Matematika A1a 2008/11. gyakorlat
Határozott integrál
Az egyváltozós analízis történetileg kialakult két jellegzetes témaköre közül az egyik az érintőproléma (lényegében a differenciálelmélet) a másik a területszámítás problémája, vagy régies elnevezéssel a kvadratúra-feldat (ami lényegében az integrálelmélet). Most a kvadratúra, azaz a függvénygörbe alatti terület definícióját adjuk meg. Ehhez azonban néhény segédfogalmat kell megismernünk.
Az [a,b] korlátos és zárt intervallum egy Riemann-felosztásán nem mást értünk mint egy olyan kiválasztófüggvényt, mely az [a,b]-t unióként előállító, egymásba nem nyúló intervallumokból álló halmaz minden egyes eleméhez egy az adott elemben lévő elemet rendel, azaz egy olyan
függvényt, melyre:
- n olyan véges természetes szám, hogy x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b és
- minden J ∈ Dom(η) esetén .
Az [a,b] összes Riemann-felosztásai halmazát RF[a,b] jelöli. Azon Riemann-felbontások halmazát, amelyekben az összes részintervallum hossza kisebb egy δ > 0 pozitív számnál, azt RFδ[a,b] jelöli, azt a halmazt az [a,b] összes δ-nál finomabb Riemann-felosztásának nevezük.
Egy f, az [a,b]-n értelmezett függvény egy Riemann-közelítő összegén a
ahol η a fenti jelölésekkel az [a,b] egy Riemann-felosztása.
Ekkor már definiálhatjuk az integrálhatóságot:
Definíció. Legyen f:[a,b] Regy zárt és korlátos intervallumon értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f Riemann-integrálható és integrálja az I valós szám, ha
Belátható, hogy ha f integrálható, akkor I egyértelmű és ekkor ennek a számnak a jelölésére az
- , vagy az
szimbólum szolgál.
Az [a,b] intervallumon Riemann-integrálható függvények halmazát R[a,b] jelöli.
Az integrál lényegében a függvénygörbe alatti terület. Integrálható függvény esetén létezik ez a terület, azaz a Riemann-felosztást egyre finomabbra véve, a Riemann-közelítő összeg minden előre megadott legnagyobb ε eltérésnél közelebb kerül I-hez.
Világos, hogy ha egy függvény integrálható, akkor minden részintervallumán is integrálható (hisz ekkor azokat a felosztásokat kell venni, amik a részintervallumon belül is felosztások, és persze ezek szerint is képezve a határátmenetet, létező határértéket kapunk). Minhogy az integrál egy szám, integrálható f esetén értelmes ha definiáljuk a következő, úgy nevezett integrálfüggvényt (vagy a-ban eltűnő integrálfüggvényt):