Matematika A1a 2008/12. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Impróprius integrál) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Impróprius integrál) |
||
48. sor: | 48. sor: | ||
Ekkor a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni. | Ekkor a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni. | ||
− | == | + | ==Improprius integrál== |
:''Lásd pl.:'' [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/41_Improprius_int_feladatsor.pdf elmélet és példák], [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/42_Improprius_integral_mo.pdf megoldások] De, ezek nagyon nehéz feladatok! | :''Lásd pl.:'' [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/41_Improprius_int_feladatsor.pdf elmélet és példák], [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/42_Improprius_integral_mo.pdf megoldások] De, ezek nagyon nehéz feladatok! | ||
− | '''Definíció.''' Ha az ''f'': ''I'' \to '''R''' az ''I'' minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f ∈ R<sup>loc</sup>(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f | + | '''Definíció.''' Ha az ''f'': ''I'' \to '''R''' az ''I'' minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f ∈ R<sup>loc</sup>(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f '''improprius integrálható I-n''' és '''improprius integrálján''' az |
:<math>\int\limits_{I}f=\lim\limits_{x\to \mathrm{sup}(I)}F(x)-\lim\limits_{x\to \mathrm{inf}(I)}F(x)\,</math> | :<math>\int\limits_{I}f=\lim\limits_{x\to \mathrm{sup}(I)}F(x)-\lim\limits_{x\to \mathrm{inf}(I)}F(x)\,</math> | ||
számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye. | számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye. | ||
75. sor: | 75. sor: | ||
:<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x</math> | :<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x</math> | ||
szintén konvergens. | szintén konvergens. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' (Ekvikonvergencia kritérium) Ha az f,g: [a,+∞) <math>\to</math> '''R''' függvények lokálisan integrálhatók és létezik és pozitív a | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to +\infty}\frac{f(x)}{g(x)}</math> | ||
+ | határérték, akkor f és g improprius integráljai egyszerrek konvergensek, vagy divergensek. | ||
+ | |||
+ | '''Példák.''' | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\mathrm{arc\,tg}(x)}{x^2}</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^{1}\sin\frac{1}{\sqrt{x}}</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^{1}\sin^3\frac{1}{x}</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^{1}\mathrm{tg}(\frac{1}{x})</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\mathrm{th}\,(x)</math> | ||
==Az integrálszámítás alkalmazásai== | ==Az integrálszámítás alkalmazásai== |
A lap 2008. december 10., 12:17-kori változata
Tartalomjegyzék |
Integrálás parciális törtekre bontással
A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata
Két polinom azonos, akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók rendre egyenlők:
ahonnan: A=1/2, B=-1/.
Az egyenletrendszer megoldásán kívül van egy másik módszer is:
-ben először tegyük x-be az egyik gyököt, az 0-t:
innen A=1/2, majd a másik gyököt:
azaz B=-1/2.
Végül visszahelyettesítve a felbontott alakba:
A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata
Ekkor a gyökmódszerrel: x=-1-re: -2C=2(-1)-7=-9, azaz C=9/2. x=1-re 4A=-5, A=-5/4 és egy szabadon válaztott egyszerű: x=0-ra: A-B-C=-7, ahonnan B=A-C+7, azaz B=-5/4-18/4+28/4= 5/4
Az integrál:
A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata
Itt a keresendő alak: vegyes módszerrel: x=0: A=1 C=0, mert nincs a bal oldalon elsőfokú B=-A, mert másodfokú sincs.
Kijöhetett volna az is, hogy C ≠ 0 pl:
A nevező többszörös multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata
Ekkor a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni.
Improprius integrál
- Lásd pl.: elmélet és példák, megoldások De, ezek nagyon nehéz feladatok!
Definíció. Ha az f: I \to R az I minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f ∈ Rloc(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f improprius integrálható I-n és improprius integrálján az
számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye.
Példák. 1.
nem konvergens, mert F(x)=ln x és nem véges a lim0ln, de a
sem konvergens, mert lim+∞ln nem véges.
2. Ellenben a
már létezik, mert ha x 0 esetén 0 -hoz tart, így pl.
3. Hasonlóképpen
szintén konvergens.
Tétel. (Ekvikonvergencia kritérium) Ha az f,g: [a,+∞) R függvények lokálisan integrálhatók és létezik és pozitív a
határérték, akkor f és g improprius integráljai egyszerrek konvergensek, vagy divergensek.
Példák.
Az integrálszámítás alkalmazásai
- Lásd: itt