Matematika A1a 2008/11. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Definíció szerinti példák)
(A Riemann-inregrálhatóság szükséges és elégséges feltétele)
57. sor: 57. sor:
  
 
'''Tétel.''' Legyen ''f'': [a,b] <math>\to</math> '''R''' korlátos és zárt intervallumon értelmezett függvény. ''f'' pontosan akkor integrálható, ha korlátos, és szakadási helyeinek halmaza Lebesgue-nullmértékű halmaz, azaz  
 
'''Tétel.''' Legyen ''f'': [a,b] <math>\to</math> '''R''' korlátos és zárt intervallumon értelmezett függvény. ''f'' pontosan akkor integrálható, ha korlátos, és szakadási helyeinek halmaza Lebesgue-nullmértékű halmaz, azaz  
:<math>f\in \mathrm{R}[a,b]\;\Leftrightarrow\;(f\in \mathrm{B}[a,b]\;\wedge\; \lambda(\mathrm{discon}(f))=0)</math>
+
:<math>f\in \mathrm{R}[a,b]\;\Leftrightarrow\;(f\in \mathrm{B}[a,b]\;\wedge\; \mathrm{m}(\mathrm{discon}(f))=0)</math>
  
Itt Lebesgue-nullmértékűnek nevezünk egy ''H'' &sube; '''R''' halmazt, ha minden &epsilon; > 0-hoz létezik olyan (I<sub>n<\sub>) intervallumsorozat, hogy ennek összhossza < &epsilon; és lefedi ''H''-t.  
+
Itt Lebesgue-nullmértékűnek nevezünk egy ''H'' &sube; '''R''' halmazt, ha minden &epsilon; > 0-hoz létezik olyan (I<sub>n</sub>) intervallumsorozat, hogy ennek összhossza < &epsilon; és lefedi ''H''-t.  
  
 
Biztos nem nullmértékű például egy nemelfajuló intervallum, mert annak a mértéke az intervallum nemnulla hossza. De véges halmaz nullmértékű, mert lefedhető, egy határértékben eltűnő intervallumsorozat-rendszerrel. Belátható, hogy megszámlálható pont nullmértékű halmazt alkot. Konkrétan, könyen belátható, hogy az 1/n pontjai nullmértékű halmazt alkotnak.
 
Biztos nem nullmértékű például egy nemelfajuló intervallum, mert annak a mértéke az intervallum nemnulla hossza. De véges halmaz nullmértékű, mert lefedhető, egy határértékben eltűnő intervallumsorozat-rendszerrel. Belátható, hogy megszámlálható pont nullmértékű halmazt alkot. Konkrétan, könyen belátható, hogy az 1/n pontjai nullmértékű halmazt alkotnak.

A lap 2008. december 5., 22:39-kori változata

<Matematika A1a 2008

Tartalomjegyzék

Határozott integrál

Az egyváltozós analízis történetileg kialakult két jellegzetes témaköre közül az egyik az érintőproléma (lényegében a differenciálelmélet) a másik a területszámítás problémája, vagy régies elnevezéssel a kvadratúra-feldat (ami lényegében az integrálelmélet). Most a kvadratúra, azaz a függvénygörbe alatti terület definícióját adjuk meg. Ehhez azonban néhény segédfogalmat kell megismernünk.

Az [a,b] korlátos és zárt intervallum egy Riemann-felosztásán nem mást értünk mint egy olyan kiválasztófüggvényt, mely az [a,b]-t unióként előállító, egymásba nem nyúló intervallumokból álló halmaz minden egyes eleméhez egy az adott elemben lévő elemet rendel, azaz egy olyan

\eta:\{[x_0,x_1],[x_2,x_3], ..., [x_{n-1},x_n] \}\to [a,b]\,

függvényt, melyre:

  1. n olyan véges természetes szám, hogy x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b és
  2. minden J ∈ Dom(η) esetén  \eta(J)\in J.

Az [a,b] összes Riemann-felosztásai halmazát RF[a,b] jelöli. Azon Riemann-felbontások halmazát, amelyekben az összes részintervallum hossza kisebb egy δ > 0 pozitív számnál, azt RFδ[a,b] jelöli, azt a halmazt az [a,b] összes δ-nál finomabb Riemann-felosztásának nevezük.

Egy f, az [a,b]-n értelmezett függvény egy Riemann-közelítő összegén a

\sigma_f(\eta)=\sum\limits_{i=1}^nf(\eta([x_{i-1},x_i])\cdot|x_i-x_{i-1}|)

ahol η a fenti jelölésekkel az [a,b] egy Riemann-felosztása.

Ekkor már definiálhatjuk az integrálhatóságot:

Definíció. Legyen f:[a,b] \to Regy zárt és korlátos intervallumon értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f Riemann-integrálható és integrálja az I valós szám, ha

(\forall \varepsilon> 0)(\exists \delta >0)(\forall \eta\in\mathrm{RF}_{\delta}[a,b])(|\sigma_f(\eta)-I|< \varepsilon)

Belátható, hogy ha f integrálható, akkor I egyértelmű és ekkor ennek a számnak a jelölésére az

\int\limits_{a}^{b} f, vagy az \int \limits_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x

szimbólum szolgál.

Az [a,b] intervallumon Riemann-integrálható függvények halmazát R[a,b] jelöli.

Az integrál lényegében a függvénygörbe alatti terület. Integrálható függvény esetén létezik ez a terület, azaz a Riemann-felosztást egyre finomabbra véve, a Riemann-közelítő összeg minden előre megadott legnagyobb ε eltérésnél közelebb kerül I-hez.

