Matematika A1a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Koordináta reprezentációk) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Koordináta reprezentációk) |
||
109. sor: | 109. sor: | ||
:<math>[\mathbf{v}]_B=\begin{bmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3 | :<math>[\mathbf{v}]_B=\begin{bmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3 | ||
\end{bmatrix}</math> | \end{bmatrix}</math> | ||
+ | |||
+ | A vektorműveletek a koordinátareprezentációban a következők lesznek. | ||
<math>[\mathbf{a}+\mathbf{b}]=\left[ | <math>[\mathbf{a}+\mathbf{b}]=\left[ | ||
147. sor: | 149. sor: | ||
\right]</math> | \right]</math> | ||
+ | |||
+ | Külön fontos a vektoriális szorzat esetén megemlíteni a | ||
+ | :<math>\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\ | ||
+ | |||
+ | a_1& a_2 & a_3\\ | ||
+ | |||
+ | b_1&b_1&b_3\end{matrix}\right|=\mathbf{a}\times\mathbf{b}</math> | ||
+ | determnánssal történő kiszámolási módot és a skaláris szorzást, mint mátrixszorzást: | ||
==Házi feladatok== | ==Házi feladatok== |
A lap 2008. szeptember 14., 15:33-kori változata
A vektoralgebra felépítésére vonatkozóan lásd: (pdf)
Tartalomjegyzék |
Vektorok
Irányított egyenes szakaszok között definiálunk egy "azonosság" relációt, lényegben azza, hogy az egyenlő nagyságú, egymással párhuzamos, azonos irányú egyenes szakaszokat azonosnak vesszük. Egymással azonosok egy halmazát nevezzük vektornak, elemeit a vektor egy reprezentánsának. Jelben: ha a vektor, akkor
jelöli, hogy .
Az a vektor hossza
- |a|
nem más, mint mely bármely reprezentánsának hossza.
Nullvektor az aminek a hossza 0.
Két vektor párhuzamos:
- a || b
ha van egy-egy reprezentánsuk, melyek egyenese párhuzamos. 0 || a minden a vektorra definíció szerint.
Két párhuzamos vektor azonos állású vagy irányítású
ha a reprezentánsaik azonos irányításúak; a 0 mindennek azonos irányú. Ellenkező esetben:
Tétel. a = b, akkor és csak akkor, ha
- |a| = |b| és
- a || b és
Vektorműveletek
Összeadás, számmal való szorzás
Összeadás. Legyen a és b két vektor és , rendre a két vektor azonos kezdőpontból felmért reprezentánsa, legyen továbbá PACB paralelogramma (P-vel szemközt: C). Ekkor a + b vektor definíció szerint az a c vektor, melyet reprezentál.
Kivonás: a - b =def a + (-b)
Az a ellentett vektora az a -a vektor, melyre |-a| = |a|, .
(Mindenben olyan tulajdonságú, mint a valós számok összeadása: kommutatív, asszociatív, 0 -t bármihez adva, amaz nem változik, ellentettjét a vektorhoz adva 0-t kapunk.)
Számmal való szorzás. Legyen a vektor, λ valós szám. Ekkor
- ,
- ,
- , ha λ > 0 és , ha λ < 0
(Széttagolja a valós és a vektorösszeget, felcserélhető a valós szorzással, az 1-gyel való szorzás azonos az identitással.)
1. Feladat. ABCDEF egy szabályos hatszög. Fejezzük ki az a = és b = vektorok összegével/számszorosával a
vektorokat!
Skaláris szorzás
Az a és b vektorok skaláris szorzata az
szám.
(Széttagolja az összeget, felcserélhető a számmal való szorzással (mindkét változójában)).
e egységvektor, ha |e| = 1.
Geometriai tulajdonsága.
- Ha e egységvektor, akkor ve a v-nek az e egyenesére eső merőleges vetületének előjeles hossza.
- a, b nem nullvektorok, akkor
2. Feladat. Legyen ABCD egy téglalap, melynek AB oldala 5 egység, AD oldala 4 egység. Legyen a az irányú egységvektor, és b az irányú egységvektor. Legyen továbbá E az AD felezéspontja, G az AB B-hez közelebbi ötödölőpontja és az egyel beljebbi az F. Igazolja, hogy GE merőleges FC-re!
Vektoriális szorzás
Az a és b térvektorok vektoriális szorzata az a c = a × b vektor, melyre
- merőleges az a és b által kifeszített síkra,
- irányítása olyan, hogy (a, b, a × b) ilyen sorrendben jobbrendszert alkot, azaz a jobb kéz hüvelyk, mutató és középső ujját kifeszíthetjük "fájdalommentesen" úgy, hogy rendre a a, b, a × b vektorok irányát kapjuk.
Széttagolja az összeget, felcserélhető a számmal való szorzással, de nem asszociatív és nem kommutatív, bár antikommutatív, azaz a szorzat ellenkezőjébe megy át a két tényező felcserélésével kapott szorzat.
Geometriai tulajdonsága.
- |a × b| az a és b által kifeszített paralelogramma területe.
3. Feladat. Legyen ABC háromszög, S a súlypontja, F az AB felezéspontja. Határozzuk meg, hogy az ABC háromszög területének hanyadrésze az AFS háromszog területe.
4. Feladat. Igazoljuk, hogy
Koordináta reprezentációk
Lineáris kombinációnak nevezzük a
alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az a-k vektorok.
Tétel.
- Ha b1 és b2 két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
- Ha b1, b2 és b3 három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát bázisnak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ortonormált bázist alkotnak. A jobbsodrású (v.ö.: jobbcsvarszabály) ortonormált bázis a térben az (i, j, k).
Egy v térvektornak B = (b1, b2, b3) bázisra vonatkozó koordinátareprezentációja az az oszlopmátrix, melynek elemei rendre az előző tételbeli egyértelműen létező λ-k:
A vektorműveletek a koordinátareprezentációban a következők lesznek.
Külön fontos a vektoriális szorzat esetén megemlíteni a
determnánssal történő kiszámolási módot és a skaláris szorzást, mint mátrixszorzást:
Házi feladatok
- Igazolja, hogy az paralelogramma átlóinak felezőpontjai egybeesnek!
- Igaz-e:
- ha ab = 0, akkor a és b közül legalább az egyik nulla.
- ha ab = ac, és a ≠ 0, akkor b = c
- ha ab = ac, akkor vagy b - c || a, vagy b - c a
- Igaz-e:
- ha a×b = 0, akkor a és b közül legalább az egyik nulla.
- ha a×b = a×c, és a ≠ 0, akkor b = c
- ha a + b + c = 0, akkor a×b = b×c = c×a
-
- Igazolja a Thalész-tételt (azaz, hogy ha egy szakasz fölé, mint átmérő fölé kört rajzolunk, akkor a kör bármely (szakaszon kívüli) pontjából a szakasz két végpontja derékszög alatt látszik)!
- Igazolja a koszinusztételt, azaz hogy az a,b,c oldalú háromszögben (γ a c-hez tartozó szög)