Matematika A1a 2008/11. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Integrálás a helyettesítés elvégzésével)
(Parciális integrálás)
505. sor: 505. sor:
 
:<math>\int Fg=FG - \int fG\,</math>  
 
:<math>\int Fg=FG - \int fG\,</math>  
  
 
+
''Bizonyítás.'' Elég a bizonyítani, hogy a jobb oldal deriváltja a baloldali integrandus:
 +
:<math>(FG - \int fG)'=F'G+FG'-fG=fG+Fg-fG=Fg\,</math>
 +
QED.
 
   
 
   
  
  
 
[[Kategória:Matematika A1]]
 
[[Kategória:Matematika A1]]

A lap 2008. december 8., 12:02-kori változata

<Matematika A1a 2008

Tartalomjegyzék

Határozott integrál

Az egyváltozós analízis történetileg kialakult két jellegzetes témaköre közül az egyik az érintőproléma (lényegében a differenciálelmélet) a másik a területszámítás problémája, vagy régies elnevezéssel a kvadratúra-feldat (ami lényegében az integrálelmélet). Most a kvadratúra, azaz a függvénygörbe alatti terület definícióját adjuk meg. Ehhez azonban néhény segédfogalmat kell megismernünk.

Az [a,b] korlátos és zárt intervallum egy Riemann-felosztásán nem mást értünk mint egy olyan kiválasztófüggvényt, mely az [a,b]-t unióként előállító, egymásba nem nyúló intervallumokból álló halmaz minden egyes eleméhez egy az adott elemben lévő elemet rendel, azaz egy olyan

\eta:\{[x_0,x_1],[x_2,x_3], ..., [x_{n-1},x_n] \}\to [a,b]\,

függvényt, melyre:

  1. n olyan véges természetes szám, hogy x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b és
  2. minden J ∈ Dom(η) esetén  \eta(J)\in J.

Az [a,b] összes Riemann-felosztásai halmazát RF[a,b] jelöli. Azon Riemann-felbontások halmazát, amelyekben az összes részintervallum hossza kisebb egy δ > 0 pozitív számnál, azt RFδ[a,b] jelöli, azt a halmazt az [a,b] összes δ-nál finomabb Riemann-felosztásának nevezük.

Egy f, az [a,b]-n értelmezett függvény egy Riemann-közelítő összegén a

\sigma_f(\eta)=\sum\limits_{i=1}^nf(\eta([x_{i-1},x_i])\cdot|x_i-x_{i-1}|)

ahol η a fenti jelölésekkel az [a,b] egy Riemann-felosztása.

Ekkor már definiálhatjuk az integrálhatóságot:

Definíció. Legyen f:[a,b] \to Regy zárt és korlátos intervallumon értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f Riemann-integrálható és integrálja az I valós szám, ha

(\forall \varepsilon> 0)(\exists \delta >0)(\forall \eta\in\mathrm{RF}_{\delta}[a,b])(|\sigma_f(\eta)-I|< \varepsilon)

Belátható, hogy ha f integrálható, akkor I egyértelmű és ekkor ennek a számnak a jelölésére az

\int\limits_{a}^{b} f, vagy az \int \limits_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x

szimbólum szolgál.

Az [a,b] intervallumon Riemann-integrálható függvények halmazát R[a,b] jelöli.

Az integrál lényegében a függvénygörbe alatti terület. Integrálható függvény esetén létezik ez a terület, azaz a Riemann-felosztást egyre finomabbra véve, a Riemann-közelítő összeg minden előre megadott legnagyobb ε eltérésnél közelebb kerül I-hez.

Világos, hogy ha egy függvény integrálható, akkor minden részintervallumán is integrálható (hisz ekkor azokat a felosztásokat kell venni, amik a részintervallumon belül is felosztások, és persze ezek szerint is képezve a határátmenetet, létező határértéket kapunk). Minhogy az integrál egy szám, integrálható f esetén értelmes ha definiáljuk a következő, úgy nevezett integrálfüggvényt (vagy a-ban eltűnő integrálfüggvényt):

\int f:[a,b]\to \mathbf{R}, x\mapsto\int\limits_{a}^xf\,

Definíció szerinti példák

1. Példa. Jóformán az egyetlen függvény, aminek az integrálhatóságát a definíció alapján könnyen igazolni tudjuk, az a konstans függvény. Az f(x) = c esetén a kiválaszott pontok mindig c függvényértékűek, és az összes közelítő összeg mindig

\sigma_f(\eta)=\sum\limits_{i=1}^nc\cdot(x_{i}-x_{i-1})=c\sum\limits_{i=1}^n(x_{i}-x_{i-1})=c(b-a)=\mathrm{const.}\,

azaz

\int\limits_{a}^b c\,\mathrm{d}x=c(b-a)

Már ezzel is azonban fel tudunk írni egy integrálfüggvényt: f:[a,b]\to R, f ≡ c esetén:

\left(\scriptstyle{\int} c\right)(x)=\int_{t=a}^xc\,\mathrm{d}t=cx-ca

2. Példa. Nem minden függvény integrálható.

2. a. Zárjuk le a reciprok függvényt egy ponttal:

f:[0,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}, & \mathrm{ha} & x\in (0,1] \\\\ 1854, & \mathrm{ha} & x=0 \end{matrix}\right.

