Matematika A1a 2008/10. gyakorlat
Tartalomjegyzék |
Lagrange-tétel
Innentől kezdve áttérünk az intervallumon értelmezett függvényekre. A Lagrange-tétel szigorúan intervallumon értelmezett függvényekről szól.
Tétel -- Lagrange-féle középértéktétel -- Legyen f: [a,b] R differenciálható függvény. Ekkor létezik olyan ξ ∈ (a,b), hogy
Ugyanis, Legyen
Olyan g differenciálható függvény adunk meg, melynek pontosan olyan x helyen van nulla deriváltja, ahol f'(x)=m. Transzformáljuk el az f függvényt az l(x)=m(x-a) függvénnyel. Ezzel a g(x) = f(x) - l(x) olyan lesz, hogy g(a)=f(a)=g(b). 1) g folytonos, így a Weierstrass-tétel miatt felveszi mindkét típusú extrémumát. 2) van szélsőértéke a nyílt (a,b)-n. Esetszétválasztással. Ha max=min=f(a), akkor a függvény konstans, így van belül extrémum. Ha bármelyik nem f(a), akkor az a valamelyik nem lehet a-ban vagy b-ben (mert ezekben g f(a)). 3) alkalmazhatjuk a Fermat-féle szélsőértéktételt, így g'(ξ)=0, azaz f'(ξ) = m.
3. Feladat. Igaz-e, hogy ha f differenciálható, akkor bármely pontjára teljesül a fenti kijelentés?
Megoldás. Nem: f(x)=-1, ha x < 0, f(x)=1, ha x> 0, differenciálható, de az [-1,1]-re az 1/2-et sosem veszi fel a derivált.
Monotonitás differenciális feltételei
Tétel. f:I R differenciálható. Ekkor a következő két kijelentés ekvivalens egymással:
- f monoton növekvő,
- minden x ∈ I-re
Ugyanis, 1) 2) a < x ∈ I-re: a monotonitásból:
x < a ∈ I-re: a monotonitásból:
azaz a különbségihányados függvény mindenütt nemnegatív (amit úgy nevezünk, hogy a függvény az a-ban lokálisan nő), azaz ennek határértéke sem lehet negatív. 2) 1) minden a < b ∈ I-re:
azaz f monoton nő.
Tétel. f:I R differenciálható. Ha minden x ∈ I-re f'(x) > 0f, akkor f szigorúan monoton növekvő.
Ugyanis, inden a < b ∈ I-re:
- f(b) − f(a) > 0
azaz f szigorúan monoton nő.
4. Feladat. Igaz-e?
- Ha f monoton nő, akkor f' nemnegatív.
- Ha f monoton nő, és mindenhol differenciálható, akkor f' nemnegatív.
- Ha f mindenhol differenciálható és f' mindenhol nemnegatív, akkor f monoton nő.
- Ha f intervallumon differenciálható és szigorúan monoton nő, akkor f' pozitív.
Megoldás.
- Ha úgy értjük, hogy mindenhol diffható és f' nemnegatív, akkor nem ha úgy, hogy csak ahol f' létezik, akkor igaz.
- Igen, mert ekkor lokálisan is monoton nő.
- Nem, f(x)=-1/x deriváltja mindenhol létezik, mindenhol nemnegatív és mégsem monoton nő (csak intervallumonként nő)
- Nem, f(x)=x3 szig. mon nő, de 0-ban a derivált 0.
5. Feladat. Igazoljuk, hogy ha x > 0, akkor f(x) = ln(1+x)-x+1/2x2 > 0!
Megoldás. Mivel 0-ban folytonosan kiterjeszthető, ezért ha a kiterjesztés szigorúan monoton növekvő lenne, akkor fennállna a kijelentés. Ehhez az kell, hogy a derivált (0,+∞)-en pozitív legyen:
A baloldali függvény negativitására abból következtethetünk, hogy szigorúan monoton növekvő a folytonos kiterjesztése (ami létezik, 0-ban 1), amihez az kell, hogy a deriváltja (0,+∞)-en pozitív legyen:
ami fennáll, hiszen ez pont azt mondja, hogy
azaz
- 1 < (1 + x)2
A függvényvizsgálat differenciális eszközei
Határértékek az értelmezési tartomány határpontjaiban
Ezt a határérték és műveletek kapcsolatára vonatkozó tételekből, vagy differenciálható, intervallumon értelmezett függvénynél, ha a határérték határozatlan alakú, akkor L'Hospital-szabállyal állapítjuk meg.
