Matematika A1a 2008/10. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Paraméteres görbe és Cauchy-féle középértéktétel) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Korlátos derivált) |
||
60. sor: | 60. sor: | ||
:<math>f(x)=\frac{1}{x}\,</math> | :<math>f(x)=\frac{1}{x}\,</math> | ||
egyenletesen folytonos az [1,+∞) halmazon. | egyenletesen folytonos az [1,+∞) halmazon. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
''Ugyanis,'' itt korlátos a deriváltja: | ''Ugyanis,'' itt korlátos a deriváltja: | ||
65. sor: | 68. sor: | ||
Ezért ha x ∈ [1,+∞), akkor | Ezért ha x ∈ [1,+∞), akkor | ||
:<math>\left| -\frac{1}{x^2}\right|=\frac{1}{x^2}\leq 1</math> | :<math>\left| -\frac{1}{x^2}\right|=\frac{1}{x^2}\leq 1</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
'''Példa.''' A mindenhol értelmezett | '''Példa.''' A mindenhol értelmezett | ||
:<math>f(x)=\cos\sqrt[3]{x}\,</math> | :<math>f(x)=\cos\sqrt[3]{x}\,</math> | ||
függvény egyenletesen folytonos. | függvény egyenletesen folytonos. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
''Ugyanis,'' a [-1,1] zárton a Heine-tétel miatt egyenletesen folytonos, azon kívül pedig | ''Ugyanis,'' a [-1,1] zárton a Heine-tétel miatt egyenletesen folytonos, azon kívül pedig |
A lap 2009. november 23., 23:48-kori változata
Tartalomjegyzék |
A derivált korlátosságának témaköre
Egyenletes folytonosság
A folytonosság lokális tulajdonság. Létezik azonban ennek a fogalomnak globális változata is. A jellegzetes különbségre a két folytonosság között, a következő kérdés mutat rá. Igaz-e, hogy a H halmazon folytonos f függvény kiterjeszthető úgy a H halmaz lezártjára olymódon, hogy a kiterjesztés is folytonos lesz? A válasz nem: az
függvénynek nincs folytonos kiterjeszése a [0,+∞) zárt halmazra, hisz a 0-ban nem létezik határértéke.
Az egyenletesen folytonos függvények azonban ilyenek lesznek.
Definíció. Legyen f a valós számok egy részhalmazán értelmezett, valósba képező függvény és H ⊆ Dom(f). Azt mondjuk, hogy az f egyenletesen folytonos a H halmazon, ha
Példa. A négyzetgyök-függvény egyenletesen folytonos.
Elemi úton látjuk be. Egyfelől világos, hogy ha ε>0, akkor a δ = ε2 olyan, hogy minden nemnegatív x-re, ha x < δ, akkor
Másrészt legyen x, y > 0 és legyen ε>0. Ekkor a δ = ε2 szintén alkalmas választás, mert:
Tehát bármely ε-hoz közös δ található minden ponthoz.
Példa. A reciprok a pozitív számok halmazán nem egyenletesen folytonos.
Ugyanis. Például az ε=1 esetén minden δ=1/n-re meg kell adnunk olyan xn és yn pozitív számokat, hogy bár | xn − yn | < 1 / n, de legyen. Márpedig
- és
ilyen. A különbségük a 0-hoz tart, a reciprok-különbségük viszont 1
Két tételből következtethetünk egyenletes konvergenciára.
Tétel -- Heine tétele -- Zárt és korlátos intervallumon értelmezett folytonos függvény egyenletesen folytonos.
Lipschitz-tulajdonság
Jellegzetes folytonosságtípus a Lipschitz-folytonosság.
Definíció. A f:R ⊇ A R függvény Lipschitz-tulajdonságú, ha létezik olyan L > 0 szám, hogy minden x,y ∈ A-ra:
Világos, hogy ekkor f egyenletesen folytonos A-n, ugyanis legyen ε > 0. Ekkor a δ = ε/L olyan, hogy ha |x-y| < δ, akkor
Fordítva már nem igaz. A gyökfüggvény egyenletesen folytonos, de nem Lipschitz-tulajdonságú, ugyanis x=1/n, y=1/(n+1)-gyel:
Intervallumon értelmezett differenciálható függvény pontosan akkor Lipschtz-tulajdonságú, ha a deriváltja korlátos.