(Riemann az 1854-es habilitációs dolgozatában definiálta és vizsgálta a most Riemann-integrálhatóságnak nevezett fogalmaz, mindazonáltal az integrál első, a szigorúság követelményének eleget tévő definícióját Cauchy adta (1821) az intuitívet pedig Leibniz.) Ez a függvény nem integrálható, mert akármilyen fimon intervallumfelosztás esetén, ha az első intervallumot δ hosszúra választjuk, definiálható egy η([x0,x1]) < δ2 érték, azaz f(η([x0,x1])) > 1/ δ2. Ekkor viszont az első téglalap területe 1/δ lesz, ami δ \to 0 esetén a +∞-be tart, azaz az összterület nem lesz véges.

2. b. Legyen f a Dirichlet-függvény:

f:[0,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}1, & \mathrm{ha} & x\in \mathbf{Q} \\\\ 0, & \mathrm{ha} & x\in \mathbf{R}\setminus\mathbf{Q} \end{matrix}\right.

ahol Q a racionális számok halmaza, R / Q pedig nyilván az irracionális. Ez a függvény nem Riemann-integrálható, bár korlátos, mert akármilyen finom intervallum-felbontás esetén van egy olyan Riemann-kiválasztó függvény, mely mindig racionális pontokat választ ki és ezáltal a közelítő összeg mindig 1 és olyan, mely mindig irracionálist, azaz ezzel a közelítő összeg 0. Mindig lesz tehát két olyan felbontás, mely összegek különbsége legalább 1.

A Riemann-inregrálhatóság szükséges és elégséges feltétele

Bár a Riemann-integrálhatóság általában könnyen kezeéhető fogalom, a következő tétel bizonyításához azonban az egyváltozós analízis szinte összes eszközét be kell vetni. Nem csoda, hogy csak 1905-ben fogalmazhatta meg Lebesgue, egy tágabb perspektívából szemlélve a Riemann-integrált.

Tétel. Legyen f: [a,b] \to R korlátos és zárt intervallumon értelmezett függvény. f pontosan akkor integrálható, ha korlátos, és szakadási helyeinek halmaza Lebesgue-nullmértékű halmaz, azaz

f\in \mathrm{R}[a,b]\;\Leftrightarrow\;(f\in \mathrm{B}[a,b]\;\wedge\; \mathrm{m}(\mathrm{discon}(f))=0)

Itt Lebesgue-nullmértékűnek nevezünk egy HR halmazt, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan (In) intervallumsorozat, hogy ennek összhossza < ε és lefedi H-t.

Biztos nem nullmértékű például egy nemelfajuló intervallum, mert annak a mértéke az intervallum nemnulla hossza. De véges halmaz nullmértékű, mert lefedhető, egy határértékben eltűnő intervallumsorozat-rendszerrel. Belátható, hogy megszámlálható pont nullmértékű halmazt alkot. Konkrétan, könyen belátható, hogy az 1/n pontjai nullmértékű halmazt alkotnak.

Világos, hogy a Dirichlet-függvényes példa azért jó ellenpélda, mert ez a függvény [0,1]-en mindenhol szakad, azaz discon(Dir)=[0,1], melynek a mértéke 1.

Példa. Felvetődik a kérdés: van-e konitinuum sok helyen szakadó, Riemann-integrálható függvény. A válasz igenlő. A konstrukció e következő. Először definiáljuk az ördög lépcsője függvényt:

A [0,1] intervallumot osszuk 3 részre és vegyük ki a belső nyílt harmadot. Ezen a szakaszon legyen a függvény értéke a bel végpont. Ismételjük a megmaradt két zárt intervallumra, ... Ami megmarad a halmazból, az az úgy nevezett Cantor-halmaz. A Cantor-halmaz kontinuum számosságúan végtelen, de Lebesgue-nullmértékű -- ezta a két dolgot persze nem bizonyítjuk. A függvény mindenhol deriválható és a deriváltja 0 (de nem intervallumon értelmezett: Dom = [0,1]\C). Ha most vesszük a deriváltfüggvényét és kiterjesztjük a C pontjaiban úgy, hogy ott 1 legyen az értéke, akkor ez egy kontinuum számosságú, de Lebesgue-nullmértékű halmazon szakadó, korlátos függvény, azaz integrálható. És az integrálja 0. Ebből is látható, hogy a fenti ekvivalenciatétel csodálatosan oldja meg, hogy bár a Riemann-felosztás véges, kontinuum számosságú, L-0-m. résszel is el tud bánni.

A Riemann-integrálhatóság néhány kritériuma

Részletezünk néhány hasznos esetet a fenti tételből.

  1. f\in \mathrm{R}[a,b]\;\Rightarrow\;f\in \mathrm{B}[a,b]
    csak korlátos függvények R-intgrálhatóak
  2. f\in \mathrm{R}[a,b]\;\Leftarrow\;f\in \mathrm{C}[a,b]
    (Cauchy) világos: ha folytonos, akkor nincs szakadási pontja, és korlátos a Weierstrass-tétel miatt
  3. f\in \mathrm{R}[a,b]\;\Leftarrow\;f\in \mathrm{M}[a,b]
    monoton függvény R-integrálható (minden feltétel nélkül), amiatt a nem említett tétel miatt, hogy intervallumon értelmezett, monoton függvénynek csak megszámlálható szakadási pontja van, korlátos és zárt intervallumon pedig egy ilyen függvény korlátos.

