Matematika A1a 2008/12. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Impróprius integrál) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Elemi példák) |
||
(egy szerkesztő 4 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
49. sor: | 49. sor: | ||
==Improprius integrál== | ==Improprius integrál== | ||
− | :''Lásd | + | :''Lásd például:'' [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/41_Improprius_int_feladatsor.pdf elmélet és példák], [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/42_Improprius_integral_mo.pdf megoldások] De, ezek nagyon nehéz feladatok! |
'''Definíció.''' Ha az ''f'': ''I'' \to '''R''' az ''I'' minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f ∈ R<sup>loc</sup>(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f '''improprius integrálható I-n''' és '''improprius integrálján''' az | '''Definíció.''' Ha az ''f'': ''I'' \to '''R''' az ''I'' minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f ∈ R<sup>loc</sup>(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f '''improprius integrálható I-n''' és '''improprius integrálján''' az | ||
55. sor: | 55. sor: | ||
számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye. | számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye. | ||
− | + | ===Elemi példák=== | |
'''1.''' | '''1.''' | ||
− | :<math>\int\limits_{0}^1\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x</math> | + | :<math>\int\limits_{0}^1\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{x\to 1}\mathrm{ln}x-\lim\limits_{x\to 0}\mathrm{ln}x=0-(-\infty)=+\infty</math> |
− | nem konvergens | + | azaz nem konvergens. |
− | + | ||
− | + | ||
'''2.''' | '''2.''' | ||
76. sor: | 74. sor: | ||
szintén konvergens. | szintén konvergens. | ||
− | '''Tétel.''' (Ekvikonvergencia kritérium) Ha az f,g: | + | ===Összetettebb példák=== |
− | :<math>\lim\limits_{x\to | + | |
− | határérték, akkor f és g improprius integráljai | + | '''1.''' |
+ | :<math>\int\limits_{0}^\infty\frac{\mathrm{arctg}^7\,x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{8}\mathrm{arctg}^8\,x-\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{8}\mathrm{arctg}^8\,x=\frac{\pi}{16}-0=0</math> | ||
+ | |||
+ | ===Ekvikonvergencia-kritérium=== | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' (Ekvikonvergencia-kritérium) Ha az f,g: I <math>\to</math> '''R''' függvények lokálisan integrálhatók, ''u'' az ''I'' akármelyik végpontja (akár végtelen is) és létezik és pozitív a | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}</math> | ||
+ | határérték, akkor f és g improprius integráljai egyszerre konvergensek vagy egyszerre divergensek. | ||
+ | |||
+ | A fenti határértéket (tetszőleges u ∈ I'-re) még így is szokás jelölni: | ||
+ | |||
+ | :<math>f(x)\sim_ug(x)\quad\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad\quad\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbf{R}^+</math> | ||
+ | és azt mondják, hogy f az u körül úgy viselkedik, mint g. | ||
'''Példák.''' | '''Példák.''' | ||
+ | '''1.''' | ||
+ | :<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\mathrm{arc\,tg}(x)}{x^2}</math> | ||
+ | Mivel az arc tg határértéke a végtelenben π/2, ezért sejthető, hogy a függvény improprius integrálhatóság szempontjából úgy viselkedik, mint az 1/x<sup>2</sup>. ezt a következőkkel igazoljuk: | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{+\infty}\frac{\frac{\mathrm{arc\,tg}\,(x)}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{+\infty}\mathrm{arc\,tg}\,(x)=\frac{\pi}{2}</math> | ||
+ | Tehát az integrál konvergens. | ||
− | :<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{ | + | :<math>\int\limits_{1}^{ |
− | :<math>\int\limits_{0}^{1} | + | +\infty}\sin\frac{1}{x^2}</math> |
− | :<math>\int\limits_{ | + | :<math>\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sin x^3}</math> |
− | :<math>\int\limits_{0}^{1}\ | + | :<math>\int\limits_{1}^{\infty}\sin^3\frac{1}{x}</math> |
+ | :<math>\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{\sin x}}</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\mathrm{tg}\,x}</math> | ||
:<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\mathrm{th}\,(x)</math> | :<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\mathrm{th}\,(x)</math> | ||
A lap jelenlegi, 2016. december 12., 21:53-kori változata
Tartalomjegyzék |
Integrálás parciális törtekre bontással
A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata
Két polinom azonos, akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók rendre egyenlők:
ahonnan: A=1/2, B=-1/.
Az egyenletrendszer megoldásán kívül van egy másik módszer is:
-ben először tegyük x-be az egyik gyököt, az 0-t:
innen A=1/2, majd a másik gyököt:
azaz B=-1/2.
Végül visszahelyettesítve a felbontott alakba:
A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata
Ekkor a gyökmódszerrel: x=-1-re: -2C=2(-1)-7=-9, azaz C=9/2. x=1-re 4A=-5, A=-5/4 és egy szabadon válaztott egyszerű: x=0-ra: A-B-C=-7, ahonnan B=A-C+7, azaz B=-5/4-18/4+28/4= 5/4
Az integrál:
A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata
Itt a keresendő alak: vegyes módszerrel: x=0: A=1 C=0, mert nincs a bal oldalon elsőfokú B=-A, mert másodfokú sincs.
Kijöhetett volna az is, hogy C ≠ 0 pl:
A nevező többszörös multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata
Ekkor a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni.
Improprius integrál
- Lásd például: elmélet és példák, megoldások De, ezek nagyon nehéz feladatok!
Definíció. Ha az f: I \to R az I minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f ∈ Rloc(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f improprius integrálható I-n és improprius integrálján az
számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye.
Elemi példák
1.
azaz nem konvergens.
2. Ellenben a
már létezik, mert ha x 0 esetén 0 -hoz tart, így pl.
3. Hasonlóképpen
szintén konvergens.
Összetettebb példák
1.
Ekvikonvergencia-kritérium
Tétel. (Ekvikonvergencia-kritérium) Ha az f,g: I R függvények lokálisan integrálhatók, u az I akármelyik végpontja (akár végtelen is) és létezik és pozitív a
határérték, akkor f és g improprius integráljai egyszerre konvergensek vagy egyszerre divergensek.
A fenti határértéket (tetszőleges u ∈ I'-re) még így is szokás jelölni:
és azt mondják, hogy f az u körül úgy viselkedik, mint g.
Példák. 1.
Mivel az arc tg határértéke a végtelenben π/2, ezért sejthető, hogy a függvény improprius integrálhatóság szempontjából úgy viselkedik, mint az 1/x2. ezt a következőkkel igazoljuk:
Tehát az integrál konvergens.
Az integrálszámítás alkalmazásai
- Lásd: itt