Matematika A1a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Összeadás, számmal való szorzás) |
||
(egy szerkesztő 21 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
1. sor: | 1. sor: | ||
− | [[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]] | + | <sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub> |
+ | A vektoralgebra felépítésére vonatkozóan lásd: ([http://members.chello.hu/molnar.zoltan13/Main/vektoralgebra.pdf pdf]) | ||
− | + | ==Vektorok== | |
+ | Irányított egyenes szakaszok között definiálunk egy "azonosság" relációt, lényegben azzal, hogy az egyenlő nagyságú, egymással párhuzamos, azonos irányú egyenes szakaszokat azonosnak vesszük. Egymással azonosok egy halmazát nevezzük vektornak, elemeit a vektor egy reprezentánsának. Jelben: ha '''a''' vektor, akkor | ||
+ | :<math>\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}</math> | ||
+ | jelöli, hogy <math>\overrightarrow{AB}\in \mathbf{a}</math>. | ||
+ | |||
+ | Az '''a''' vektor ''hossza'' | ||
+ | :|'''a'''| | ||
+ | nem más, mint mely bármely reprezentánsának hossza. | ||
+ | |||
+ | ''Nullvektor'' az aminek a hossza 0. | ||
+ | |||
+ | Két vektor ''párhuzamos'': | ||
+ | :'''a''' || '''b''' | ||
+ | ha van egy-egy reprezentánsuk, melyek egyenese párhuzamos. '''0''' || '''a''' minden '''a''' vektorra definíció szerint. | ||
+ | |||
+ | Két párhuzamos vektor ''azonos állású'' vagy ''irányítású'' | ||
+ | :<math>\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{b}</math> | ||
+ | ha a reprezentánsaik azonos irányításúak; a '''0''' mindennek azonos irányú. Ellenkező esetben: | ||
+ | :<math>\mathbf{a}\uparrow\downarrow\mathbf{b}</math> | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' '''a''' = '''b''', akkor és csak akkor, ha | ||
+ | # |'''a'''| = |'''b'''| és | ||
+ | # '''a''' || '''b''' és | ||
+ | # <math>\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{b}</math> | ||
==Vektorműveletek== | ==Vektorműveletek== | ||
+ | ===Összeadás, számmal való szorzás=== | ||
+ | '''Összeadás.''' Legyen '''a''' és '''b''' két vektor és <math>\overrightarrow{PA}</math>, <math>\overrightarrow{PB}</math> rendre a két vektor azonos kezdőpontból felmért reprezentánsa, legyen továbbá PACB paralelogramma (P-vel szemközt: C). Ekkor '''a''' + '''b''' vektor definíció szerint az a '''c''' vektor, melyet <math>\overrightarrow{PC}</math> reprezentál. | ||
− | '''1. Feladat.''' ABCDEF egy szabályos hatszög. Fejezzük ki az '''a''' = <math>\overrightarrow{AB}</math> és '''b''' = <math>\overrightarrow{AF}</math> vektorok | + | Kivonás: '''a''' - '''b''' =<sub>def</sub> '''a''' + (-'''b''') |
+ | |||
+ | Az '''a''' ''ellentett vektora'' az a -'''a''' vektor, melyre |-'''a'''| = |'''a'''|, <math>\mathbf{a}\uparrow\downarrow(-\mathbf{a})</math>. | ||
+ | |||
+ | (Olyan tulajdonságú, mint a valós számok összeadása: kommutatív, asszociatív, '''0''' -t bármihez adva, amaz nem változik, ellentettjét a vektorhoz adva '''0'''-t kapunk.) | ||
+ | |||
+ | '''Számmal való szorzás.''' Legyen '''a''' vektor, λ valós szám. Ekkor | ||
+ | :<math>|\lambda.\mathbf{a}|=|\lambda|\cdot |\mathbf{a}|</math>, | ||
+ | :<math>\lambda.\mathbf{a}\;||\;\mathbf{a}</math>, | ||