Világos, hogy ha egy függvény integrálható, akkor minden részintervallumán is integrálható (hisz ekkor azokat a felosztásokat kell venni, amik a részintervallumon belül is felosztások, és persze ezek szerint is képezve a határátmenetet, létező határértéket kapunk). Minhogy az integrál egy szám, integrálható f esetén értelmes ha definiáljuk a következő, úgy nevezett integrálfüggvényt (vagy a-ban eltűnő integrálfüggvényt):

\int f:[a,b]\to \mathbf{R}, x\mapsto\int\limits_{a}^xf\,

Definíció szerinti példák

1. Példa. Jóformán az egyetlen függvény, aminek az integrálhatóságát a definíció alapján könnyen igazolni tudjuk, az a konstans függvény. Az f(x) = c esetén a kiválaszott pontok mindig c függvényértékűek, és az összes közelítő összeg mindig

\sigma_f(\eta)=\sum\limits_{i=1}^nc\cdot(x_{i}-x_{i-1})=c\sum\limits_{i=1}^n(x_{i}-x_{i-1})=c(b-a)=\mathrm{const.}\,

azaz

\int\limits_{a}^b c\,\mathrm{d}x=c(b-a)

Már ezzel is azonban fel tudunk írni egy integrálfüggvényt: f:[a,b]\to R, f ≡ c esetén:

\left(\scriptstyle{\int} c\right)(x)=\int_{t=a}^xc\,\mathrm{d}t=cx-ca

2. Példa. Nem minden függvény integrálható.

2. a. Zárjuk le a reciprok függvényt egy ponttal:

f:[0,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}, & \mathrm{ha} & x\in (0,1] \\\\ 1854, & \mathrm{ha} & x=0 \end{matrix}\right.

(Riemann az 1854-es habilitációs dolgozatában definiálta és vizsgálta a most Riemann-integrálhatóságnak nevezett fogalmaz, mindazonáltal az integrál első, a szigorúság követelményének eleget tévő definícióját Cauchy adta (1821) az intuitívet pedig Leibniz.) Ez a függvény nem integrálható, mert akármilyen fimon intervallumfelosztás esetén, ha az első intervallumot δ hosszúra választjuk, definiálható egy η([x0,x1]) < δ2 érték, azaz f(η([x0,x1])) > 1/ δ2. Ekkor viszont az első téglalap területe 1/δ lesz, ami δ \to 0 esetén a +∞-be tart, azaz az összterület nem lesz véges.

2. b. Legyen f a Dirichlet-függvény:

f:[0,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}1, & \mathrm{ha} & x\in \mathbf{Q} \\\\ 0, & \mathrm{ha} & x\in \mathbf{R}\setminus\mathbf{Q} \end{matrix}\right.

ahol Q a racionális számok halmaza, R / Q pedig nyilván az irracionális. Ez a függvény nem Riemann-integrálható, bár korlátos, mert akármilyen finom intervallum-felbontás esetén van egy olyan Riemann-kiválasztó függvény, mely mindig racionális pontokat választ ki és ezáltal a közelítő összeg mindig 1 és olyan, mely mindig irracionálist, azaz ezzel a közelítő összeg 0. Mindig lesz tehát két olyan felbontás, mely összegek különbsége legalább 1.

A Riemann-inregrálhatóság szükséges és elégséges feltétele

Bár a Riemann-integrálhatóság általában könnyen kezeéhető fogalom, a következő tétel bizonyításához azonban az egyváltozós analízis szinte összes eszközét be kell vetni. Nem csoda, hogy csak 1905-ben fogalmazhatta meg Lebesgue, egy tágabb perspektívából szemlélve a Riemann-integrált.

Tétel. Legyen f: [a,b] \to R korlátos és zárt intervallumon értelmezett függvény. f pontosan akkor integrálható, ha korlátos, és szakadási helyeinek halmaza Lebesgue-nullmértékű halmaz, azaz

f\in \mathrm{R}[a,b]\;\Leftrightarrow\;(f\in \mathrm{B}[a,b]\;\wedge\; \mathrm{m}(\mathrm{discon}(f))=0)

Itt Lebesgue-nullmértékűnek nevezünk egy HR halmazt, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan (In) intervallumsorozat, hogy ennek összhossza < ε és lefedi H-t.

Biztos nem nullmértékű például egy nemelfajuló intervallum, mert annak a mértéke az intervallum nemnulla hossza. De véges halmaz nullmértékű, mert lefedhető, egy határértékben eltűnő intervallumsorozat-rendszerrel. Belátható, hogy megszámlálható pont nullmértékű halmazt alkot. Konkrétan, könyen belátható, hogy az 1/n pontjai nullmértékű halmazt alkotnak.

Világos, hogy a Dirichlet-függvényes példa azért jó ellenpélda, mert ez a függvény [0,1]-en mindenhol szakad.

A Riemann-integrálhatóság néhány kritériuma

Részletezünk néhány hasznos esetet a fenti tételből.

  1. f\in \mathrm{R}[a,b]\;\Rightarrow\;f\in \mathrm{B}[a,b]
    csak korlátos függvények R-intgrálhatóak
  2. f\in \mathrm{R}[a,b]\;\Leftarrow\;f\in \mathrm{C}[a,b]
    (Cauchy) világos: ha folytonos, akkor nincs szakadási pontja, és korlátos a Weierstrass-tétel miatt
  3. f\in \mathrm{R}[a,b]\;\Leftarrow\;f\in \mathrm{M}[a,b]
    monoton függvény R-integrálható (minden feltétel nélkül), amiatt a nem említett tétel miatt, hogy intervallumon értelmezett, monoton függvénynek csak megszámlálható szakadási pontja van, korlátos és zárt intervallumon pedig egy ilyen függvény korlátos.

Feladat.

Személyes eszközök