Matematika A1a 2008/11. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2008. december 6., 19:59-kor történt szerkesztése után volt.

<Matematika A1a 2008

Tartalomjegyzék

Határozott integrál

Az egyváltozós analízis történetileg kialakult két jellegzetes témaköre közül az egyik az érintőproléma (lényegében a differenciálelmélet) a másik a területszámítás problémája, vagy régies elnevezéssel a kvadratúra-feldat (ami lényegében az integrálelmélet). Most a kvadratúra, azaz a függvénygörbe alatti terület definícióját adjuk meg. Ehhez azonban néhény segédfogalmat kell megismernünk.

Az [a,b] korlátos és zárt intervallum egy Riemann-felosztásán nem mást értünk mint egy olyan kiválasztófüggvényt, mely az [a,b]-t unióként előállító, egymásba nem nyúló intervallumokból álló halmaz minden egyes eleméhez egy az adott elemben lévő elemet rendel, azaz egy olyan

\eta:\{[x_0,x_1],[x_2,x_3], ..., [x_{n-1},x_n] \}\to [a,b]\,

függvényt, melyre:

  1. n olyan véges természetes szám, hogy x0 = a < x1 < x2 < ... < xn = b és
  2. minden J ∈ Dom(η) esetén  \eta(J)\in J.

Az [a,b] összes Riemann-felosztásai halmazát RF[a,b] jelöli. Azon Riemann-felbontások halmazát, amelyekben az összes részintervallum hossza kisebb egy δ > 0 pozitív számnál, azt RFδ[a,b] jelöli, azt a halmazt az [a,b] összes δ-nál finomabb Riemann-felosztásának nevezük.

Egy f, az [a,b]-n értelmezett függvény egy Riemann-közelítő összegén a

\sigma_f(\eta)=\sum\limits_{i=1}^nf(\eta([x_{i-1},x_i])\cdot|x_i-x_{i-1}|)

ahol η a fenti jelölésekkel az [a,b] egy Riemann-felosztása.

Ekkor már definiálhatjuk az integrálhatóságot:

Definíció. Legyen f:[a,b] \to Regy zárt és korlátos intervallumon értelmezett függvény. Azt mondjuk, hogy f Riemann-integrálható és integrálja az I valós szám, ha

(\forall \varepsilon> 0)(\exists \delta >0)(\forall \eta\in\mathrm{RF}_{\delta}[a,b])(|\sigma_f(\eta)-I|< \varepsilon)

Belátható, hogy ha f integrálható, akkor I egyértelmű és ekkor ennek a számnak a jelölésére az

\int\limits_{a}^{b} f, vagy az \int \limits_{a}^{b}f(x)\,\mathrm{d}x

szimbólum szolgál.

Az [a,b] intervallumon Riemann-integrálható függvények halmazát R[a,b] jelöli.

Az integrál lényegében a függvénygörbe alatti terület. Integrálható függvény esetén létezik ez a terület, azaz a Riemann-felosztást egyre finomabbra véve, a Riemann-közelítő összeg minden előre megadott legnagyobb ε eltérésnél közelebb kerül I-hez.

Világos, hogy ha egy függvény integrálható, akkor minden részintervallumán is integrálható (hisz ekkor azokat a felosztásokat kell venni, amik a részintervallumon belül is felosztások, és persze ezek szerint is képezve a határátmenetet, létező határértéket kapunk). Minhogy az integrál egy szám, integrálható f esetén értelmes ha definiáljuk a következő, úgy nevezett integrálfüggvényt (vagy a-ban eltűnő integrálfüggvényt):

\int f:[a,b]\to \mathbf{R}, x\mapsto\int\limits_{a}^xf\,

Definíció szerinti példák

1. Példa. Jóformán az egyetlen függvény, aminek az integrálhatóságát a definíció alapján könnyen igazolni tudjuk, az a konstans függvény. Az f(x) = c esetén a kiválaszott pontok mindig c függvényértékűek, és az összes közelítő összeg mindig

\sigma_f(\eta)=\sum\limits_{i=1}^nc\cdot(x_{i}-x_{i-1})=c\sum\limits_{i=1}^n(x_{i}-x_{i-1})=c(b-a)=\mathrm{const.}\,

azaz

\int\limits_{a}^b c\,\mathrm{d}x=c(b-a)

Már ezzel is azonban fel tudunk írni egy integrálfüggvényt: f:[a,b]\to R, f ≡ c esetén:

\left(\scriptstyle{\int} c\right)(x)=\int_{t=a}^xc\,\mathrm{d}t=cx-ca

2. Példa. Nem minden függvény integrálható.

2. a. Zárjuk le a reciprok függvényt egy ponttal:

f:[0,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}\frac{1}{x}, & \mathrm{ha} & x\in (0,1] \\\\ 1854, & \mathrm{ha} & x=0 \end{matrix}\right.

(Riemann az 1854-es habilitációs dolgozatában definiálta és vizsgálta a most Riemann-integrálhatóságnak nevezett fogalmaz, mindazonáltal az integrál első, a szigorúság követelményének eleget tévő definícióját Cauchy adta (1821) az intuitívet pedig Leibniz.) Ez a függvény nem integrálható, mert akármilyen fimon intervallumfelosztás esetén, ha az első intervallumot δ hosszúra választjuk, definiálható egy η([x0,x1]) < δ2 érték, azaz f(η([x0,x1])) > 1/ δ2. Ekkor viszont az első téglalap területe 1/δ lesz, ami δ \to 0 esetén a +∞-be tart, azaz az összterület nem lesz véges.

2. b. Legyen f a Dirichlet-függvény:

f:[0,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}1, & \mathrm{ha} & x\in \mathbf{Q} \\\\ 0, & \mathrm{ha} & x\in \mathbf{R}\setminus\mathbf{Q} \end{matrix}\right.

ahol Q a racionális számok halmaza, R / Q pedig nyilván az irracionális. Ez a függvény nem Riemann-integrálható, bár korlátos, mert akármilyen finom intervallum-felbontás esetén van egy olyan Riemann-kiválasztó függvény, mely mindig racionális pontokat választ ki és ezáltal a közelítő összeg mindig 1 és olyan, mely mindig irracionálist, azaz ezzel a közelítő összeg 0. Mindig lesz tehát két olyan felbontás, mely összegek különbsége legalább 1.

A Riemann-inregrálhatóság szükséges és elégséges feltétele

Bár a Riemann-integrálhatóság általában könnyen kezeéhető fogalom, a következő tétel bizonyításához azonban az egyváltozós analízis szinte összes eszközét be kell vetni. Nem csoda, hogy csak 1905-ben fogalmazhatta meg Lebesgue, egy tágabb perspektívából szemlélve a Riemann-integrált.

Tétel. Legyen f: [a,b] \to R korlátos és zárt intervallumon értelmezett függvény. f pontosan akkor integrálható, ha korlátos, és szakadási helyeinek halmaza Lebesgue-nullmértékű halmaz, azaz

f\in \mathrm{R}[a,b]\;\Leftrightarrow\;(f\in \mathrm{B}[a,b]\;\wedge\; \mathrm{m}(\mathrm{discon}(f))=0)

Itt Lebesgue-nullmértékűnek nevezünk egy HR halmazt, ha minden ε > 0-hoz létezik olyan (In) intervallumsorozat, hogy ennek összhossza < ε és lefedi H-t.

Biztos nem nullmértékű például egy nemelfajuló intervallum, mert annak a mértéke az intervallum nemnulla hossza. De véges halmaz nullmértékű, mert lefedhető, egy határértékben eltűnő intervallumsorozat-rendszerrel. Belátható, hogy megszámlálható pont nullmértékű halmazt alkot. Konkrétan, könyen belátható, hogy az 1/n pontjai nullmértékű halmazt alkotnak.

Világos, hogy a Dirichlet-függvényes példa azért jó ellenpélda, mert ez a függvény [0,1]-en mindenhol szakad, azaz discon(Dir)=[0,1], melynek a mértéke 1.

Példa. Felvetődik a kérdés: van-e konitinuum sok helyen szakadó, Riemann-integrálható függvény. A válasz igenlő. A konstrukció e következő. Először definiáljuk az ördög lépcsője függvényt:

A [0,1] intervallumot osszuk 3 részre és vegyük ki a belső nyílt harmadot. Ezen a szakaszon legyen a függvény értéke a bel végpont. Ismételjük a megmaradt két zárt intervallumra, ... Ami megmarad a halmazból, az az úgy nevezett Cantor-halmaz. A Cantor-halmaz kontinuum számosságúan végtelen, de Lebesgue-nullmértékű -- ezta a két dolgot persze nem bizonyítjuk. A függvény mindenhol deriválható és a deriváltja 0 (de nem intervallumon értelmezett: Dom = [0,1]\C). Ha most vesszük a deriváltfüggvényét és kiterjesztjük a C pontjaiban úgy, hogy ott 1 legyen az értéke, akkor ez egy kontinuum számosságú, de Lebesgue-nullmértékű halmazon szakadó, korlátos függvény, azaz integrálható. És az integrálja 0. Ebből is látható, hogy a fenti ekvivalenciatétel csodálatosan oldja meg, hogy bár a Riemann-felosztás véges, kontinuum számosságú, L-0-m. résszel is el tud bánni.

A Riemann-integrálhatóság néhány kritériuma

Részletezünk néhány hasznos esetet a fenti tételből.

  1. f\in \mathrm{R}[a,b]\;\Rightarrow\;f\in \mathrm{B}[a,b]
    csak korlátos függvények R-intgrálhatóak
  2. f\in \mathrm{R}[a,b]\;\Leftarrow\;f\in \mathrm{C}[a,b]
    (Cauchy) világos: ha folytonos, akkor nincs szakadási pontja, és korlátos a Weierstrass-tétel miatt
  3. f\in \mathrm{R}[a,b]\;\Leftarrow\;f\in \mathrm{M}[a,b]
    monoton függvény R-integrálható (minden feltétel nélkül), amiatt a nem említett tétel miatt, hogy intervallumon értelmezett, monoton függvénynek csak megszámlálható szakadási pontja van, korlátos és zárt intervallumon pedig egy ilyen függvény korlátos.

Feladat. Intergálhatóak-e az alábbi függvények és ha igen, mi az integráljuk?

1.

f:[-1,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}|x|\sin(\frac{1}{x}), & \mathrm{ha} & x\ne 0 \\\\ 0, & \mathrm{ha} & x= 0\end{matrix}\right.

Igen, mert folytonos (illetve legfeljebb csak 1 ponton szakad). Ezen kívül páratlan: |-x|sin(1/-x) = -|x|sin(1/x), emiatt az origóra szimmetrikus intervallumon az integrálja 0.

2.

f:[0,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}\frac{1}{2^{i+1}}, & \mathrm{ha} & \frac{1}{2^{i+1}}<x\leq\frac{1}{2^i} \\\\ 0, & \mathrm{ha} & x= 0\end{matrix}\right.

Igen, mert monoton. Az integrálját elegendő egyetlen végtelenül finomodó felosztássorozathoz tartozó közelítő összegsorozat határértékeként számolni, hiszen ha ez nem konvergálna, akkor nem teljesülne a definícióban megkövetelt határérték létezése. Az intervallumot 2m részre osztjuk fel. Ekkor az összeg:

\sum\limits_{k=1}^{m-1}\frac{1}{2^k}\frac{1}{2^k}=\sum\limits_{k=1}^{m-1}\frac{1}{4^k}=-1-\frac{1}{4^{m}}+\sum\limits_{k=0}^{m}\frac{1}{4^k}\,

Ennek a határértéke a mértani sor összegképlete miatt:

-1+\frac{1}{1-\frac{1}{4}}=\frac{1}{3}

3.

f:[0,1]\to \mathbf{R},\;x\mapsto\left\{\begin{matrix}\frac{1}{1+\sin(\frac{1}{x})}, & \mathrm{ha} & x\ne \frac{1}{-\frac{\pi}{2}+2k\pi},0\\\\ 0, & \mathrm{ha} & x= \frac{1}{\frac{-\pi}{2}+2k\pi},0\end{matrix}\right.

Megszámlálható sok szakadása van ugyan a függvénynek, de nem korlátosan a szakadások, így a függvény nem integrálható.

Az határozott intergál néhány tulajdonsága

  1. Intervallum szerinti additivitás.
  2. Integrandus szerinti additivitás.
  3. Integrandus szerinti monotonitás.
  4. Integrandus szerinti homogenitás.

Primitívfüggvények

Definíció. Azt mondjuk, hogy az f:[a,b] \to R függvénynek primitív függvénye az F:[a,b]\to R differenciálható függvény, ha F' = f.

Világos, hogy ha F primitív függvénye f-nek, akkor akármilyen konstans C-vel F + C is primitív függvénye f-nek, hisz (F + C)'= F' = f. Ennél több is igaz. Ha f-nek primitívfüggvénye F, akkor f összes primitívfüggvénye F + C alakú, ahol C tetszőleges valós szám. Ez az alábbi fontos tétel közvetlen következménye:

Tétel. Ha az F:[a,b]\to R differenciálható függvény olyan, hogy F' ≡ 0, akkor létezik olyan C valós szám, hogy F ≡ C.

Bizonyítás. Egyszerűen a Lagrange-tételt kell alkalmazni F egy tetszőleges [a,x]-re történő leszűkítésétre:

\frac{F(x)-F(a)}{x-a}=F'(\xi)=0\,

azaz

F(a)=F(x)\,\quad\quad (x\in [a,b])

QED

Ha tehát egyáltalán van f-nek van primitív függvénye és F ilyen, akkor ezek halmaza:

\{F+C\mid C\in\mathbf{R}\}

Talán fellengzősség, de a fenti tételt néha az integrálszámítás alaptételének nevezik. Ennek egy kiterjesztett formája azonban tényleg méltó erre a névre:

Tétel. Ha az F:[a,b]\to R differenciálható függvény majdnem mindnehol differenciálható, ezekben a pontokban a derivált nulla és létezik olyan L szám, hogy minden x,y ∈ [a,b]-re |F(x) - F(y)| < L |x - y|, akkor F konstans.

Az alábbi tétel szerint, amit szintén joggal neveznek a kalkulus fundamentális tételének, ha egy integrálható függvénynek van primitív függénye, akkor az integrálfüggvények és primitívfüggvények halmaza egybeesik, sőt:

Tétel. Newton--Leibniz-formula Legyen f:[a,b]\to R integrálható és létezzen primutív függvénye. Ekkor f mindnen F primitív függvényére:

\int\limits_{a}^bf(x)\,\mathrm{d}x=F(b)-F(a) \,

Lényegesek ennek a tételnek a feltételei. Nézzük az eseteket!

++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++++
+ létezik primitív függvénye             +           Dir
+                                        +
+                                        +
+                *********************************************************
+       g'       *          h'           +              R-integrálható   *
+                *                       +                               *
+                *  ###############      +                               *
+                *  #  folytonos  #      +                               *
+                *  #             #      +                               *
+                *  ###############      +           Ent|[0,2]            *
+                *                       +                               *
+                *                       +                               *
+++++++++++++++++*++++++++++++++++++++++++                               *
                 *                                                       *
                 *                                                       *
                 *                                                       *
                 *********************************************************

A Dir Dirichlet-függvények nem létezik primitívfüggvénye, mert ha lenne olyan függvény, aminek ő a deriváltja lenne, akkor ő, mint deriváltfüggvény nem lenne Darboux-tulajdpnságú: két függvényértéke között nem mindent venne fel. Azt is megéztük, hogy R-integrálja sincs. (Bár Lebesgue-integrálja 0.)

Az Ent egészrész függvény integrálható (egy korlátos és zárt intevallumon), mert monoton, de nincs primitív függvénye, mert derivált nem ugorhat.

Legyen g : [-1,1] \to R a következő:

g(x)=\left\{\begin{matrix}x^2\sin\left(\cfrac{1}{x^2}\right)& \mathrm{ha} & x\ne 0\\
0 &\mathrm{ha} & x=0
 \end{matrix}\right.

Ekkor g differenciálható, így g'-nek g primitívfüggvénye, de tudjuk, hogy g'-nek nem korlátos másodfajú szakadésa van a 0-ban, így g' nem lehet integrálható.

Végül nézzünk példát olyan függvényre, mely nem folytonos, de értelmes rá a N--L-formula. Legyen h: [-1,1] \to R a következő:

h(x)=\left\{\begin{matrix}x^2\sin\left(\cfrac{1}{x}\right)& \mathrm{ha} & x\ne 0\\
0 &\mathrm{ha} & x=0
 \end{matrix}\right.

Ekkor g differenciálható, így g'-nek g primitívfüggvénye, és tudjuk, hogy g' korlátos és csak a 0-ban van egyetlen szakadása, így g' integrálható.

Megjegyezük, hogy a görbe alatti területet nem véges összegekkel, hanem végtelen sorral közelítő Lebesgue-integrál olyan általános, hogy ilyen vagy még általánosabban definiált értelmeben nem integrálható függvényt keresni már komoly matematikai/halmazelméleti kihívást jelent.

Személyes eszközök