Ugyanis, 1) ha korlátos a derivált, akkor a Lagrange-tétellel találunk L-et. 2) ha lipschiztes, akkor minden különbségi hányadosnak ugyanaz a korlátja, így korlátos a derivált.
Korlátos derivált
Ha az f intervallumon értelmezett differenciálható függvény korlátos deriválttal rendelkezik, akkor a Lagrange-féle középértéktétel miatt f egyenletesen folytonos, sőt Lischitz-tulajdonsgú az értelmezési tartományán. Ugyanis legyen K olyan pozitív szám, hogy minden x ∈ Dom(f)-re:
Ha ε > 0 és δ:=ε/K, akkor minden x,y ∈ Dom(f)-re, ha |x-y| < δ, létezik ξ az x és az y között, hogy azzal:
Példa. Az
egyenletesen folytonos az [1,+∞) halmazon.
Ugyanis, itt korlátos a deriváltja:
Ezért ha x ∈ [1,+∞), akkor
Példa. A mindenhol értelmezett
függvény egyenletesen folytonos.
Ugyanis, a [-1,1] zárton a Heine-tétel miatt egyenletesen folytonos, azon kívül pedig
Folytonos differenciálhatóság
Tétel. -- Intervallumon értelmezett deriválfüggvénynek, csak másodfajú szakadása lehet.
Ugyanis. Legyen f:[a,b] R diff.-ható és tegyük fel, hogy létezik a
és véges. Ekkor belátjuk, hogy ez a derivált a-beli helyettesítési értéke. Kiszámítjuk különbségi hányados határértéktét! Vegyük az xn = a + 1/n sorozatot (ill ennek [a,b]-beli részét). Minden [a,a+1/n] intervallumra felírhatjuk a Lagrange-tételt:
Ekkor a különbségi hányados függvényértékek sorozata egyenlő lesz a derivált egy függvényértéksorozatával, melyek így ugyanahhoz tartanak. De ez csak az f'(a) és a limuf' számok lehetnek, amik így egyenlők.
Ne keressünk tehát sem ugrást, sem megszüntethető szakadást a derivátlfüggvényen. Ellenben lehet korlátos másodfajú és a végtelen másodfajú szakadása.
6. Feladat. Határozzuk meg, hogy az alábbi függvények folytonosan differencálhatóak-e?
Megoldás. Mindegyiknél a metódus az, hogy (A) Meghatározzuk a deriváltfüggvény határértékét , (B) meghatározzuk a pontbeli deriváltat (C) Megnézzük, hogy egyenlők-e? Ha (A)-ban nincs határérték, akkor abból már kövevetkezik, hogy nem folyt. diff a függvény.
1.
nem folyt diff a 0-ban, mert nincs lim0 f', mert a második tag határértéke nem létezik (bár korlátos).
2.
nwm folyt diff a 0-ban, mert nincs lim0 f', mert a második tag határértéke nem létezik és nem is korlátos.
3.
Már csak a pontbeli deriváltat kell kiszámítani. Ez is 0.
A fenti tételen kívül több is igaz.
Állítás. Ha f:[a,b] R folytonos a-ban, differenciálható a nyílton és létezik a derivált határértéke a-ban és ez véges szám, akkor f-nek létezik a deriváltja a-ban (és a deriváltja a fent említett tétel miatt a lima f' szám.
Bizonyítás. A későbbiekben igazolandó erős L'Hospital-tétel következménye. Tekintsük a különbségi hányados függvényt, legyen a L'H-beli "f" az f(x)-f(a), az x-a a g. Ekkor
azaz létezik a pontbeli derivált és ez a derivált határértéke.