Feladat. Intergálhatóak-e az alábbi függvények és ha igen, mi az integráljuk?

1.

f:[-1,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}|x|\sin(\frac{1}{x}), & \mathrm{ha} & x\ne 0 \\\\ 0, & \mathrm{ha} & x= 0\end{matrix}\right.

Igen, mert folytonos (illetve legfeljebb csak 1 ponton szakad). Ezen kívül páratlan: |-x|sin(1/-x) = -|x|sin(1/x), emiatt az origóra szimmetrikus intervallumon az integrálja 0.

2.

f:[0,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2^{i+1}}, & \mathrm{ha} & \frac{1}{2^{i+1}}<x\leq\frac{1}{2^i} \\\\ 0, & \mathrm{ha} & x= 0\end{matrix}\right.

Igen, mert monoton. Az integrálját elegendő egyetlen végtelenül finomodó felosztássorozathoz tartozó közelítő összegsorozat határértékeként számolni, hiszen ha ez nem konvergálna, akkor nem teljesülne a definícióban megkövetelt határérték létezése. Az intervallumot 2m részre osztjuk fel. Ekkor az összeg:

\sum\limits_{k=1}^{m-1}\frac{1}{2^k}\frac{1}{2^k}=\sum\limits_{k=1}^{m-1}\frac{1}{4^k}=-1-\frac{1}{4^{m}}+\sum\limits_{k=0}^{m}\frac{1}{4^k}\,

Ennek a határértéke a mértani sor összegképlete miatt:

-1+\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}

3.

f:[0,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}\frac{1}{1+\sin(\frac{1}{x})}, & \mathrm{ha} & x\ne \frac{1}{-\frac{\pi}{2}+2k\pi},0\\\\ 0, & \mathrm{ha} & x= \frac{1}{\frac{-\pi}{2}+2k\pi},0\end{matrix}\right.

Megszámlálható sok szakadása van ugyan a függvénynek, de nem korlátosan a szakadások, így a függvény nem integrálható.

Az határozott integrál néhány tulajdonsága

A következőkben feltesszük, hogy az f és g a formulákban szereplő intervallumokat tartalmazó valamely intervallumon Riemann-integrálható.

  1. Intervallum szerinti additivitás:
    \int\limits_{a}^b f+\int\limits_{b}^c f = \int\limits_{a}^c f
  2. Integrandus szerinti additivitás:
    \int\limits_{a}^b f+\int\limits_{a}^b g = \int\limits_{a}^b f+g
  3. Integrandus szerinti monotonitás.
    f\leq g\quad\quad\Rightarrow\quad\quad\int\limits_{a}^b f\leq \int\limits_{a}^b g
  4. Integrandus szerinti homogenitás:
    c\cdot \int\limits_{a}^b f= \int\limits_{a}^b cf\quad\quad(c\in\mathbf{R})
  5. Abszolút becslés.
    \left|\int\limits_{a}^b f\right|\leq \int\limits_{a}^b |f|
  6. Triviális alsó és felső becslés.
    (\inf f)\cdot(b-a)\leq \int\limits_{a}^b f\leq(\sup f)\cdot(b-a)
  7. Eltolásinvariancia.
    \int\limits_{a+c}^{b+c} f(x-c)\,\mathrm{d}x= \int\limits_{a}^b f(x)\,\mathrm{d}x

Az integrálfüggvény néhány tulajdonsága

Az integrálfüggvény viselkedését vizsgálva meglepő következtetésre juthatunk.

Példa. Vegyük az alábbi lépcsős függvényt:

f:[0,2]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}1, & \mathrm{ha} & x\in [0,1) \\\\ 2, & \mathrm{ha} & x\in [1,2] \end{matrix}\right.

írjuk fel az integrálfüggvénét tudva tudván, hogy az nem más mint a területfüggvény:

T(x)=\left\{\begin{matrix}x\cdot 1, & \mathrm{ha} & x\in [0,1) \\\\ 1+2(x-1), & \mathrm{ha} & x\in [1,2] \end{matrix}\right\}=\left\{\begin{matrix}x, & \mathrm{ha} & x\in [0,1) \\\\ 1+2x, & \mathrm{ha} & x\in [1,2] \end{matrix}\right.

Ábrázolva azt kapjuk, hogy T képe egy törött vonal, folytonos és mindehol, ahol nem törik a deriváltja az integrandus. T diff.-ható a [0,1)U(1,2] halmazon és

T'=f|_{[0,1)\cup(1,2]}

Az integrálfüggvény differenciálhatóságáról

Az integrandus folytonossági helyein az integrálfüggvény valóban differenciálható. Az alábbi tételt az analízis első alaptételének szokás nevezni.

