delta\;\Rightarrow\;|f(x)-f(y)|< \varepsilon)

Példa. A négyzetgyök-függvény egyenletesen folytonos.

Elemi úton látjuk be. Egyfelől világos, hogy ha ε>0, akkor a δ = ε2 olyan, hogy minden nemnegatív x-re, ha x < δ, akkor

\sqrt{x}<\varepsilon\,

Másrészt legyen x, y > 0 és legyen ε>0. Ekkor a δ = ε2 szintén alkalmas választás, mert:

|\sqrt{x}-\sqrt{y}|=\frac{|x-y|}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{|x-y|}\frac{\sqrt{|x-y|}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\leq\sqrt{|x-y|}\frac{\sqrt{x+y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}\leq
\leq\sqrt{|x-y|}\frac{\sqrt{x}+\sqrt{y}}{\sqrt{x}+\sqrt{y}}=\sqrt{|x-y|}<\sqrt{\delta}=\sqrt{\varepsilon^2}=\varepsilon

Tehát bármely ε-hoz közös δ található minden ponthoz.

Példa. A reciprok a pozitív számok halmazán nem egyenletesen folytonos.

Ugyanis. Például az ε=1 esetén minden δ=1/n-re meg kell adnunk olyan xn és yn pozitív számokat, hogy bár | xnyn | < 1 / n, de |(1/x_n)-(1/y_n)|\geq 1 legyen. Márpedig

x_n=\frac{1}{n} és  y_n=\frac{1}{n+1}\,

ilyen. A különbségük a 0-hoz tart, a reciprok-különbségük viszont 1

Két tételből következtethetünk egyenletes konvergenciára.

Tétel -- Heine tétele -- Zárt és korlátos intervallumon értelmezett folytonos függvény egyenletesen folytonos.


Lipschitz-tulajdonság

Jellegzetes folytonosságtípus a Lipschitz-folytonosság.

Definíció. A f:RA \to R függvény Lipschitz-tulajdonságú, ha létezik olyan L > 0 szám, hogy minden x,y ∈ A-ra:

|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|

Világos, hogy ekkor f egyenletesen folytonos A-n, ugyanis legyen ε > 0. Ekkor a δ = ε/L olyan, hogy ha |x-y| < δ, akkor

|f(x)-f(y)|\leq L|x-y|<L\delta=\varepsilon\,

Fordítva már nem igaz. A gyökfüggvény egyenletesen folytonos, de nem Lipschitz-tulajdonságú, ugyanis x=1/n, y=1/(n+1)-gyel:

\sqrt{\frac{1}{n})}-\sqrt{\frac{1}{n+1}}=\frac{\sqrt{n+1}-\sqrt{n}}{\sqrt{n(n+1}}=\frac{1}{(\sqrt{n}+\sqrt{n+1})\sqrt{n(n+1)}}=
\leq_{n>N}n\cdot(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})

Korlátos derivált

Ha az f intervallumon értelmezett differenciálható függvény korlátos deriválttal rendelkezik, akkor a Lagrange-féle középértéktétel miatt f egyenletesen folytonos az értelmezési tartományán. Ugyanis legyen K olyan pozitív szám, hogy minden x ∈ Dom(f)-re:

|f'(x)| \leq K \,

Ha ε > 0 és δ:=ε/K, akkor minden x,y ∈ Dom(f)-re, ha |x-y| < δ, létezik ξ az x és az y között, hogy azzal:

|f(x)-f(y)|= |f'(\xi)|\cdot|x-y|< K\cdot \delta=\varepsilon

Példa. Az

f(x)=\frac{1}{x}\,

egyenletesen folytonos az [1,+∞) halmazon.

Ugyanis, itt korlátos a deriváltja:

\left(\frac{1}{x}\right)'=-\frac{1}{x^2}\,

Ezért ha x ∈ [1,+∞), akkor

\left| -\frac{1}{x^2}\right|=\frac{1}{x^2}\leq 1

Folytonos differenciálhatóság

Tétel. -- Intervallumon értelmezett deriválfüggvénynek, csak másodfajú szakadása lehet.

