Matematika A1a 2008/12. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Integrálás parciális törtekre bontással) |
||
48. sor: | 48. sor: | ||
Ekkor a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni. | Ekkor a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni. | ||
+ | ==Impróprius integrál== | ||
+ | :''Lásd pl.:'' [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/41_Improprius_int_feladatsor.pdf elmélet és példák], [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/42_Improprius_integral_mo.pdf megoldások] De, ezek nagyon nehéz feladatok! | ||
+ | '''Definíció.''' Ha az ''f'': ''I'' \to '''R''' az ''I'' minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f ∈ R<sup>loc</sup>(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f impróprius integrálható I-n és integrálján az | ||
+ | :<math>\int\limits_{I}f=\lim\limits_{x\ŧo \mathrm{sup}(I)}F(x)-\lim\limits_{x\ŧo \mathrm{sup}(I)}F(x)\,</math> | ||
+ | számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye. | ||
+ | |||
+ | '''Példák.''' | ||
+ | '''1.''' | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^1\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | |||
+ | nem konvergens, mert F(x)=ln x és nem véges a lim<sub>0</sub>ln, de a | ||
+ | :<math>\int\limits_{01^{+\infty}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | sem konvergens, mert lim<sub>+∞</sub>ln nem véges. | ||
+ | |||
+ | '''2.''' | ||
+ | Ellenben | ||
+ | a | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^1\frac{1}{x^r}\,\mathrm{d}x\quad\quad(r<1)</math> | ||
+ | már létezik, mert | ||
+ | <math>F(x)=\frac{1}{-r+1}\frac{1}{x^{r-1}}=\frac{1}{-r+1}x^{1-r}</math> | ||
+ | ha x<math>\to</math> 0 esetén 0 -hoz tart, így pl. | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=...</math> | ||
+ | '''3.''' | ||
+ | Hasonlóképpen | ||
+ | :<math>\int\limits_{1}^{+\infty\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | szintén konvergens. | ||
+ | |||
+ | ==Az integrálszámítás alkalmazásai== | ||
+ | :''Lásd:'' [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/43_Integral_alkalmazasok.pdf itt] | ||
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap 2008. december 10., 11:04-kori változata
Tartalomjegyzék |
Integrálás parciális törtekre bontással
A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata
Két polinom azonos, akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók rendre egyenlők:
ahonnan: A=1/2, B=-1/.
Az egyenletrendszer megoldásán kívül van egy másik módszer is:
-ben először tegyük x-be az egyik gyököt, az 0-t:
innen A=1/2, majd a másik gyököt:
azaz B=-1/2.
Végül visszahelyettesítve a felbontott alakba:
A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata
Ekkor a gyökmódszerrel: x=-1-re: -2C=2(-1)-7=-9, azaz C=9/2. x=1-re 4A=-5, A=-5/4 és egy szabadon válaztott egyszerű: x=0-ra: A-B-C=-7, ahonnan B=A-C+7, azaz B=-5/4-18/4+28/4= 5/4
Az integrál:
A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata
Itt a keresendő alak: vegyes módszerrel: x=0: A=1 C=0, mert nincs a bal oldalon elsőfokú B=-A, mert másodfokú sincs.
Kijöhetett volna az is, hogy C ≠ 0 pl:
A nevező többszörös multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata
Ekkor a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni.
Impróprius integrál
- Lásd pl.: elmélet és példák, megoldások De, ezek nagyon nehéz feladatok!
Definíció. Ha az f: I \to R az I minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f ∈ Rloc(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f impróprius integrálható I-n és integrálján az
- Értelmezés sikertelen (ismeretlen függvény\o): \int\limits_{I}f=\lim\limits_{x\ŧo \mathrm{sup}(I)}F(x)-\lim\limits_{x\ŧo \mathrm{sup}(I)}F(x)\,
számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye.
Példák. 1.
nem konvergens, mert F(x)=ln x és nem véges a lim0ln, de a
- Értelmezés sikertelen (formai hiba): \int\limits_{01^{+\infty}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x
sem konvergens, mert lim+∞ln nem véges.
2. Ellenben a
már létezik, mert ha x 0 esetén 0 -hoz tart, így pl.
3. Hasonlóképpen
- Értelmezés sikertelen (formai hiba): \int\limits_{1}^{+\infty\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x
szintén konvergens.
Az integrálszámítás alkalmazásai
- Lásd: itt