Tétel. -- A kalkulus fundamentális tétele I. -- Legyen f:[a,b] \to R integrálható. Ha f folytonos az u ∈ [a,b] pontban, akkor ∫ f differenciálható u-ban és

\left(\int f\right)'(u)=f(u)\,

Bizonyítás. f folytonos u-ban, ezért tetszőleges ε > 0-ra létezik olyan δ > 0, hogy f|B(δ,u) ⊆ Bε(f(u)), azaz:

f(u)-\varepsilon \leq \inf f|_{\mathrm{B}_{\delta}(u)}\leq \sup f|_{\mathrm{B}_{\delta}(u)}\leq f(u)+\varepsilon

Írjuk fel a deriváltra a különbségi hányadost! Legyen x,y olyan, hogy az u δ sugarú környezetébe esik. Ekkor az integrál intervallum szerinti additivitása miatt:

\frac{\int\limits_{a}^yf-\int\limits_{a}^x f}{y-x}=\frac{\int\limits_{x}^yf}{y-x}

Ha most a tirviális alsó és felső becslést vesszük:

f(u)- \varepsilon\leq\inf f|_{[x,y]}=\frac{\inf f|_{[x,y]}\cdot (y-x)}{y-x}\leq\frac{\int\limits_{x}^yf}{y-x}\leq \frac{\sup f|_{[x,y]}\cdot (y-x)}{y-x}\sup f|_{[x,y]}\leq f(u)+ \varepsilon

s mivel ε tetszőleges volt, ezért f(u) nem más, mint az integrálfüggvény u-beli különbségi háényadosának határértéke (az x=u helyettesítéssel). QED

Látható, hogy a bizonyításban többet láttunk be. Egyfajta u-beli egyenletes differenciálatóságot, az úgy nevezett erős differenciálhatóságot. Ez azért lehet fontos, mert ha az integrálfüggény deriváltja nem nulla, akkor az inverze is Lipschitz-folytonos, amiből pedig az következik, hogy mind az i.f. mind az inverze nullmértékű halmazt nullmértékűbe képez.

Az integrálfüggvény Lipschitz-tulajdonsága

És persze az integrálfüggvény "nagyon" folytonos, azaz létezik olyan L, hogy minden x,y ∈ [a,b]-re

\left|\int\limits_{a}^yf-\int\limits_{a}^x f\right|\leq L|y-x|\,

(ezt nevezzük Lipschitz-tulajdonságnak, vagy Lipschitz-folytonosságnak). Ugyanis a triviális felső becslésből:

\left|\int\limits_{a}^y f-\int\limits_{a}^x f\right|\leq \left|\int\limits_{x}^y f\right|\leq \int\limits_{x}^y|f|\leq \sup |f|\,|_{[x,y]}\cdot |y-x|\leq\sup |f|\cdot |y-x|

ahol L-nek alkalmas a sup |f| szám.

Ez azért lehet lényeges bizonyos esetekben, mert ekkor az integrálfüggvény nullmértékű halmazt nullmértékűbe képez.

Primitívfüggvények

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f:[a,b] \to R függvénynek primitív függvénye az F:[a,b]\to R differenciálható függvény, ha F' = f.

Világos, hogy ha F primitív függvénye f-nek, akkor akármilyen konstans C-vel F + C is primitív függvénye f-nek, hisz (F + C)'= F' = f. Ennél több is igaz. Ha f-nek primitívfüggvénye F, akkor f összes primitívfüggvénye F + C alakú, ahol C tetszőleges valós szám. Ez az alábbi fontos tétel közvetlen következménye:

Tétel. Ha az F:[a,b]\to R differenciálható függvény olyan, hogy F' ≡ 0, akkor létezik olyan C valós szám, hogy F ≡ C.

Bizonyítás. Egyszerűen a Lagrange-tételt kell alkalmazni F egy tetszőleges [a,x]-re történő leszűkítésétre:

\frac{F(x)-F(a)}{x-a}=F'(\xi)=0\,

azaz

F(a)=F(x)\,\quad\quad (x\in [a,b])

QED

Ha tehát egyáltalán van f-nek van primitív függvénye és F ilyen, akkor ezek halmaza:

\{F+C\mid C\in\mathbf{R}\}

Talán fellengzősség, de a fenti tételt néha az integrálszámítás alaptételének nevezik. Ennek egy kiterjesztett formája azonban tényleg méltó erre a névre:

Tétel. Ha az F:[a,b]\to R differenciálható függvény majdnem mindnehol differenciálható, ezekben a pontokban a derivált nulla és létezik olyan L szám, hogy minden x,y ∈ [a,b]-re |F(x) - F(y)| < L |x - y|, akkor F konstans.

Az alábbi tétel szerint, amit szintén joggal neveznek a kalkulus fundamentális tételének, ha egy integrálható függvénynek van primitív függénye, akkor az integrálfüggvények és primitívfüggvények halmaza egybeesik, sőt:

Tétel. Newton--Leibniz-formula Legyen f:[a,b]\to R integrálható és létezzen primitív függvénye. Ekkor f mindnen F primitív függvényére:

\int\limits_{a}^bf(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a) \,


Lényegesek ennek a tételnek a feltételei. Nézzük az eseteket!

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+ létezik primitív függvénye             +           Dir
+                                        +
+                                        +
+                *********************************************************
+       g'       *          h'           +              R-integrálható   *
+                *                       +                               *
+                *  ###############      +                               *
+                *  #  folytonos  #      +                               *
+                *  #             #      +                               *
+                *  ###############      +           Ent|[0,2]            *
+                *                       +                               *
+                *                       +                               *
+++++++++++++++++*++++++++++++++++++++++++                               *
                 *                                                       *
                 *                                                       *
                 *                                                       *
                 *********************************************************

A Dir Dirichlet-függvények nem létezik primitívfüggvénye, mert ha lenne olyan függvény, aminek ő a deriváltja lenne, akkor ő, mint deriváltfüggvény nem lenne Darboux-tulajdpnságú: két függvényértéke között nem mindent venne fel. Azt is megéztük, hogy R-integrálja sincs. (Bár Lebesgue-integrálja 0.)