+ | :<math>\lambda.\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{a}</math>, ha λ > 0 és <math>\lambda.\mathbf{a}\uparrow\downarrow\mathbf{a}</math>, ha λ < 0 | ||
+ | |||
+ | (Széttagolja a valós és a vektorösszeget, felcserélhető a valós szorzással, az 1-gyel való szorzás azonos az identitással.) | ||
+ | |||
+ | '''1. Feladat.''' ABCDEF egy szabályos hatszög. Fejezzük ki az '''a''' = <math>\overrightarrow{AB}</math> és '''b''' = <math>\overrightarrow{AF}</math> vektorok összegével/számszorosával a | ||
:<math>\overrightarrow{ED}</math> | :<math>\overrightarrow{ED}</math> | ||
:<math>\overrightarrow{DE}</math> | :<math>\overrightarrow{DE}</math> | ||
12. sor: | 51. sor: | ||
:<math>\overrightarrow{BE}</math> | :<math>\overrightarrow{BE}</math> | ||
vektorokat! | vektorokat! | ||
+ | |||
+ | ===Skaláris szorzás=== | ||
+ | Az '''a''' és '''b''' vektorok ''skaláris szorzata'' az | ||
+ | :<math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=_{\mathrm{def}}|\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}|\cdot\cos(\mathbf{a},\mathbf{b})_{\angle}</math> | ||
+ | szám. | ||
+ | |||
+ | (Széttagolja az összeget, felcserélhető a számmal való szorzással (mindkét változójában)). | ||
+ | |||
+ | '''e''' egységvektor, ha |'''e'''| = 1. | ||
+ | |||
+ | '''Geometriai tulajdonsága.''' | ||
+ | # Ha '''e''' egységvektor, akkor '''v'''<math>\cdot</math>'''e''' a '''v'''-nek az '''e''' egyenesére eső merőleges vetületének előjeles hossza. | ||
+ | # '''a''', '''b''' nem nullvektorok, akkor | ||
+ | #: <math>\mathbf{a}\;\bot\;\mathbf{b}\quad\quad\Leftrightarrow\quad\quad \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0</math> | ||
'''2. Feladat.''' Legyen ABCD egy téglalap, melynek AB oldala 5 egység, AD oldala 4 egység. Legyen '''a''' az <math>\overrightarrow{AB}</math> irányú egységvektor, és '''b''' az <math>\overrightarrow{AD}</math> irányú egységvektor. Legyen továbbá E az AD felezéspontja, G az AB B-hez közelebbi ötödölőpontja és az egyel beljebbi az F. Igazolja, hogy GE merőleges FC-re! | '''2. Feladat.''' Legyen ABCD egy téglalap, melynek AB oldala 5 egység, AD oldala 4 egység. Legyen '''a''' az <math>\overrightarrow{AB}</math> irányú egységvektor, és '''b''' az <math>\overrightarrow{AD}</math> irányú egységvektor. Legyen továbbá E az AD felezéspontja, G az AB B-hez közelebbi ötödölőpontja és az egyel beljebbi az F. Igazolja, hogy GE merőleges FC-re! | ||
− | '''3. Feladat.''' Legyen ABC háromszög, S a súlypontja. Igazoljuk, hogy az | + | ===Vektoriális szorzás=== |
+ | Az '''a''' és '''b''' térvektorok ''vektoriális szorzata'' az a '''c''' = '''a''' × '''b''' vektor, melyre | ||
+ | # <math>|\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=_{\mathrm{def}}|\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}|\cdot\sin(\mathbf{a},\mathbf{b})_{\angle}</math> | ||
+ | # merőleges az '''a''' és '''b''' által kifeszített síkra, | ||
+ | # irányítása olyan, hogy ('''a''', '''b''', '''a''' × '''b''') ilyen sorrendben ''jobbrendszert'' alkot, azaz a jobb kéz hüvelyk, mutató és középső ujját kifeszíthetjük "fájdalommentesen" úgy, hogy rendre a '''a''', '''b''', '''a''' × '''b''' vektorok irányát kapjuk. | ||
