Matematika A1a 2008/12. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2008. december 10., 10:10-kor történt szerkesztése után volt.
(eltér) ←Régebbi változat | Aktuális változat (eltér) | Újabb változat→ (eltér)

<Matematika A1a 2008

Integrálás parciális törtekre bontással

A nevező egyszeres gyökökkel rendelkező elsőfokúak szorzata

\int\frac{1}{x(x+2)}\,\mathrm{d}x=?
\frac{1}{x(x+2)}=\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}=\frac{A(x+2)+Bx}{x(x+2)}=\frac{x(A+B)+2A}{x(x+2)}

Két polinom azonos, akkor és csak akkor, ha a megfelelő együtthatók rendre egyenlők:

0x+1\equiv(A+B)x+2A\,\quad\Rightarrow\quad\left\{\begin{matrix}A+B=0\\\\2A=1\end{matrix}\right.

ahonnan: A=1/2, B=-1/.

Az egyenletrendszer megoldásán kívül van egy másik módszer is:

1\equiv(A+B)x+2A

-ben először tegyük x-be az egyik gyököt, az 0-t:

1\equiv(A+B)\cdot 0+2A=2A

innen A=1/2, majd a másik gyököt:

1\equiv(A+B)(-2)+2A=\;\;\not{\!\!\!\!-2A}-2B+\not{\!\!2A}=-2B

azaz B=-1/2.

Végül visszahelyettesítve a felbontott alakba:

\int\frac{1}{x(x+2)}\,\mathrm{d}x=\int\frac{A}{x}+\frac{B}{x+2}\,\mathrm{d}x=\int\frac{\frac{1}{2}}{x}+\frac{-\frac{1}{2}}{x+2}\,\mathrm{d}x=\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x|-\frac{1}{2}\mathrm{ln}\,|x+2|+C
Személyes eszközök