Az Ent egészrész függvény integrálható (egy korlátos és zárt intevallumon), mert monoton, de nincs primitív függvénye, mert derivált nem ugorhat.

Legyen g : [-1,1] \to R a következő:

g(x)=\left\{\begin{matrix}x^2\sin\left(\cfrac{1}{x^2}\right)& \mathrm{ha} & x\ne 0\\
0 &\mathrm{ha} & x=0
 \end{matrix}\right.

Ekkor g differenciálható, így g'-nek g primitívfüggvénye, de tudjuk, hogy g'-nek nem korlátos másodfajú szakadésa van a 0-ban, így g' nem lehet integrálható.

Végül nézzünk példát olyan függvényre, mely nem folytonos, de értelmes rá a N--L-formula. Legyen h: [-1,1] \to R a következő:

h(x)=\left\{\begin{matrix}x^2\sin\left(\cfrac{1}{x}\right)& \mathrm{ha} & x\ne 0\\
0 &\mathrm{ha} & x=0
 \end{matrix}\right.

Ekkor g differenciálható, így g'-nek g primitívfüggvénye, és tudjuk, hogy g' korlátos és csak a 0-ban van egyetlen szakadása, így g' integrálható.

Megjegyezük, hogy a görbe alatti területet nem véges összegekkel, hanem végtelen sorral közelítő Lebesgue-integrál olyan általános, hogy ilyen vagy még általánosabban definiált értelmeben nem integrálható függvényt keresni már komoly matematikai/halmazelméleti kihívást jelent.

A Newton--Leibniz-formula bizonyítása. Belátjuk, hogy a baloldal és a jobboldal abszolút eltérése minden pozitív számnál kisebb. Legyen ε > 0. Ekkor az integrálhatóság miatt létezik olyan δ > 0 szám, hogy minden η ∈ RFδ[a,b] Riamann-felosztásra

\left|\sum\limits_{i=1}^nf(\eta([x_i,x_{i-1}]))\cdot (x_i-x_{i-1})-\int\limits_a^b f\right|< \varepsilon

A bizonyítás trükkje az, hogy az F(b)-F(a) különbséget a közelító összegben lévő sok taggal, mint teleszkópikus összeggel tudjuk előállítani. Ugyanis a Lagrange-féle középértéktétel miatt egy tetszőlegesen rögzített η ∈ RFδ[a,b] felosztás minden részintervallumán létezik olyan ξi ∈ [xi-1,xi], hogy

f(\xi_i)=F'(\xi_i)=\frac{F(x_i)-F(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}

Emiatt, ha azt az ξ felosztást választjuk, melynek osztópontjai az &eta osztópontjaival esenek egybe, de a részintervallumokból rendre a ξxi értékeket választja ki, akkor fennáll:


\sum\limits_{i=1}^nf(\xi([x_i,x_{i-1}]))\cdot (x_i-x_{i-1})=\sum\limits_{i=1}^n\frac{F(x_i)-F(x_{i-1})}{x_i-x_{i-1}}\cdot (x_i-x_{i-1})=\sum\limits_{i=1}^n F(x_i)-F(x_{i-1})=F(b)-F(a)\,

Itt az összeg tagjai úgy esnek össze, ahogy azt a teleszkópikus összegeknél láthatjuk. Végül

\left|\sum\limits_{i=1}^nf(\eta([x_i,x_{i-1}]))\cdot (x_i-x_{i-1})-\int\limits_a^b f\right|=\left|F(b)-F(a)-\int\limits_a^b f\right|< \varepsilon

s mivel ε tetszőleges volt, ezért az egyenlőség fennáll. QED


Az ábrán van egy különlegesen fontos eset. Amikor az integrandus folytonos, akkor a fügvénynek biztosan létezik primitívfüggvénye. Ez annak a tételnek a duálisa, hogy folytonos függvény integrálható.

Tétel. f ∈ C[a,b], akkor f-nek (biztosan) létezik primitívfüggvénye.

Ugyanis ekkor az integrálfüggvény minden pontban differenciálható, azaz az integrálfüggény primitívfüggvénye f-nek.

Jelölés. Ha f folytonos, akkor indokolt a primitív függvények összességét a

\int f(x)\,\mathrm{d}x+C

alakban írni, ahol C tetszőleges szám.

Megjegyzés. Ha tehát az a kérdés, hogy melyek a primitív függvényei f-nek, akkor a válasz a fenti kifejezés, ahol a határozatlan integrált szimbolizáló tag általában egy konkrét függvény.

Primitívfüggvény-keresés

Primitívfüggvény-keresésnek két metódusa van. Az egyik a helyettesítéses integrálás, a másik a parciális integrálás. Ezek előtt azonban egy triviális módszer, a deriválási táblázat megfodítása és az integrál eltolásinvarianciájának felhasználása. (Esetleg a lineáris argumentumú alapintegrál kiszámítása.)

Alapintegrálra visszavezethető integrálok

Ha tehát vesszük az elemi függvények és inverzeinek deriválási táblázatát, akkor jobbról balra olvasva megkapjuk az alapintegrálok táblázatát.

\int x^n\,\mathrm{d}x =\frac{x^{n+1}}{n+1}+C (x\in\mathbb{R},n\in\mathbb{Z}\setminus\{-1\})
\int x^\alpha\,\mathrm{d}x =\frac{x^{\alpha+1}}{\alpha+1}+C (x\in\mathbb{R}^+,-1\neq\alpha\in\mathbb{R})
\int\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x =\,\ln|x|+C (0\neq x\in\mathbb{R})
\int e^x\,\mathrm{d}x =\,e^x+C (x\in\mathbb{R})
\int a^x\,\mathrm{d}x =\frac{a^x}{\ln a}+C (x\in\mathbb{R},1\neq a\in\mathbb{R}^+)
\int\sin x\,\mathrm{d}x =-\cos x\,+C (x\in\mathbb{R})
\int\cos x\,\mathrm{d}x =\sin x\,+C (x\in\mathbb{R})
\int\frac{1}{\sin^2x}\,\mathrm{d}x =-\mathrm{ctg}\,x\,+C (k\pi\neq x\in\mathbb{R},k\in\mathbb{Z})
\int\frac{1}{\cos^2x}\,\mathrm{d}x =\mathrm{tg}\,x\,+C (\frac{k\pi}{2}\neq x\in\mathbb{R},k\in\mathbb{Z})
\int\mathrm{sh}\, x\,\mathrm{d}x =\mathrm{ch}\,x\,+C (x\in\mathbb{R})
\int\mathrm{ch}\, x\,\mathrm{d}x =\mathrm{sh}\, x\,+C (x\in\mathbb{R})
\int\frac{1}{\mathrm{sh}^2x}\,\mathrm{d}x =-\mathrm{cth}\, x\,+C (0\neq x\in\mathbb{R})
\int\frac{1}{\mathrm{ch}^2x}\,\mathrm{d}x =\mathrm{th}\, x\,+C (x\in\mathbb{R})
\int\frac{1}{1+x^2}\,\mathrm{d}x =\mathrm{arc\,tg}\, x\,+C (x\in\mathbb{R})
\int\frac{1}{1-x^2}\,\mathrm{d}x =\frac{1}{2}\ln\left|\frac{x+1}{x-1}\right|+C =\left\{{\mathrm{ar\,th}\,x+C\quad(1>|x|\in\mathbb{R})\atop\mathrm{ar\,ch}\,x+C\quad(1<|x|\in\mathbb{R})}\right.
\int\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x =\mathrm{arc\,sin} x\,+C (1>|x|\in\mathbb{R})
\int\frac{1}{\sqrt{1+x^2}}\,\mathrm{d}x =\mathrm{ar\,sh}\,x+C (x\in\mathbb{R})
\int\frac{1}{\sqrt{x^2-1}}\,\mathrm{d}x =\ln\left|x+\sqrt{x^2-1}\right|+C =\left\{\;{\mathrm{ar\,ch}\,x+C\quad\quad(1<x\in\mathbb{R})\atop\!-\mathrm{ar\,ch}(-x)+C\quad(1>x\in\mathbb{R})}\right.


Alapintegrálok kiszámítása táblázatból


\int\frac{1}{\cos^2x}\,\mathrm{d}x=\mathrm{tg}\,x+C\,

vagy a legkönnyebben elronthatók:


\int 5 \,\mathrm{d}x=5x+C\,

\int 0\, \mathrm{d}x=C\,

Alapintegrálok és eltolásinvariancia

Az integrál eltolásinvarianciáját használva:


\int\frac{1}{x+8}\,\mathrm{d}x=\mathrm{ln}\,|x+8|+C\,

Lineáris agrumentumú integrandus

A lineáris agrumentumúkra vonatkozó képlet:


\int f(ax+b)\,\mathrm{d}x=\frac{1}{a}F(ax+b)+C\,

ahol F'=f. Hiszen az összetett függvény deriválási szabálya szerint:

\left(\frac{1}{a}F(ax+b)\right)'=\frac{1}{a}F'(ax+b)=\frac{1}{a}\cdot f(ax+b)\cdot a= f(ax+b)

Ezzel pl:


\int\sin(5x-7)\,\mathrm{d}x=-\frac{1}{5}\cos(5x-7)+C\,

Megjegyzés. Érdemes fejünkbe vésni a sin függvény deriváltajainak függvénysorozatát:

sin
cos
− sin
− cos
sin
cos
\vdots

felfejé haladva integrálunk, lefelé haladva deriválunk.

pl.


\int e^{(2008x-2007)}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2008}e^{(2008x-2007)}+C\,

Polinom/lineáris alak

\int\frac{x-3}{x+1}\,\mathrm{d}x=\int\frac{x+1-4}{x+1}\,\mathrm{d}x=\int 1-\frac{4}{x+1}\,\mathrm{d}x=x-4\,\mathrm{ln}\,|x+1|+C
\int\frac{2x+1}{x+2}\,\mathrm{d}x=\int\frac{2(x+2)-3}{x+2}\,\mathrm{d}x=\int 2-\frac{3}{x+2}\,\mathrm{d}x=2x-3\,\mathrm{ln}\,|x+2|+C
\int\frac{x^2+2}{x-1}\,\mathrm{d}x=?

itt már érdemes polinomosztással eljárni:

   (x^2 + 2) : (x - 1) = x + 1
-   x^2 - x
   ---------
      x + 2   
-     x - 1
     --------
          3
\int\frac{x^2+2}{x-1}\,\mathrm{d}x=\int x+1+\frac{3}{x-1}\,\mathrm{d}x=\frac{x^2}{2}+x+3\,\mathrm{ln}\,|x-1|+C