Kérdés: hol használtuk fel, hogy az f függvény folytonos?
Tétel. -- Darboux-tétel -- Az f:[a,b] R differenciálható függvény deriváltfüggvénye Darboux-tulajdonságú (azaz minden ilyen függvény két függvényértéke között minden értéket fölvesz).
Ugyanis, Legyen f'(a)<m<f'(b) és igazoljuk, hogy létezik ξ ∈ (a,b), hogy f'(ξ) = m. Vegyük a Lagrange-tételhez hasonlóan a
függvényt. Megállapíthatjuk, hogy tetszőleges x ∈ (a,b)-re
ha tehát keresünk g-hez stacionárius pontot (a,b)-n, akkor megtaláltuk ξ-t. Ilyet a Weierstrass-tétellel kereshetünk. g folytonos, így van maximuma és minimuma. Kell, hogy legyen belül is, ugyanis, ha csak kívül venné fel a szélsőértékeit, akkor a következő történne. g'(a) < 0, így a-ban g lokálisan csökken, hiszen ekkor van olyan kis intervallum, ahol az a-beli különbségihányados függvény negatív, azaz
ugyanekkor egy kis környzetben b-körül a függvény szintén lokálisan, hiszen
és így
Sem a-ban, sem b-ben ezek szerint nem lehet a ξ minimum, így annak belül kell lennie. Ekkor viszont alkalmazható a Fermat-tétel, mellyel:
- , azaz
Feladat. Igaz-e?
- R R differenciálható függvény deriváltfüggvénye minden zárt és korlátos intervallumon felveszi minimumát és maximumát.
- Ha az R R differenciálható függvény deriváltfüggvénye negatív és pozitív értékeket is felvesz, akkor van a driváltnak zérushelye.
- R R differenciálható függvény deriváltfüggvénye korlátos, akkor létezik olyan L szám, hogy minden x,y-ra: |f(x)-f(y)| < L|x-y|.
- A deriválható függvények egyenletesen folytonosak.
- Korlátos és zárt intervallumon differenciálható függvények egyenletesen folytonos.
- A korlátos deriválttal rendelkező függvények egyenletesen folytonosak.
Inverzfüggvénytétel R-re
Tétel -- Globális inverzfüggvény-tétel -- Ha f: I R függvény folytonosan differenciálható és f' sehol se nulla, akkor
- f invertálható
- f inverze folytonos (f homeomorfizmus)
- f inverze deriválható (f diffeomorfizmus)
- minden x ∈ I-re
Megjegyzés. Részeletesebb indoklás azt is kimutatja, hogy a derivált folytonossága nem szükséges (bár nem árt :).
Bizonyítás. 1) A derivált mindenhol azonos előjelű, ellenkező esetben lenne két hely, ahol különböző, de a Darboux-tétel miatt akkor lenne zérushelye is a deriváltnak, ami ellentmond a feltételeknek. Tehát f szigorúan monoton, így invertálható.
2) Minden a ∈ I pontban a derivált nem nulla és folytonos, így létezik olyan környzete, melyben a derivált mindenhol egy L pozitív számál nagyobb. Ezért a Lagrange-tétel miatt a környzet bármely két x1, x2 pontjára:
Emiatt az x=f-1(y) áttéréssel:
azaz
azaz az inverz lipschitzes a környzetben, azaz a pontban folytonos. 3) 4) ezt egyszerre igazoljuk. Az u-beli diffhatóság miatt:
Itt az
függvény akkor lesz folytonos és v-ben eltűnő, ha maga f-1 is folytonos v-ben.
Példa. Igazoljuk, hogy létezik a sin inverze a [-π/2,π/2]-n és az inverz folytonos a [-1,1]-en (ez az arcsin) ezen kívül az inverz deriválható a belső pontokban!
Ugyanis. [-π/2,π/2]-n a sin szigorúan monoton nő és inverz képe [-1,1]. Emiatt ez folytonos is és az inverzfüggvény-tétel miatt a nyílton differenciálható, ugyanis
az inverze: