Matematika A1a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Vektorműveletek) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Vektorműveletek) |
||
3. sor: | 3. sor: | ||
A vektoralgebra felépítésére vonatkozóan lásd: ([http://www.math.bme.hu/~mozow/vektoralgebra.pdf pdf]) | A vektoralgebra felépítésére vonatkozóan lásd: ([http://www.math.bme.hu/~mozow/vektoralgebra.pdf pdf]) | ||
+ | |||
+ | ==Vektorok== | ||
+ | Irányított egyenes szakaszok között definiálunk egy "azonosság" relációt, lényegben azza, hogy az egyenlő nagyságú, egymással párhuzamos, azonos irányú egyenes szakaszokat azonosnak vesszük. Egymással azonosok egy halmazát nevezzük vektornak, elemeit a vektor egy reprezentánsának. Jelben: ha '''a''' vektor, akkor | ||
+ | :<math>\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}</math> | ||
+ | jelöli, hogy <math>\overrightarrow{AB}\in \mathbf{a}</math>. | ||
+ | |||
+ | Az '''a''' vektor ''hossza'' | ||
+ | :|'''a'''| | ||
+ | nem más, mint mely bármely reprezentánsának hossza. | ||
+ | |||
+ | ''Nullvektor'' az aminek a hossza 0. | ||
+ | |||
+ | Két vektor ''párhuzamos'': | ||
+ | :'''a''' || '''b''' | ||
+ | ha van egy-egy reprezentánsuk, melyek egyenese párhuzamos. '''0''' || '''a''' minden '''a''' vektorra definíció szerint. | ||
+ | |||
+ | Két párhuzamos vektor ''azonos állású'' vagy ''irányítású'' | ||
+ | :<math>\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{b}</math> | ||
+ | ha a reprezentánsaik azonos irányításúak; a '''0''' mindennek azonos irányú. Ellenkező esetben: | ||
+ | :<math>\mathbf{a}\uparrow\downarrow\mathbf{b}</math> | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' '''a''' = '''b''', akkor és csak akkor, ha | ||
+ | # |'''a'''| = |'''b'''| és | ||
+ | # '''a''' || '''b''' és | ||
+ | # <math>\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{b}</math> | ||
==Vektorműveletek== | ==Vektorműveletek== | ||
+ | ===Összeadás, számmal való szorzás=== | ||
+ | '''Összeadás.''' Legyen '''a''' és '''b''' két vektor és <math>\overrightarrow{PA}</math>, <math>\overrightarrow{PB}</math> rendre a két vektor azonos kezdőpontból felmért reprezentánsa, legyen továbbá PACB paralelogramma (P-vel szemközt: C). Ekkor '''a''' + '''b''' vektor definíció szerint az a '''c''' vektor, melyet <math>\overrightarrow{PC}</math> reprezentál. | ||
+ | |||
+ | '''Számmal való szorzás.''' Legyen '''a''' vektor, λ valós szám. Ekkor | ||
+ | :<math>|\lambda.\mathbf{a}|=|\lambda|\cdot |\mathbf{a}|</math>, | ||
+ | :<math>\lambda.\mathbf{a}\;||\;\mathbf{a}</math>, | ||
+ | :<math>\lambda.\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{a}</math>, ha λ > 0 és <math>\lambda.\mathbf{a}\uparrow\downarrow\mathbf{a}</math>, ha λ < 0 | ||
+ | |||
− | '''1. Feladat.''' ABCDEF egy szabályos hatszög. Fejezzük ki az '''a''' = <math>\overrightarrow{AB}</math> és '''b''' = <math>\overrightarrow{AF}</math> vektorok | + | '''1. Feladat.''' ABCDEF egy szabályos hatszög. Fejezzük ki az '''a''' = <math>\overrightarrow{AB}</math> és '''b''' = <math>\overrightarrow{AF}</math> vektorok összegével/számszorosával a |
:<math>\overrightarrow{ED}</math> | :<math>\overrightarrow{ED}</math> | ||
:<math>\overrightarrow{DE}</math> | :<math>\overrightarrow{DE}</math> | ||
12. sor: | 45. sor: | ||
:<math>\overrightarrow{BE}</math> | :<math>\overrightarrow{BE}</math> | ||
vektorokat! | vektorokat! | ||
+ | |||
+ | ''Lineáris kombináció''nak nevezzük a | ||
+ | :<math>\lambda_1.\mathbf{a}_1+\lambda_2.\mathbf{a}_2+...+\lambda_n.\mathbf{a}_n</math> | ||
+ | alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az '''a'''-k vektorok. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' | ||
