Matematika A1a 2008/10. gyakorlat

_{<Matematika A1a 2008}

Gyenge L'Hospital-szabály

Legyenek f és g: A $\to$ R valós-valós függvények, u ∈ A ∩ Dom(f/g), f(u)=g(u)=0, mindkettő differenciálható u-ban és g'(u) ≠ 0. Ha létezik a lim_u(f/g), akkor

$\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(u)}{g'(u)}$

Ugyanis,' írjuk fel az 1. definíciónak megfelelően a határértéket. Létezik az u-hoz olyan ε, η: A $\to$ R, hogy minden x ∈ A ∩ Dom(f/g)-ra $\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f(u)+f'(u)(x-u)+\varepsilon(x)(x-u)}{g(u)+g'(u)(x-u)+\eta(x)(x-u)}$ és ∃lim_uε=ε(u)=0, ∃lim_uη=η(u)=0. Emiatt

Lagrange-tétel

Legyen f: [a,b] $\to$ R differenciálható függvény.