Matematika A1a 2008/12. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) ({) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Elemi példák) |
||
(egy szerkesztő 12 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
22. sor: | 22. sor: | ||
Végül visszahelyettesítve a felbontott alakba: | Végül visszahelyettesítve a felbontott alakba: | ||
:<math>\int\frac{1}{x(x+2)}\,\mathrm{d}x=\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}\,\mathrm{d}x=\int\frac{\frac{1}{2}}{x}+\frac{-\frac{1}{2}}{x+2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x|-\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x+2|+C</math> | :<math>\int\frac{1}{x(x+2)}\,\mathrm{d}x=\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}\,\mathrm{d}x=\int\frac{\frac{1}{2}}{x}+\frac{-\frac{1}{2}}{x+2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x|-\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x+2|+C</math> | ||
+ | |||
+ | ===A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata=== | ||
+ | :<math>\int\frac{2x-7}{(x-1)(x+1)^2}\,\mathrm{d}x=?</math> | ||
+ | ::<math>\frac{2x-7}{(x-1)(x+1)^2}=\frac{A}{x-1}+\frac{B}{x+1}+\frac{C}{(x+1)^2}=\frac{A(x+1)^2+B(x-1)(x+1)+C(x-1)}{(x-1)(x+1)^2}</math> | ||
+ | Ekkor a gyökmódszerrel: | ||
+ | x=-1-re: -2C=2(-1)-7=-9, azaz C=9/2. | ||
+ | x=1-re 4A=-5, A=-5/4 | ||
+ | és egy szabadon válaztott egyszerű: x=0-ra: A-B-C=-7, ahonnan B=A-C+7, azaz B=-5/4-18/4+28/4= 5/4 | ||
+ | |||
+ | Az integrál: | ||
+ | :<math>\int\frac{-5/4}{x-1}+\frac{5/4}{x+1}+\frac{9/2}{(x+1)^2}\,\mathrm{d}x=-\frac{5}{4}\mathrm{ln}\,|x-1|+\frac{5}{4}\mathrm{ln}\,|x+1|-\frac{9}{2}\frac{1}{x+1}+c</math> | ||
+ | |||
+ | ===A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata=== | ||
+ | :<math>\int\frac{1}{x(x^2+1)}\,\mathrm{d}x=?</math> | ||
+ | Itt a keresendő alak: | ||
+ | <math>\frac{1}{x(x^2+1)}=\frac{A}{x}+\frac{Bx+C}{x^2+1}=\frac{A(x^2+1)+Bx^2+Cx}{x(x^2+1)}</math> | ||
+ | vegyes módszerrel: | ||
+ | x=0: A=1 | ||
+ | C=0, mert nincs a bal oldalon elsőfokú | ||
+ | B=-A, mert másodfokú sincs. | ||
+ | :<math>\int\frac{1}{x}+\frac{-x}{x^2+1}\,\mathrm{d}x=\mathrm{ln}\,|x|-\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x^2+1|+C</math> | ||
+ | Kijöhetett volna az is, hogy C ≠ 0 pl: | ||
+ | :<math>\int\frac{1}{2x^2+7}\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{\frac{2}{7}x^2+1}\,\mathrm{d}x=\int\frac{1}{7}\cdot\frac{1}{\left(\sqrt{\frac{2}{7}}x\right)^2+1}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{7}\sqrt{\frac{7}{2}}\cdot\mathrm{arc\,tg}\, \left(\sqrt{\frac{2}{7}}x\right)+C</math> | ||
+ | ===A nevező többszörös multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata=== | ||
+ | Ekkor a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni. | ||
+ | |||
+ | ==Improprius integrál== | ||
+ | :''Lásd például:'' [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/41_Improprius_int_feladatsor.pdf elmélet és példák], [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/42_Improprius_integral_mo.pdf megoldások] De, ezek nagyon nehéz feladatok! | ||
+ | |||
+ | '''Definíció.''' Ha az ''f'': ''I'' \to '''R''' az ''I'' minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f ∈ R<sup>loc</sup>(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f '''improprius integrálható I-n''' és '''improprius integrálján''' az | ||
+ | :<math>\int\limits_{I}f=\lim\limits_{x\to \mathrm{sup}(I)}F(x)-\lim\limits_{x\to \mathrm{inf}(I)}F(x)\,</math> | ||
+ | számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye. | ||
+ | |||
+ | ===Elemi példák=== | ||
+ | '''1.''' | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^1\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{x\to 1}\mathrm{ln}x-\lim\limits_{x\to 0}\mathrm{ln}x=0-(-\infty)=+\infty</math> | ||
+ | |||
+ | azaz nem konvergens. | ||
+ | |||
+ | '''2.''' | ||
+ | Ellenben | ||
+ | a | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^1\frac{1}{x^r}\,\mathrm{d}x\quad\quad(r<1)</math> | ||
+ | már létezik, mert | ||
+ | <math>F(x)=\frac{1}{-r+1}\frac{1}{x^{r-1}}=\frac{1}{-r+1}x^{1-r}</math> | ||
+ | ha x<math>\to</math> 0 esetén 0 -hoz tart, így pl. | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^1\frac{1}{\sqrt{x}}\,\mathrm{d}x=...</math> | ||
+ | '''3.''' | ||
+ | Hasonlóképpen | ||
+ | :<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x</math> | ||
+ | szintén konvergens. | ||
+ | |||
+ | ===Összetettebb példák=== | ||
+ | |||