+ | # Ha '''b'''<sub>1</sub> és '''b'''<sub>2</sub> két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként. | ||
+ | # Ha '''b'''<sub>1</sub>, '''b'''<sub>2</sub> és '''b'''<sub>3</sub> három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | |||
+ | ===Skaláris szorzás=== | ||
+ | ===Vektoriális szorzás=== | ||
+ | |||
'''2. Feladat.''' Legyen ABCD egy téglalap, melynek AB oldala 5 egység, AD oldala 4 egység. Legyen '''a''' az <math>\overrightarrow{AB}</math> irányú egységvektor, és '''b''' az <math>\overrightarrow{AD}</math> irányú egységvektor. Legyen továbbá E az AD felezéspontja, G az AB B-hez közelebbi ötödölőpontja és az egyel beljebbi az F. Igazolja, hogy GE merőleges FC-re! | '''2. Feladat.''' Legyen ABCD egy téglalap, melynek AB oldala 5 egység, AD oldala 4 egység. Legyen '''a''' az <math>\overrightarrow{AB}</math> irányú egységvektor, és '''b''' az <math>\overrightarrow{AD}</math> irányú egységvektor. Legyen továbbá E az AD felezéspontja, G az AB B-hez közelebbi ötödölőpontja és az egyel beljebbi az F. Igazolja, hogy GE merőleges FC-re! | ||
23. sor: | 72. sor: | ||
\end{matrix}\right\}\quad\quad | \end{matrix}\right\}\quad\quad | ||
\Rightarrow\quad\quad \mathbf{a}-\mathbf{c}\;||\;\mathbf{b}-\mathbf{c}</math> | \Rightarrow\quad\quad \mathbf{a}-\mathbf{c}\;||\;\mathbf{b}-\mathbf{c}</math> | ||
+ | |||
==Koordináta reprezentációk== | ==Koordináta reprezentációk== |
A lap 2008. szeptember 14., 11:25-kori változata
A vektoralgebra felépítésére vonatkozóan lásd: (pdf)
Tartalomjegyzék |
Vektorok
Irányított egyenes szakaszok között definiálunk egy "azonosság" relációt, lényegben azza, hogy az egyenlő nagyságú, egymással párhuzamos, azonos irányú egyenes szakaszokat azonosnak vesszük. Egymással azonosok egy halmazát nevezzük vektornak, elemeit a vektor egy reprezentánsának. Jelben: ha a vektor, akkor
jelöli, hogy .
Az a vektor hossza
- |a|
nem más, mint mely bármely reprezentánsának hossza.
Nullvektor az aminek a hossza 0.
Két vektor párhuzamos:
- a || b
ha van egy-egy reprezentánsuk, melyek egyenese párhuzamos. 0 || a minden a vektorra definíció szerint.
Két párhuzamos vektor azonos állású vagy irányítású
ha a reprezentánsaik azonos irányításúak; a 0 mindennek azonos irányú. Ellenkező esetben:
Tétel. a = b, akkor és csak akkor, ha
- |a| = |b| és
- a || b és
Vektorműveletek
Összeadás, számmal való szorzás
Összeadás. Legyen a és b két vektor és , rendre a két vektor azonos kezdőpontból felmért reprezentánsa, legyen továbbá PACB paralelogramma (P-vel szemközt: C). Ekkor a + b vektor definíció szerint az a c vektor, melyet reprezentál.
Számmal való szorzás. Legyen a vektor, λ valós szám. Ekkor
- ,
- ,
- , ha λ > 0 és , ha λ < 0
1. Feladat. ABCDEF egy szabályos hatszög. Fejezzük ki az a = és b = vektorok összegével/számszorosával a
vektorokat!
Lineáris kombinációnak nevezzük a
alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az a-k vektorok.
Tétel.
- Ha b1 és b2 két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként.
- Ha b1, b2 és b3 három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként.
Skaláris szorzás
Vektoriális szorzás
2. Feladat. Legyen ABCD egy téglalap, melynek AB oldala 5 egység, AD oldala 4 egység. Legyen a az irányú egységvektor, és b az irányú egységvektor. Legyen továbbá E az AD felezéspontja, G az AB B-hez közelebbi ötödölőpontja és az egyel beljebbi az F. Igazolja, hogy GE merőleges FC-re!
3. Feladat. Legyen ABC háromszög, S a súlypontja, F az AB felezéspontja. Határozzuk meg, hogy az ABC háromszög területének hanyadrésze az AFS háromszog területe.
4. Feladat. Igazoljuk, hogy