+ | |||
+ | Széttagolja az összeget, felcserélhető a számmal való szorzással, de nem asszociatív és nem kommutatív, bár antikommutatív, azaz a szorzat ellenkezőjébe megy át a két tényező felcserélésével kapott szorzat. | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''Geometriai tulajdonsága.''' | ||
+ | # |'''a''' × '''b'''| az '''a''' és '''b''' által kifeszített paralelogramma területe. | ||
+ | # <math>\mathbf{a}\;||\;\mathbf{b}\quad\quad\Leftrightarrow\quad\quad \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}</math> | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''3. Feladat.''' Legyen ABC háromszög, S a súlypontja, F az AB felezéspontja. Határozzuk meg, hogy az ABC háromszög területének hanyadrésze az AFS háromszog területe. | ||
+ | |||
+ | vagy | ||
+ | |||
+ | Igazoljuk, hogy az egyenlőszárú háromszög magassága felezi az alapot! | ||
+ | |||
+ | '''4. Feladat.''' Igazoljuk, hogy | ||
+ | :<math>\left.\begin{matrix} | ||
+ | \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{c}\times\mathbf{d}\\ | ||
+ | \mathbf{a}\times\mathbf{c}=\mathbf{b}\times\mathbf{d} | ||
+ | \end{matrix}\right\}\quad\quad | ||
+ | \Rightarrow\quad\quad \mathbf{a}-\mathbf{d}\;||\;\mathbf{b}-\mathbf{c}</math> | ||
+ | |||
+ | ==Házi feladatok== | ||
+ | # Igazolja, hogy az paralelogramma átlóinak felezőpontjai egybeesnek! | ||
+ | # Igaz-e: | ||
+ | ## ha '''ab''' = 0, akkor '''a''' és '''b''' közül legalább az egyik nulla. | ||
+ | ## ha '''ab''' = '''ac''', és '''a''' ≠ '''0''', akkor '''b''' = '''c''' | ||
+ | ## ha '''ab''' = '''ac''', akkor vagy '''b''' - '''c''' || '''a''', vagy '''b''' - '''c''' <math>\bot</math> '''a''' | ||
+ | # Igaz-e: | ||
+ | ## ha '''a'''×'''b''' = '''0''', akkor '''a''' és '''b''' közül legalább az egyik nulla. | ||
+ | ## ha '''a'''×'''b''' = '''a'''×'''c''', és '''a''' ≠ '''0''', akkor '''b''' = '''c''' | ||
+ | ## ha '''a''' + '''b''' + '''c''' = '''0''', akkor '''a'''×'''b''' = '''b'''×'''c''' = '''c'''×'''a''' | ||
+ | # | ||
+ | ## Igazolja a Thalész-tételt (azaz, hogy ha egy szakasz fölé, mint átmérő fölé kört rajzolunk, akkor a kör bármely (szakaszon kívüli) pontjából a szakasz két végpontja derékszög alatt látszik)! | ||
+ | ## Igazolja a koszinusztételt, azaz hogy az ''a'',''b'',''c'' oldalú háromszögben (γ a ''c''-hez tartozó szög) | ||
+ | ##:<math>c^2=a^2 + b^2 -2ab\cos\gamma\,</math> | ||
+ | |||
+ | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap jelenlegi, 2014. február 17., 22:14-kori változata
A vektoralgebra felépítésére vonatkozóan lásd: (pdf)
Tartalomjegyzék |
Vektorok
Irányított egyenes szakaszok között definiálunk egy "azonosság" relációt, lényegben azzal, hogy az egyenlő nagyságú, egymással párhuzamos, azonos irányú egyenes szakaszokat azonosnak vesszük. Egymással azonosok egy halmazát nevezzük vektornak, elemeit a vektor egy reprezentánsának. Jelben: ha a vektor, akkor
jelöli, hogy .
Az a vektor hossza
- |a|
nem más, mint mely bármely reprezentánsának hossza.
Nullvektor az aminek a hossza 0.
Két vektor párhuzamos:
- a || b
ha van egy-egy reprezentánsuk, melyek egyenese párhuzamos. 0 || a minden a vektorra definíció szerint.