Az első derivált vizsgálata
Láttuk a monotonitás differenciális jellemzését:
A szélsőértékre és annak jellegére az első deriváltból a következő módon következtethetünk:
Tétel. -- Elsőderivált próba -- Legyen az f (a,b) R differenciálható az (a,u)U(u,b) halmazon és folytonos u-ban. Ekkor:
- ha f' < 0 (a,u)-n és f' > 0 (u,b)-n, akkor u-ban minimum van,
- ha f' < 0 (a,u)-n és f' > 0 (u,b)-n, akkor u-ban maximum van,
- ha azonos előjelű mindenhol, akkor biztosan nincs szélsőérték
- ellenkező esetben a próba nem ját sikerrel.
Világos, hogy ehhez kell a monotonitási vizsgálat.
A második derivált vizsgálata
A görbületre vonatkozó differenciális feltétel:
A szélsőértékkel analóg fogalom itt az inflexiós pont, mely eleve a differenciális feltétellel definiált: azt mondjuk, hogy az u ∈ I pont inflexiós pontja az függvénynek, ha abban a pontban a második derivált előjelet vált.
Érdemes még megjegyezni a szélsőértékre vonatkozó másodikderivált próbát, mely lokális abban az értelemben, hogy pusztán csak a második derivált pontbeli értéke a döntő:
Tétel. -- Másodikderivált próba -- Legyen olyan, hogy az u ∈ int(I) pontban f'(u)=0. Ekkor
- ha f''(u) > 0, akkor u-ban f-nek u-ban lokális minimuma van,
- ha f''(u) < 0, akkor u-ban f-nek u-ban lokális minimuma van,
- más esetekben a próba nem jár sikerrel.
A tétel így, azaz a kétszeri folytonos differenciálhatósg megkövetelésével kimondva világos. Az első esetben u egy környezetében f'' pozitív, azaz f' szig. mon. nő, azaz a f' a 0-n áthaladtában előjelet vált, így az első derivált próba szerint ott szélsőértéke van (éspedig minimum). A mási eset analóg ezzel.
Feladat Vizsgáljuk meg monotonitás, szélsőérték és görbület szempontjából a következő függvényeket!
Folytonos differenciálhatóság
Tétel. -- Intervallumon értelmezett deriválfüggvénynek, csak másodfajú szakadása lehet.
Ugyanis. Legyen f:[a,b] R diff.-ható és tegyük fel, hogy létezik a
és véges. Ekkor belátjuk, hogy ez a derivált a-beli helyettesítési értéke. Kiszámítjuk különbségi hányados határértéktét! Vegyük az xn = a + 1/n sorozatot (ill ennek [a,b]-beli részét). Minden [a,a+1/n] intervallumra felírhatjuk a Lagrange-tételt:
Ekkor a különbségi hányados függvényértékek sorozata egyenlő lesz a derivált egy függvényértéksorozatával, melyek így ugyanahhoz tartanak. De ez csak az f'(a) és a limuf' számok lehetnek, amik így egyenlők.
Ne keressünk tehát sem ugrást, sem megszüntethető szakadást a derivátlfüggvényen. Ellenben lehet korlátos másodfajú és a végtelen másodfajú szakadása.
6. Feladat. Határozzuk meg, hogy az alábbi függvények folytonosan differencálhatóak-e?
Megoldás. Mindegyiknél a metódus az, hogy (A) Meghatározzuk a deriváltfüggvény határértékét , (B) meghatározzuk a pontbeli deriváltat (C) Megnézzük, hogy egyenlők-e? Ha (A)-ban nincs határérték, akkor abból már kövevetkezik, hogy nem folyt. diff a függvény.
1.
nem folyt diff a 0-ban, mert nincs lim0 f', mert a második tag határértéke nem létezik (bár korlátos).
2.
nwm folyt diff a 0-ban, mert nincs lim0 f', mert a második tag határértéke nem létezik és nem is korlátos.
3.
Már csak a pontbeli deriváltat kell kiszámítani. Ez (Ekkor a függvény folytonosságából már követezik a 0-beli derivált létezése).
A fenti tételen kívül több is igaz.