Ugyanis. Legyen f:[a,b] \to R diff.-ható és tegyük fel, hogy létezik a

\lim\limits_{x\to a}f'(x)\,

és véges. Ekkor belátjuk, hogy ez a derivált a-beli helyettesítési értéke. Kiszámítjuk különbségi hányados határértéktét! Vegyük az xn = a + 1/n sorozatot (ill ennek [a,b]-beli részét). Minden [a,a+1/n] intervallumra felírhatjuk a Lagrange-tételt:

\frac{f(x_n)-f(a)}{x_n-a}=f'(\xi_n)

Ekkor a különbségi hányados függvényértékek sorozata egyenlő lesz a derivált egy függvényértéksorozatával, melyek így ugyanahhoz tartanak. De ez csak az f'(a) és a limuf' számok lehetnek, amik így egyenlők.

Ne keressünk tehát sem ugrást, sem megszüntethető szakadást a derivátlfüggvényen. Ellenben lehet korlátos másodfajú és a végtelen másodfajú szakadása.

6. Feladat. Határozzuk meg, hogy az alábbi függvények folytonosan differencálhatóak-e?

  1. f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2\sin\left(\cfrac{1}{x}\right)& \mathrm{ha} & x\ne 0\\
0 &\mathrm{ha} & x=0
 \end{matrix}\right.
  2. f(x)=\left\{\begin{matrix}x^2\sin\left(\cfrac{1}{x^2}\right)& \mathrm{ha} & x\ne 0\\
0 &\mathrm{ha} & x=0
 \end{matrix}\right.
  3. f(x)=\left\{\begin{matrix}\sin(x^2)\frac{e^x-1}{x}& \mathrm{ha} & x\ne 0\\
0 &\mathrm{ha} & x=0
 \end{matrix}\right.

Megoldás. Mindegyiknél a metódus az, hogy (A) Meghatározzuk a deriváltfüggvény határértékét , (B) meghatározzuk a pontbeli deriváltat (C) Megnézzük, hogy egyenlők-e? Ha (A)-ban nincs határérték, akkor abból már kövevetkezik, hogy nem folyt. diff a függvény.

1.

 \left(x^2\sin\left(\cfrac{1}{x}\right)\right)'=2x\sin\left(\cfrac{1}{x}\right)+x^2\cos\left(\cfrac{1}{x}\right)\frac{-1}{x^2}=2x\sin\left(\cfrac{1}{x}\right)-\cos\left(\cfrac{1}{x}\right)

nem folyt diff a 0-ban, mert nincs lim0 f', mert a második tag határértéke nem létezik (bár korlátos).

2.

 \left(x^2\sin\left(\cfrac{1}{x^2}\right)\right)'=2x\sin\left(\cfrac{1}{x^2}\right)+x^2\cos\left(\cfrac{1}{x^2}\right)\frac{-2}{x^3}=2x\sin\left(\cfrac{1}{x^2}\right)-\frac{2}{x}\cos\left(\cfrac{1}{x}\right)

nwm folyt diff a 0-ban, mert nincs lim0 f', mert a második tag határértéke nem létezik és nem is korlátos.

3.

f'(x)=\cos(x^2)\cdot\frac{e^x-1}{x}+\sin(x^2)\cdot \frac{e^x(x-1)}{x^2}\to 1

Már csak a pontbeli deriváltat kell kiszámítani. Ez (Ekkor a függvény folytonosságából már követezik a 0-beli derivált létezése).

A fenti tételen kívül több is igaz.

Állítás. Ha f:[a,b] \to R folytonos a-ban, differenciálható a nyílton és létezik a derivált határértéke a-ban és ez véges szám, akkor f-nek létezik a deriváltja a-ban (és a deriváltja a fent említett tétel miatt a lima f' szám.

Bizonyítás. A későbbiekben igazolandó erős L'Hospital-tétel következménye. Tekintsük a különbségi hányados függvényt, legyen a L'H-beli "f" az f(x)-f(a), az x-a a g. Ekkor

\lim\limits_{x\to a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}=\lim\limits_{x\to a}\frac{f'(x)}{1}=\lim\limits_{x\to a}f'(x)

azaz létezik a pontbeli derivált és ez a derivált határértéke.

Kérdés: hol használtuk fel, hogy az f függvény folytonos?

Tétel. -- Darboux-tétel -- Az f:[a,b] \to R differenciálható függvény deriváltfüggvénye Darboux-tulajdonságú (azaz minden ilyen függvény két függvényértéke között minden értéket fölvesz).

Ugyanis, Legyen f'(a)<m<f'(b) és igazoljuk, hogy létezik ξ ∈ (a,b), hogy f'(ξ) = m. Vegyük a Lagrange-tételhez hasonlóan a

g(x)=f(x)-mx\,

függvényt. Megállapíthatjuk, hogy tetszőleges x ∈ (a,b)-re

g'(x)=0 \quad\quad \Leftrightarrow \quad\quad f'(x)=m

ha tehát keresünk g-hez stacionárius pontot (a,b)-n, akkor megtaláltuk ξ-t. Ilyet a Weierstrass-tétellel kereshetünk. g folytonos, így van maximuma és minimuma. Kell, hogy legyen belül is, ugyanis, ha csak kívül venné fel a szélsőértékeit, akkor a következő történne. g'(a) < 0, így a-ban g lokálisan csökken, hiszen ekkor van olyan kis intervallum, ahol az a-beli különbségihányados függvény negatív, azaz

g(x)< g(a)\,

ugyanekkor egy kis környzetben b-körül a függvény szintén lokálisan, hiszen

\frac{g(x)-g(b)}{x-b}>0\quad\quad(x\in(b-\delta,b])

és így

g(x)< g(b)\,

Sem a-ban, sem b-ben ezek szerint nem lehet a ξ minimum, így annak belül kell lennie. Ekkor viszont alkalmazható a Fermat-tétel, mellyel:

g'(\xi)=0\,, azaz f'(\xi)=m\,

Feladat. Igaz-e?

  1. R \to R differenciálható függvény deriváltfüggvénye minden zárt és korlátos intervallumon felveszi minimumát és maximumát.
  2. Ha az R \to R differenciálható függvény deriváltfüggvénye negatív és pozitív értékeket is felvesz, akkor van a driváltnak zérushelye.
  3. R \to R differenciálható függvény deriváltfüggvénye korlátos, akkor létezik olyan L szám, hogy minden x,y-ra: |f(x)-f(y)| < L|x-y|.
  4. A deriválható függvények egyenletesen folytonosak.
  5. Korlátos és zárt intervallumon differenciálható függvények egyenletesen folytonos.
  6. A korlátos deriválttal rendelkező függvények egyenletesen folytonosak.


Inverzfüggvénytétel R-re

Inverzfüggvény deriváltja. Ha az f invertálható függvény differenciálható u-ban, f -1 folytonos u-ban és f'(u) ≠ 0, akkor az inverz is differenciálható u-ban és

(f^{-1})'(f(u))=\frac{1}{f'(u)}\,

Biz.

f(x)-f(u)=f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)\,
f(x)-f(u)=(f'(u)+\varepsilon(x))(x-u)\quad\quad(x=f^{-1}(y),\;\;u=f^{-1}(v))
y-v=(f'(u)+\varepsilon(f^{-1}(y)))(f^{-1}(y)-f^{-1}(v))\,
\frac{1}{f'(u)+\varepsilon(f^{-1}(y))}(y-v)=f^{-1}(y)-f^{-1}(v)\,
\frac{1}{f'(u)}(y-v)+\left(\frac{1}{f'(u)+\varepsilon(f^{-1}(y))}-\frac{1}{f'(u)}\right)(y-v)=f^{-1}(y)-f^{-1}(v)\,

Itt az

\eta(y)=\frac{1}{f'(u)+\varepsilon(f^{-1}(y))}-\frac{1}{f'(u)}\,

függvény akkor lesz folytonos és v-ben eltűnő, ha maga f-1 is folytonos v-ben.

Megjegyzás. A tételi állításban az inverz folytonossági feltétele csak olyan esetben jelent megszorítást, amikor a függvény nem intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény. Példa olyan invertálható függvényre, melynek deriváltja nem nulla egy adott pontban, de inverze a képpontban nem folytonos:

\mathrm{Dom}\,f=\mathbf{R}\setminus\left\{\frac{1}{n}\right\}_{n\in \mathbf{Z}^+}
f(x)=\left\{\begin{matrix}x, & \mathrm{ha} &  x\not\in \mathbf{Z}^+\\
\frac{1}{x}, & \mathrm{ha} & x= n\in \mathbf{Z}^+
\end{matrix}\right.

f ekkor a 0-ban deriválható és f '(0)=1, invertálható, mert R \ (1/Z+) \ Z+-n az identitás és az Z+-n pedig az 1/id, mely értékei vétetnek fel az R \ (1/Z+)- halmaz képeiként. Viszont így f-1 nem korlátos 0-ban, azaz nem folytonos, így nem is differenciálható.

Állítás. Intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény inverze folytonos (tehát ezesetben még akkor is folytonos az inverz, ha a függvénynek magának ugrása van).



Erre a meglepő eredményre egy illusztráló példát adunk.

Példa. Folytonosan invertálható-e az alábbi függvény? Indokoljuk a fenti tétel nélkül!

f(x)=\left\{\begin{matrix}
-x^2-1, & \mathrm{ha} &  x<0\\
0, & \mathrm{ha} & x= 0\\
x^2+1, & \mathrm{ha} &  x>0
\end{matrix}\right.


Megoldás. Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhatlmazokon kívül esik (a 0). Az inverz:

\mathrm{Dom}\,f^{-1}=(-\infty,-1)\cup\{0\}\cup(1,+\infty)
f^{-1}(y)=\left\{\begin{matrix}
-\sqrt{-y-1}, & \mathrm{ha} &  y<-1\\
0, & \mathrm{ha} & y= 0\\
\sqrt{y-1}, & \mathrm{ha} &  y>1
\end{matrix}\right.

Ez a függvény mindenütt folytonos, mert a gyök az, és a 0-ban izolált pontja van, ahol a függvények triviálisan folytonosak.

Tétel -- Globális inverzfüggvény-tétel -- Ha f: I \to R függvény differenciálható és f' sehol se nulla, akkor f diffeomorfizmus (azaz differenciálható módon invertálható függvény).

Ugyanis, a derivált mindenhol azonos előjelű, ellenkező esetben lenne két hely, ahol különböző, de a Dearboux-tétel miatt akkor lenne zérushelye is a deriváltnak, ami ellentmond a feltételeknek. Tehát f szigorúan monoton, így invertálható. Már csak azt kell belátnunk, hogy az inverz folytonos. Ez abból a tételből következik, hogy intervallumon értelmezett szigorúen monoton függvény inverze folytonos.

Példa. Igazoljuk, hogy létezik a sin inverze a [-π/2,π/2]-n és az inverz folytonos a [-1,1]-en (ez az arcsin) ezen kívül az inverz deriválható a belső pontokban!

Ugyanis. [-π/2,π/2]-n a sin szigorúan monoton nő és inverz képe [-1,1]. Emiatt ez folytonos is és az inverzfüggvény-tétel miatt a nyílton differenciálható, ugyanis

\frac{1}{\sin'(x)}=\frac{1}{\cos(x)}>0,\quad \mathrm{ha}\quad -\frac{\pi}{2}<x<\frac{\pi}{2}

az inverze:

(f^{-1})'(y)=(f^{-1})'(f(x))=\frac{1}{\cos(x)}=\frac{1}{\cos(\mathrm{arc\,\sin}(y))}=
=\frac{1}{\sqrt{1-\sin^2(\mathrm{arc\,sin}(y))}}=\frac{1}{\sqrt{1-y^2}}

Paraméteres görbe és Cauchy-féle középértéktétel

Tegyük fel, hogy adva van az aritmetikai síkon (R2) egy

p:\,[a,b]\to \mathbf{R}^2;\;t\mapsto\left\{\begin{matrix}g(t)\\ f(t)\end{matrix}\right.

görbe paraméteres alakban úgy, hogy g és f differenciálható függvények és g deriváltja sehol sem nulla.

Ekkor a globális inverzfüggvény-tételből következőleg a g szigorúan monoton, inverze differenciálható és kifejezhető x=g(t)-ből a t:

t=g^{-1}(x),\quad x\in [c,d]

ahol [c,d] a g értékkészélete.

Ezzel a görbe implicit módon is megadható lesz, mint az

F:[c,d] \to [a,b];\,x\mapsto f(g^{-1}(x))

függvény grafikonja. Erre az F függvényre és a g(a), g(b) pontokra alkalmazva a Lagrange-tételt, létezik az (a,b) nyílton olyan ξ, hogy

\frac{F(g(b))-F(g(a))}{g(b)-g(a)}=\frac{f(b)-f(a)}{g(a)-g(b)}=F'(\xi)=f'(\xi)\cdot\frac{1}{g'(\xi)}=\frac{f'}{g'}(\xi)\,

amit Cauchy-féle középértékételnek nevezünk.

Ebből következtethetünk az erős L'Hospital-szabály első deriválttas alakjára:

Személyes eszközök