+ | '''1.''' | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^\infty\frac{\mathrm{arctg}^7\,x}{1+x^2}\,\mathrm{d}x=\lim\limits_{x\to \infty}\frac{1}{8}\mathrm{arctg}^8\,x-\lim\limits_{x\to 0}\frac{1}{8}\mathrm{arctg}^8\,x=\frac{\pi}{16}-0=0</math> | ||
+ | |||
+ | ===Ekvikonvergencia-kritérium=== | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' (Ekvikonvergencia-kritérium) Ha az f,g: I <math>\to</math> '''R''' függvények lokálisan integrálhatók, ''u'' az ''I'' akármelyik végpontja (akár végtelen is) és létezik és pozitív a | ||
+ | :<math>\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}</math> | ||
+ | határérték, akkor f és g improprius integráljai egyszerre konvergensek vagy egyszerre divergensek. | ||
+ | |||
+ | A fenti határértéket (tetszőleges u ∈ I'-re) még így is szokás jelölni: | ||
+ | |||
+ | :<math>f(x)\sim_ug(x)\quad\quad\Leftrightarrow_{\mathrm{def}}\quad\quad\lim\limits_{x\to u}\frac{f(x)}{g(x)}\in\mathbf{R}^+</math> | ||
+ | és azt mondják, hogy f az u körül úgy viselkedik, mint g. | ||
+ | |||
+ | '''Példák.''' | ||
+ | '''1.''' | ||
+ | :<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{\mathrm{arc\,tg}(x)}{x^2}</math> | ||
+ | Mivel az arc tg határértéke a végtelenben π/2, ezért sejthető, hogy a függvény improprius integrálhatóság szempontjából úgy viselkedik, mint az 1/x<sup>2</sup>. ezt a következőkkel igazoljuk: | ||
+ | |||
+ | :<math>\lim\limits_{+\infty}\frac{\frac{\mathrm{arc\,tg}\,(x)}{x^2}}{\frac{1}{x^2}}=\lim\limits_{+\infty}\mathrm{arc\,tg}\,(x)=\frac{\pi}{2}</math> | ||
+ | Tehát az integrál konvergens. | ||
+ | |||
+ | :<math>\int\limits_{1}^{ | ||
+ | +\infty}\sin\frac{1}{x^2}</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sin x^3}</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{1}^{\infty}\sin^3\frac{1}{x}</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\sqrt{\sin x}}</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{0}^{1}\frac{1}{\mathrm{tg}\,x}</math> | ||
+ | :<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\mathrm{th}\,(x)</math> | ||
+ | |||
+ | ==Az integrálszámítás alkalmazásai== | ||
+ | :''Lásd:'' [http://www.cs.elte.hu/~karolyik/Analizis_Gyakorlatok/43_Integral_alkalmazasok.pdf itt] | ||
+ | |||
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap jelenlegi, 2016. december 12., 22:53-kori változata
Tartalomjegyzék |
Integrálás parciális törtekre bontással
A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata
Két polinom azonos, akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók rendre egyenlők:
ahonnan: A=1/2, B=-1/.
Az egyenletrendszer megoldásán kívül van egy másik módszer is:
-ben először tegyük x-be az egyik gyököt, az 0-t:
innen A=1/2, majd a másik gyököt:
azaz B=-1/2.
Végül visszahelyettesítve a felbontott alakba:
A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata
Ekkor a gyökmódszerrel: x=-1-re: -2C=2(-1)-7=-9, azaz C=9/2. x=1-re 4A=-5, A=-5/4 és egy szabadon válaztott egyszerű: x=0-ra: A-B-C=-7, ahonnan B=A-C+7, azaz B=-5/4-18/4+28/4= 5/4
Az integrál:
A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata
Itt a keresendő alak: vegyes módszerrel: x=0: A=1 C=0, mert nincs a bal oldalon elsőfokú B=-A, mert másodfokú sincs.
Kijöhetett volna az is, hogy C ≠ 0 pl:
A nevező többszörös multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata
Ekkor a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni.
Improprius integrál
- Lásd például: elmélet és példák, megoldások De, ezek nagyon nehéz feladatok!
Definíció. Ha az f: I \to R az I minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f ∈ Rloc(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f improprius integrálható I-n és improprius integrálján az
számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye.
Elemi példák
1.
azaz nem konvergens.
2. Ellenben a
már létezik, mert ha x 0 esetén 0 -hoz tart, így pl.
3. Hasonlóképpen
szintén konvergens.
Összetettebb példák
1.
Ekvikonvergencia-kritérium
Tétel. (Ekvikonvergencia-kritérium) Ha az f,g: I R függvények lokálisan integrálhatók, u az I akármelyik végpontja (akár végtelen is) és létezik és pozitív a
határérték, akkor f és g improprius integráljai egyszerre konvergensek vagy egyszerre divergensek.
A fenti határértéket (tetszőleges u ∈ I'-re) még így is szokás jelölni:
és azt mondják, hogy f az u körül úgy viselkedik, mint g.
Példák. 1.
Mivel az arc tg határértéke a végtelenben π/2, ezért sejthető, hogy a függvény improprius integrálhatóság szempontjából úgy viselkedik, mint az 1/x2. ezt a következőkkel igazoljuk:
Tehát az integrál konvergens.
Az integrálszámítás alkalmazásai
- Lásd: itt