Matematika A1a 2008/12. gyakorlat

A MathWikiből

(Változatok közti eltérés)

Ugrás: navigáció, keresés

A lap 2008. december 10., 11:28-kori változata

_{<Matematika A1a 2008}

Tartalomjegyzék

1 Integrálás parciális törtekre bontással

Integrálás parciális törtekre bontással

A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata

$\int\frac{1}{x(x+2)}\,\mathrm{d}x=?$

$\frac{1}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+Bx}{x(x+2)}=\frac{x(A+B)+2A}{x(x+2)}$

Két polinom azonos, akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók rendre egyenlők:

$0x+1\equiv(A+B)x+2A\,\quad\Rightarrow\quad\left\{\begin{matrix}A+B=0\\\\2A=1\end{matrix}\right.$

ahonnan: A=1/2, B=-1/.

Az egyenletrendszer megoldásán kívül van egy másik módszer is:

$1\equiv(A+B)x+2A$

-ben először tegyük x-be az egyik gyököt, az 0-t:

$1\equiv(A+B)\cdot 0+2A=2A$

innen A=1/2, majd a másik gyököt:

$1\equiv(A+B)(-2)+2A=\;\;\not{\!\!\!\!-2A}-2B+\not{\!\!2A}=-2B$

azaz B=-1/2.

Végül visszahelyettesítve a felbontott alakba:

$\int\frac{1}{x(x+2)}\,\mathrm{d}x=\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}\,\mathrm{d}x=\int\frac{\frac{1}{2}}{x}+\frac{-\frac{1}{2}}{x+2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x|-\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x+2|+C$

A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata

$\int\frac{2x-7}{(x-1)(x+1)^2}\,\mathrm{d}x=?$

$\frac{2x-7}{(x-1)(x+1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}=\frac{A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1)}{(x-1)(x+1)^2}$

Ekkor a gyökmódszerrel: x=-1-re: -2C=2(-1)-7=-9, azaz C=9/2. x=1-re 4A=-5, A=-5/4 és egy szabadon válaztott egyszerű: x=0-ra: A-B-C=-7, ahonnan B=A-C+7, azaz B=-5/4-18/4+28/4= 5/4

Az integrál:

$\int\frac{-5/4}{x-1}+\frac{5/4}{x+1}+\frac{9/2}{(x+1)^2}\,\mathrm{d}x=-\frac{5}{4}\mathrm{ln}\,|x-1|+\frac{5}{4}\mathrm{ln}\,|x+1|-\frac{9}{2}\frac{1}{x+1}+c$

A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata

$\int\frac{1}{x(x^2+1)}\,\mathrm{d}x=?$

Itt a keresendő alak: $\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+Bx^2+Cx}{x(x^2+1)}$ vegyes módszerrel: x=0: A=1 C=0, mert nincs a bal oldalon elsőfokú B=-A, mert másodfokú sincs.

$\int\frac{1}{x}+\frac{-x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\mathrm{ln}\,|x|-\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x^2+1|$

Matematika A1a 2008/12. gyakorlat

A lap 2008. december 10., 11:28-kori változata

Tartalomjegyzék

Integrálás parciális törtekre bontással

A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata

A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata

A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata

Nézetek

Személyes eszközök

Navigáció

Keresés

Eszközök

@@ 22. sor: / 22. sor: @@
 Végül visszahelyettesítve a felbontott alakba:
 :<math>\int\frac{1}{x(x+2)}\,\mathrm{d}x=\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}\,\mathrm{d}x=\int\frac{\frac{1}{2}}{x}+\frac{-\frac{1}{2}}{x+2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x|-\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x+2|+C</math>
+===A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata===
+:<math>\int\frac{2x-7}{(x-1)(x+1)^2}\,\mathrm{d}x=?</math>
+::<math>\frac{2x-7}{(x-1)(x+1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}=\frac{A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1)}{(x-1)(x+1)^2}</math>
+Ekkor a gyökmódszerrel:
+x=-1-re: -2C=2(-1)-7=-9, azaz C=9/2.
+x=1-re 4A=-5, A=-5/4
+és egy szabadon válaztott egyszerű: x=0-ra: A-B-C=-7, ahonnan B=A-C+7, azaz B=-5/4-18/4+28/4=  5/4
+Az integrál:
+:<math>\int\frac{-5/4}{x-1}+\frac{5/4}{x+1}+\frac{9/2}{(x+1)^2}\,\mathrm{d}x=-\frac{5}{4}\mathrm{ln}\,|x-1|+\frac{5}{4}\mathrm{ln}\,|x+1|-\frac{9}{2}\frac{1}{x+1}+c</math>
+===A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata===
+:<math>\int\frac{1}{x(x^2+1)}\,\mathrm{d}x=?</math>
+Itt a keresendő alak:
+<math>\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+Bx^2+Cx}{x(x^2+1)}</math>
+vegyes módszerrel:
+x=0: A=1
+C=0, mert nincs a bal oldalon elsőfokú
+B=-A, mert másodfokú sincs.
+:<math>\int\frac{1}{x}+\frac{-x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\mathrm{ln}\,|x|-\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x^2+1|</math>
 [[Kategória:Matematika A1]]