Állítás. Ha f:[a,b] R folytonos a-ban, differenciálható a nyílton és létezik a derivált határértéke a-ban és ez véges szám, akkor f-nek létezik a deriváltja a-ban (és a deriváltja a fent említett tétel miatt a lima f' szám.
Bizonyítás. A későbbiekben igazolandó erős L'Hospital-tétel következménye. Tekintsük a különbségi hányados függvényt, legyen a L'H-beli "f" az f(x)-f(a), az x-a a g. Ekkor
azaz létezik a pontbeli derivált és ez a derivált határértéke.
Kérdés: hol használtuk fel, hogy az f függvény folytonos?
Tétel. -- Darboux-tétel -- Az f:[a,b] R differenciálható függvény deriváltfüggvénye Darboux-tulajdonságú (azaz minden ilyen függvény két függvényértéke között minden értéket fölvesz).
Ugyanis, Legyen f'(a)<m<f'(b) és igazoljuk, hogy létezik ξ ∈ (a,b), hogy f'(ξ) = m. Vegyük a Lagrange-tételhez hasonlóan a
függvényt. Megállapíthatjuk, hogy tetszőleges x ∈ (a,b)-re
ha tehát keresünk g-hez stacionárius pontot (a,b)-n, akkor megtaláltuk ξ-t. Ilyet a Weierstrass-tétellel kereshetünk. g folytonos, így van maximuma és minimuma. Kell, hogy legyen belül is, ugyanis, ha csak kívül venné fel a szélsőértékeit, akkor a következő történne. g'(a) < 0, így a-ban g lokálisan csökken, hiszen ekkor van olyan kis intervallum, ahol az a-beli különbségihányados függvény negatív, azaz
ugyanekkor egy kis környzetben b-körül a függvény szintén lokálisan, hiszen
és így
Sem a-ban, sem b-ben ezek szerint nem lehet a ξ minimum, így annak belül kell lennie. Ekkor viszont alkalmazható a Fermat-tétel, mellyel:
- , azaz
Feladat. Igaz-e?
- R R differenciálható függvény deriváltfüggvénye minden zárt és korlátos intervallumon felveszi minimumát és maximumát.
- Ha az R R differenciálható függvény deriváltfüggvénye negatív és pozitív értékeket is felvesz, akkor van a driváltnak zérushelye.
- R R differenciálható függvény deriváltfüggvénye korlátos, akkor létezik olyan L szám, hogy minden x,y-ra: |f(x)-f(y)| < L|x-y|.
- A deriválható függvények egyenletesen folytonosak.
- Korlátos és zárt intervallumon differenciálható függvények egyenletesen folytonos.
- A korlátos deriválttal rendelkező függvények egyenletesen folytonosak.
Egyenletes folytonosság, Lipschitz-tulajdonság, korlátos derivált
A folytonosság lokális tulajdonság. Létezik azonban ennek a fogalomnak globális változata is. A jellegzetes különbségre a két folytonosság között, a következő kérdés mutat rá. Igaz-e, hogy a H halmazon folytonos f függvény kiterjeszthető úgy a H halmaz lezártjára olymódon, hogy a kiterjesztés is folytonos lesz? A válasz nem: az
függvénynek nincs folytonos kiterjeszése a [0,+∞) zárt halmazra, hisz a 0-ban nem létezik határértéke.
Az egyenletesen folytonos függvények azonban ilyenek lesznek.
Definíció. Legyen f a valós számok egy részhalmazán értelmezett, valósba képező függvény és H ⊆ Dom(f). Azt mondjuk, hogy az f egyenletesen folytonos a H halmazon, ha
Példa. A négyzetgyök-függvény egyenletesen folytonos.
Elemi úton látjuk be. Egyfelől világos, hogy ha ε>0, akkor a δ = ε2 olyan, hogy minden nemnegatív x-re, ha x < δ, akkor
Másrészt legyen x, y > 0 és legyen ε>0. Ekkor a δ = ε2 szintén alkalmas választás, mert:
Tehát bármely ε-hoz közös δ található minden ponthoz.
Példa. A reciprok a pozitív számok halmazán nem egyenletesen folytonos.
Ugyanis. Például az ε=1 esetén minden δ=1/n-re meg kell adnunk olyan xn és yn pozitív számokat, hogy bár | xn − yn | < 1 / n, de legyen. Márpedig
- és
ilyen. A különbségük a 0-hoz tart, a reciprok-különbségük viszont 1
Két tételből következtethetünk egyenletes konvergenciára.