Néha x2 + 1 nevezőjűre is működik:

\int\frac{x^2-7}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\int \frac{x^2+1-8}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\int 1-\frac{8}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=x-8\,\mathrm{arc\,tg}\,x+C

Linearizáló formulák

Ezek arra alkalmasak, hogy a sin2, cos2, sh2. ch2 függvényeket (illetve alkalmasan megváltoztatott argumentumú változatukat) ki lehessen integrálni:


\sin^2 x=\frac{1-\cos(2x)}{2}\,

\cos^2 x=\frac{1+\cos(2x)}{2}\,

\mathrm{sh}^2 x=\frac{\mathrm{ch}(2x)-1}{2}\,

\mathrm{ch}^2 x=\frac{\mathrm{ch}(2x)+1}{2}\,

Mindezek a következők miatt állnak fenn:

\cos^2+\sin^2=1\,
\cos^2-\sin^2=\cos(2x)\,

ezért ezeket kivonva ill. összeadva, majd 2-vel elosztva a felső kettőt kapjuk. A másik kettő:

\mathrm{ch}^2-\mathrm{sh}^2=1\,
\mathrm{ch}^2+\mathrm{sh}^2=\mathrm{ch}(2x)\,

Itt érdemes megjegyezni az Osborne-szabályt: ha egy trigonometrikus azonosságban kicseréljük a megfelelő hiperbolikus függvényekre az összetevőket és minden olyan tag előjelét megváltoztatjuk, melyek két sh szorzatából állnak (speciálisan a sh2-ek elé egy - jelet teszünk), akkor megkapjuk a hiperbolikus azonosságot. Lásd: Osborne-szabály.

Ezek főleg határozott integráloknál adnak "szép" eredményt

Példa.

\int\limits_{0}^{\pi}\sin^2 x\mathrm{d}x=\int\limits_{0}^{\pi}\frac{1-\cos(2x)}{2}\mathrm{d}x=\left[\frac{1}{2}x-\frac{1}{4}\sin(2x)\right]_0^\pi=\frac{\pi}{2}

Helyettesítéses integrálás

Az első keresési eljárás az összetett függvény deriválási szabályának megfordításán alapul.

Tétel. Legyen g:I \to J, F: J \to R folytonosan differenciálható függvények és f: J \to R pedig olyan, hogy az F' = f, akkor az x \mapsto f(g(x)) \cdot g'(x)-nek is létezik primitív függvénye és

\int f(g(x))\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x= F(g(x))+C\,

Bizonyítás. A primitív függvény létezését az garantálja, hogy az integrandus folytonos.

Elegendő ellenőrizni, hogy x \mapsto F(g(x)) primitív függvénye x \mapsto f(g(x)) \cdot g'(x)-nek, azaz az előbbi deriváltja az utóbbi:

F(g(x))'=F'(g(x))\cdot g'(x)=f(g(x))\cdot g'(x)

QED.

...-alakú integrálok

Ebből a tételből származtathatjuk a "... alakú integrálokat":

  1. \int f(ax+b)\,\mathrm{d}x= \frac{1}{a}F(ax+b)+C\,\quad\quad(\;g(x)=ax+b\;\mathrm{esete})
  2. \int g^n(x)\cdot g'(x)\,\mathrm{d}x= \frac{g^{n+1}(x)}{n+1}+C\,\quad\quad(\;f(\,.\,)=(\,.\,)^n\;\mathrm{esete}\;n\ne -1)
  3. \int \frac{g'(x)}{g(x)}\,\mathrm{d}x= \mathrm{ln}|g(x)|+C\,\quad\quad(\;f(\,.\,)=\mathrm{ln}(\,.\,)\;\mathrm{esete}\;)

Példák.

1. \int\frac{x}{\cos^2 (x^2+5)},\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\int\frac{2x}{\cos^2 (x^2+5)},\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\cdot\mathrm{tg}\,(x^2+5)+C hiszen a "külső" függvény:

f(\,.\,)=\frac{1}{\cos^2(\,.\,)} \quad\quad\to_{\int}\quad\quad F(\,.\,)=\mathrm{tg}\,(\,.\,)

a "belső" függvény:

g(x)=x^2+5 \quad\quad\to'\quad\quad g'(x)=2x

2.

 \int\frac{\mathrm{arc\,tg}\,x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x= \int(\mathrm{arc\,tg}\,x)^2\cdot\frac{1}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\frac{\mathrm{arc\,tg}^2\,x}{2}+C

hiszen a "külső" függvény:

f(\,.\,)=(\,.\,)^1 \quad\quad\to_{\int}\quad\quad F(\,.\,)=\frac{(\,.\,)^2}{2}

a "belső" függvény:

g(x)=\mathrm{arc\,tg}\,x \quad\quad\to'\quad\quad g'(x)=\frac{1}{x^2+1}

3.

 \int\frac{1}{(\mathrm{arc\,sin}\,x)\sqrt{1-x^2}}\,\mathrm{d}x= \int\frac{\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}}{\mathrm{arc\,sin}\,x}\,\mathrm{d}x=\mathrm{ln}\,|\mathrm{arc\,sin}\,x|+C

hiszen a "külső" függvény:

f(\,.\,)=(\,.\,)^{-1} \quad\quad\to_{\int}\quad\quad F(\,.\,)=\mathrm{ln}\,|\,.\,|

a "belső" függvény:

g(x)=\mathrm{arc\,sin}\,x \quad\quad\to'\quad\quad g'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}

4.