Két párhuzamos vektor azonos állású vagy irányítású
ha a reprezentánsaik azonos irányításúak; a 0 mindennek azonos irányú. Ellenkező esetben:
Tétel. a = b, akkor és csak akkor, ha
- |a| = |b| és
- a || b és
Vektorműveletek
Összeadás, számmal való szorzás
Összeadás. Legyen a és b két vektor és , rendre a két vektor azonos kezdőpontból felmért reprezentánsa, legyen továbbá PACB paralelogramma (P-vel szemközt: C). Ekkor a + b vektor definíció szerint az a c vektor, melyet reprezentál.
Kivonás: a - b =def a + (-b)
Az a ellentett vektora az a -a vektor, melyre |-a| = |a|, .
(Olyan tulajdonságú, mint a valós számok összeadása: kommutatív, asszociatív, 0 -t bármihez adva, amaz nem változik, ellentettjét a vektorhoz adva 0-t kapunk.)
Számmal való szorzás. Legyen a vektor, λ valós szám. Ekkor
- ,
- ,
- , ha λ > 0 és , ha λ < 0
(Széttagolja a valós és a vektorösszeget, felcserélhető a valós szorzással, az 1-gyel való szorzás azonos az identitással.)
1. Feladat. ABCDEF egy szabályos hatszög. Fejezzük ki az a = és b = vektorok összegével/számszorosával a
vektorokat!
Skaláris szorzás
Az a és b vektorok skaláris szorzata az
szám.
(Széttagolja az összeget, felcserélhető a számmal való szorzással (mindkét változójában)).
e egységvektor, ha |e| = 1.
Geometriai tulajdonsága.
- Ha e egységvektor, akkor ve a v-nek az e egyenesére eső merőleges vetületének előjeles hossza.
- a, b nem nullvektorok, akkor
2. Feladat. Legyen ABCD egy téglalap, melynek AB oldala 5 egység, AD oldala 4 egység. Legyen a az irányú egységvektor, és b az irányú egységvektor. Legyen továbbá E az AD felezéspontja, G az AB B-hez közelebbi ötödölőpontja és az egyel beljebbi az F. Igazolja, hogy GE merőleges FC-re!
Vektoriális szorzás
Az a és b térvektorok vektoriális szorzata az a c = a × b vektor, melyre
- merőleges az a és b által kifeszített síkra,
- irányítása olyan, hogy (a, b, a × b) ilyen sorrendben jobbrendszert alkot, azaz a jobb kéz hüvelyk, mutató és középső ujját kifeszíthetjük "fájdalommentesen" úgy, hogy rendre a a, b, a × b vektorok irányát kapjuk.
Széttagolja az összeget, felcserélhető a számmal való szorzással, de nem asszociatív és nem kommutatív, bár antikommutatív, azaz a szorzat ellenkezőjébe megy át a két tényező felcserélésével kapott szorzat.
Geometriai tulajdonsága.
- |a × b| az a és b által kifeszített paralelogramma területe.
3. Feladat. Legyen ABC háromszög, S a súlypontja, F az AB felezéspontja. Határozzuk meg, hogy az ABC háromszög területének hanyadrésze az AFS háromszog területe.
vagy
Igazoljuk, hogy az egyenlőszárú háromszög magassága felezi az alapot!
4. Feladat. Igazoljuk, hogy
Házi feladatok
- Igazolja, hogy az paralelogramma átlóinak felezőpontjai egybeesnek!
- Igaz-e:
- ha ab = 0, akkor a és b közül legalább az egyik nulla.
- ha ab = ac, és a ≠ 0, akkor b = c
- ha ab = ac, akkor vagy b - c || a, vagy b - c a
- Igaz-e:
- ha a×b = 0, akkor a és b közül legalább az egyik nulla.
- ha a×b = a×c, és a ≠ 0, akkor b = c
- ha a + b + c = 0, akkor a×b = b×c = c×a
-
- Igazolja a Thalész-tételt (azaz, hogy ha egy szakasz fölé, mint átmérő fölé kört rajzolunk, akkor a kör bármely (szakaszon kívüli) pontjából a szakasz két végpontja derékszög alatt látszik)!
- Igazolja a koszinusztételt, azaz hogy az a,b,c oldalú háromszögben (γ a c-hez tartozó szög)