Matematika A1a 2008/12. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Impróprius integrál) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Impróprius integrál) |
||
60. sor: | 60. sor: | ||
nem konvergens, mert F(x)=ln x és nem véges a lim<sub>0</sub>ln, de a | nem konvergens, mert F(x)=ln x és nem véges a lim<sub>0</sub>ln, de a | ||
− | :<math>\int\limits_{ | + | :<math>\int\limits_{0}^{+\infty}\frac{1}{x}\,\mathrm{d}x</math> |
sem konvergens, mert lim<sub>+∞</sub>ln nem véges. | sem konvergens, mert lim<sub>+∞</sub>ln nem véges. | ||
73. sor: | 73. sor: | ||
'''3.''' | '''3.''' | ||
Hasonlóképpen | Hasonlóképpen | ||
− | :<math>\int\limits_{1}^{+\infty\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x</math> | + | :<math>\int\limits_{1}^{+\infty}\frac{1}{x^2}\,\mathrm{d}x</math> |
szintén konvergens. | szintén konvergens. | ||
A lap 2008. december 10., 12:05-kori változata
Tartalomjegyzék |
Integrálás parciális törtekre bontással
A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata
Két polinom azonos, akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók rendre egyenlők:
ahonnan: A=1/2, B=-1/.
Az egyenletrendszer megoldásán kívül van egy másik módszer is:
-ben először tegyük x-be az egyik gyököt, az 0-t:
innen A=1/2, majd a másik gyököt:
azaz B=-1/2.
Végül visszahelyettesítve a felbontott alakba:
A nevező többszörös gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata
Ekkor a gyökmódszerrel: x=-1-re: -2C=2(-1)-7=-9, azaz C=9/2. x=1-re 4A=-5, A=-5/4 és egy szabadon válaztott egyszerű: x=0-ra: A-B-C=-7, ahonnan B=A-C+7, azaz B=-5/4-18/4+28/4= 5/4
Az integrál:
A nevező egyszeres multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata
Itt a keresendő alak: vegyes módszerrel: x=0: A=1 C=0, mert nincs a bal oldalon elsőfokú B=-A, mert másodfokú sincs.
Kijöhetett volna az is, hogy C ≠ 0 pl:
A nevező többszörös multiplicitású irreducibilis tényezők szorzata
Ekkor a parciális integrálásnál tanult rekurzív eljárással lehet a másodfokúak hatványait kiintegrálni.
Impróprius integrál
- Lásd pl.: elmélet és példák, megoldások De, ezek nagyon nehéz feladatok!
Definíció. Ha az f: I \to R az I minden korlátos és zárt részintervallumán integráljató (jelben: f ∈ Rloc(I) ), és az integrálfüggvényeinek létezik és véges a határértéke az I végpontjaiban, akkor azt mondjuk, hogy f impróprius integrálható I-n és integrálján az
számot értjük, ahol F az f egy tetszőleges integrálfüggvénye.
Példák. 1.
nem konvergens, mert F(x)=ln x és nem véges a lim0ln, de a
sem konvergens, mert lim+∞ln nem véges.
2. Ellenben a
már létezik, mert ha x 0 esetén 0 -hoz tart, így pl.
3. Hasonlóképpen
szintén konvergens.
Az integrálszámítás alkalmazásai
- Lásd: itt