 \int x^2\sqrt[2008]{\mathrm{sh}\,x^3}\cdot \mathrm{ch}\,(x^3)\,\mathrm{d}x= \frac{1}{3}\int \sqrt[2008]{\mathrm{sh}\,x^3}\cdot (3x^2\mathrm{ch}\,(x^3))\,\mathrm{d}x=\frac{2008}{3\cdot 2009}(\mathrm{sh}\,x^3)^{\frac{2009}{2008}}+C

hiszen a "külső" függvény:

f(\,.\,)=(\,.\,)^{\frac{1}{2008}} \quad\quad\to_{\int}\quad\quad F(\,.\,)=\frac{2008}{2009}(\,.\,)^{\frac{2009}{2008}}

a "belső" függvény:

g(x)=\mathrm{sh}\,(x^3) \quad\quad\to'\quad\quad g'(x)=3x^2\mathrm{ch}\,(x^3)

Integrálás a helyettesítés elvégzésével

Megjegyzés. Intermezzóként megemlítjük, hogy a helyettesítés elnevezés abból fakad, hogy ekkor lényegében új ismeretlent vezetünk be. Persze az ezzel való számolás egy egészen más szemléletet igényel. A fő képlet ekkor:


\int g(x)\,\mathrm{d}x=\left.\int f(u)\,\mathrm{d}u\right|_{u=u(x)}= F(u)+C|_{u=u(x)}

ahol el kell végezni az

u=u(x)\quad\quad\to^{(\,.\,)^{-1}}\quad\quad x=x(u)\,
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=u'(x)\,\quad\quad\to\quad\quad \mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{u'(x(u))}

szimbolikus helyettesítést.

5. (exponenciális helyettesítés)

\int \frac{e^x}{1+e^{2x}}\,\mathrm{d}x=?
u=e^x\quad\quad\to^{(\,.\,)^{-1}}\quad\quad x=\mathrm{ln}\,u
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=e^x=u\quad\quad\to\quad\quad \mathrm{d}x=\frac{\mathrm{d}u}{u}
 \int \frac{e^x}{1+e^{2x}}\,\mathrm{d}x=\left.\int \frac{\,^1\!\!\not{\!u}\,}{1+u^2}\cdot\frac{1}{\not{\!u}_1}\,\mathrm{d}u\right|_{u=e^x}=\left.\mathrm{arc\,tg}\,(u) +C\right|_{u=e^x}=\mathrm{arc\,tg}\,(e^x) +C


5. (gyökös helyettesítés)

\int \frac{2x}{1+\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=?
u=\sqrt{x}\quad\quad\to^{(\,.\,)^{-1}}\quad\quad x=u^2
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=\frac{1}{2\sqrt{x}}=\frac{1}{2u}\quad\quad\to\quad\quad \mathrm{d}x=2u\,\mathrm{d}u
 \int \frac{2x}{1+\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=\int \frac{2u^2}{1+u}\,\frac{1}{2u}\mathrm{d}u\,\mathrm{d}u=\int \frac{u}{1+u}\,\mathrm{d}u=
\int \frac{u+1-1}{1+u}\,\mathrm{d}u= \int 1-\frac{1}{1+u}\,\mathrm{d}u=\left. u-\mathrm{ln}\,|1+u|+C\right|_{u=\sqrt{x}}=\sqrt{x}-\mathrm{ln}\,\sqrt{x}+C

6. (trigonometrikus helyettesítés)

\int \sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x=?
u=\mathrm{arc\,cos}\,x\quad\quad\to^{(\,.\,)^{-1}}\quad\quad x=\cos u
\frac{\mathrm{d}u}{\mathrm{d}x}=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=-\sin u\quad\quad\to\quad\quad \mathrm{d}x=-\sin u\,\mathrm{d}u
\int \sqrt{1-x^2}\,\mathrm{d}x=\int \sqrt{1-\cos^2x}\,(-\sin u)\mathrm{d}u=-\int \sin^2u\,\mathrm{d}u=
-\int \frac{1-\cos(2u)}{2}\,\mathrm{d}u=\left.-\frac{1}{2}u+\frac{1}{4}\sin(2u)+C\right|_{u=\mathrm{arc\,cos}\,x}=-\frac{1}{2}\mathrm{arc\,cos}\,x+\frac{1}{4}\sin(2\mathrm{arc\,cos}\,x)+C

Parciális integrálás

A helyettesításes integrálás a függvénykompozíció deriválására szolgáló képlet felhasználása volt primitívfüggvény keresésre. Most a szorzási szabályt fogjuk használni.

Tétel. Legyen f,g:[a,b]  \to R folytonos és F,G:[a,b]  \to R differenciálható olyan, hogy F' = f, G' = g. Ekkor az alábbi képletben szereplő összes integrandusnak létezik primitív függvénye és

\int Fg=FG - \int fG\,

Bizonyítás. Elég a bizonyítani, hogy a jobb oldal deriváltja a baloldali integrandus:

(FG - \int fG)'=F'G+FG'-fG=fG+Fg-fG=Fg\,

QED.

Személyes eszközök