Tétel #1 -- Heine tétele -- Zárt és korlátos intervallumon értelmezett folytonos függvény egyenletesen folytonos.
Bizonyítás. Legyegyszerűbb a Heine--Borel-tétellel igazolni. Eszerint egy K kompakt halmaz (speciálisan egy korlátos és zárt intervallum) minden nyílt halmazokkal történő lefedéséből kiválasztható véges sok nyílt halmaz is, mely még mindig lefedi K-t.
Inverzfüggvénytétel R-re
Inverzfüggvény deriváltja. Ha az f invertálható függvény differenciálható u-ban, f -1 folytonos u-ban és f'(u) ≠ 0, akkor az inverz is differenciálható u-ban és
Biz.
Itt az
függvény akkor lesz folytonos és v-ben eltűnő, ha maga f-1 is folytonos v-ben.
Megjegyzás. A tételi állításban az inverz folytonossági feltétele csak olyan esetben jelent megszorítást, amikor a függvény nem intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény. Példa olyan invertálható függvényre, melynek deriváltja nem nulla egy adott pontban, de inverze a képpontban nem folytonos:
f ekkor a 0-ban deriválható és f '(0)=1, invertálható, mert R \ (1/Z+) \ Z+-n az identitás és az Z+-n pedig az 1/id, mely értékei vétetnek fel az R \ (1/Z+)- halmaz képeiként. Viszont így f-1 nem korlátos 0-ban, azaz nem folytonos, így nem is differenciálható.
Állítás. Intervallumon értelmezett szigorúan monoton függvény inverze folytonos (tehát ezesetben még akkor is folytonos az inverz, ha a függvénynek magának ugrása van).
Erre a meglepő eredményre egy illusztráló példát adunk.
Példa. Folytonosan invertálható-e az alábbi függvény? Indokoljuk a fenti tétel nélkül!
Megoldás. Persze, hisz a negatívokon invertálható és csak negatív értéket vesz fel. A pozitívokon szintén és szintén csak pozitív értékeket vesz fel. A 0-beli érték az előző képhatlmazokon kívül esik (a 0). Az inverz:
Ez a függvény mindenütt folytonos, mert a gyök az, és a 0-ban izolált pontja van, ahol a függvények triviálisan folytonosak.
Tétel -- Globális inverzfüggvény-tétel -- Ha f: I R függvény differenciálható és f' sehol se nulla, akkor f diffeomorfizmus (azaz differenciálható módon invertálható függvény).
Ugyanis, a derivált mindenhol azonos előjelű, ellenkező esetben lenne két hely, ahol különböző, de a Dearboux-tétel miatt akkor lenne zérushelye is a deriváltnak, ami ellentmond a feltételeknek. Tehát f szigorúan monoton, így invertálható. Már csak azt kell belátnunk, hogy az inverz folytonos. Ez abból a tételből következik, hogy intervallumon értelmezett szigorúen monoton függvény inverze folytonos.
Példa. Igazoljuk, hogy létezik a sin inverze a [-π/2,π/2]-n és az inverz folytonos a [-1,1]-en (ez az arcsin) ezen kívül az inverz deriválható a belső pontokban!
Ugyanis. [-π/2,π/2]-n a sin szigorúan monoton nő és inverz képe [-1,1]. Emiatt ez folytonos is és az inverzfüggvény-tétel miatt a nyílton differenciálható, ugyanis
az inverze:
Paraméteres görbe és Cauchy-féle középértéktétel
Tegyük fel, hogy adva van az aritmetikai síkon (R2) egy
görbe paraméteres alakban úgy, hogy g és f differenciálható függvények és g deriváltja sehol sem nulla.
Ekkor a globális inverzfüggvény-tételből következőleg a g szigorúan monoton, inverze differenciálható és kifejezhető x=g(t)-ből a t:
ahol [c,d] a g értékkészélete.
Ezzel a görbe implicit módon is megadható lesz, mint az
függvény grafikonja. Erre az F függvényre és a g(a), g(b) pontokra alkalmazva a Lagrange-tételt, létezik az (a,b) nyílton olyan ξ, hogy
amit Cauchy-féle középértékételnek nevezünk.
Ebből következtethetünk az erős L'Hospital-szabály első deriválttas alakjára: