Matematika A1a 2008/2. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Koordináta reprezentációk)
(Összeadás, számmal való szorzás)
 
(egy szerkesztő 8 közbeeső változata nincs mutatva)
1. sor: 1. sor:
[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]
+
<sub>[[Matematika A1a 2008|<Matematika A1a 2008]]</sub>
  
 
+
A vektoralgebra felépítésére vonatkozóan lásd: ([http://members.chello.hu/molnar.zoltan13/Main/vektoralgebra.pdf pdf])
A vektoralgebra felépítésére vonatkozóan lásd: ([http://www.math.bme.hu/~mozow/vektoralgebra.pdf pdf])
+
  
 
==Vektorok==
 
==Vektorok==
Irányított egyenes szakaszok között definiálunk egy "azonosság" relációt, lényegben azza, hogy az egyenlő nagyságú, egymással párhuzamos, azonos irányú egyenes szakaszokat azonosnak vesszük. Egymással azonosok egy halmazát nevezzük vektornak, elemeit a vektor egy reprezentánsának. Jelben: ha '''a''' vektor, akkor  
+
Irányított egyenes szakaszok között definiálunk egy "azonosság" relációt, lényegben azzal, hogy az egyenlő nagyságú, egymással párhuzamos, azonos irányú egyenes szakaszokat azonosnak vesszük. Egymással azonosok egy halmazát nevezzük vektornak, elemeit a vektor egy reprezentánsának. Jelben: ha '''a''' vektor, akkor  
 
:<math>\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}</math>
 
:<math>\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}</math>
 
jelöli, hogy <math>\overrightarrow{AB}\in \mathbf{a}</math>.
 
jelöli, hogy <math>\overrightarrow{AB}\in \mathbf{a}</math>.
37. sor: 36. sor:
 
Az '''a''' ''ellentett vektora'' az a -'''a''' vektor, melyre |-'''a'''| = |'''a'''|, <math>\mathbf{a}\uparrow\downarrow(-\mathbf{a})</math>.
 
Az '''a''' ''ellentett vektora'' az a -'''a''' vektor, melyre |-'''a'''| = |'''a'''|, <math>\mathbf{a}\uparrow\downarrow(-\mathbf{a})</math>.
  
(Mindenben olyan tulajdonságú, mint a valós számok összeadása: kommutatív, asszociatív, '''0''' -t bármihez adva, amaz nem változik, ellentettjét a vektorhoz adva '''0'''-t kapunk.)
+
(Olyan tulajdonságú, mint a valós számok összeadása: kommutatív, asszociatív, '''0''' -t bármihez adva, amaz nem változik, ellentettjét a vektorhoz adva '''0'''-t kapunk.)
  
 
'''Számmal való szorzás.''' Legyen '''a''' vektor, &lambda; valós szám. Ekkor  
 
'''Számmal való szorzás.''' Legyen '''a''' vektor, &lambda; valós szám. Ekkor  
84. sor: 83. sor:
  
 
'''3. Feladat.''' Legyen ABC háromszög, S a súlypontja, F az AB felezéspontja. Határozzuk meg, hogy az ABC háromszög területének hanyadrésze az AFS háromszog területe.
 
'''3. Feladat.''' Legyen ABC háromszög, S a súlypontja, F az AB felezéspontja. Határozzuk meg, hogy az ABC háromszög területének hanyadrésze az AFS háromszog területe.
 +
 +
vagy
 +
 +
Igazoljuk, hogy az egyenlőszárú háromszög magassága felezi az alapot!
  
 
'''4. Feladat.''' Igazoljuk, hogy  
 
'''4. Feladat.''' Igazoljuk, hogy  
90. sor: 93. sor:
 
\mathbf{a}\times\mathbf{c}=\mathbf{b}\times\mathbf{d}
 
\mathbf{a}\times\mathbf{c}=\mathbf{b}\times\mathbf{d}
 
\end{matrix}\right\}\quad\quad
 
\end{matrix}\right\}\quad\quad
\Rightarrow\quad\quad \mathbf{a}-\mathbf{c}\;||\;\mathbf{b}-\mathbf{c}</math>
+
\Rightarrow\quad\quad \mathbf{a}-\mathbf{d}\;||\;\mathbf{b}-\mathbf{c}</math>
 
+
==Koordináta reprezentációk==
+
 
+
''Lineáris kombináció''nak nevezzük a
+
:<math>\lambda_1.\mathbf{a}_1+\lambda_2.\mathbf{a}_2+...+\lambda_n.\mathbf{a}_n</math>
+
alakú kifejezéseket, ahol a &lambda;-k számok, az '''a'''-k vektorok.
+
 
+
'''Tétel.'''
+
# Ha '''b'''<sub>1</sub> és '''b'''<sub>2</sub> két nempárhuzamos vektor a  síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
+
#:<math>\mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2</math>
+
# Ha '''b'''<sub>1</sub>, '''b'''<sub>2</sub> és '''b'''<sub>3</sub> három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
+
#:<math>\mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2+\lambda_3.\mathbf{b}_3</math>
+
 
+
Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát ''bázis''nak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ''ortonormált'' bázist alkotnak. A ''jobbsodrású'' (v.ö.: jobbcsvarszabály) ortonormált bázis a térben az ('''i''', '''j''', '''k''').
+
 
+
Egy '''v''' térvektornak B = ('''b'''<sub>1</sub>, '''b'''<sub>2</sub>, '''b'''<sub>3</sub>) bázisra vonatkozó ''koordinátareprezentációja'' az az oszlopmátrix, melynek elemei rendre az előző tételbeli egyértelműen létező &lambda;-k:
+
:<math>[\mathbf{v}]_B=\begin{bmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3
+
\end{bmatrix}</math>
+
 
+
<math>[\mathbf{a}+\mathbf{b}]=\left[
+
 
+
\begin{matrix}
+
 
+
a_1+b_1\\
+
 
+
a_2+b_2\\
+
 
+
a_3+b_3
+
 
+
\end{matrix}
+
 
+
\right],\quad\quad[\lambda.\mathbf{a}]=\left[
+
 
+
\begin{matrix}
+
 
+
\lambda\cdot a_1\\
+
 
+
\lambda\cdot a_2\\
+
 
+
\lambda\cdot a_3
+
 
+
\end{matrix}
+
 
+
\right],\quad\quad[\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}]=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,\quad\quad[\mathbf{a}\times\mathbf{b}]=\left[
+
 
+
\begin{matrix}
+
 
+
\;\;a_2b_3-b_2a_3\\
+
 
+
-a_1b_3+b_1a_3\\
+
 
+
\;\; a_1b_2-b_1a_2
+
 
+
\end{matrix}
+
 
+
\right]</math>
+
  
 
==Házi feladatok==
 
==Házi feladatok==

A lap jelenlegi, 2014. február 17., 21:14-kori változata

<Matematika A1a 2008

A vektoralgebra felépítésére vonatkozóan lásd: (pdf)

Tartalomjegyzék

Vektorok

Irányított egyenes szakaszok között definiálunk egy "azonosság" relációt, lényegben azzal, hogy az egyenlő nagyságú, egymással párhuzamos, azonos irányú egyenes szakaszokat azonosnak vesszük. Egymással azonosok egy halmazát nevezzük vektornak, elemeit a vektor egy reprezentánsának. Jelben: ha a vektor, akkor

\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}

jelöli, hogy \overrightarrow{AB}\in \mathbf{a}.

Az a vektor hossza

|a|

nem más, mint mely bármely reprezentánsának hossza.

Nullvektor az aminek a hossza 0.

Két vektor párhuzamos:

a || b

ha van egy-egy reprezentánsuk, melyek egyenese párhuzamos. 0 || a minden a vektorra definíció szerint.

Két párhuzamos vektor azonos állású vagy irányítású

\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{b}

ha a reprezentánsaik azonos irányításúak; a 0 mindennek azonos irányú. Ellenkező esetben:

\mathbf{a}\uparrow\downarrow\mathbf{b}

Tétel. a = b, akkor és csak akkor, ha

  1. |a| = |b| és
  2. a || b és
  3. \mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{b}

Vektorműveletek

Összeadás, számmal való szorzás

Összeadás. Legyen a és b két vektor és \overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB} rendre a két vektor azonos kezdőpontból felmért reprezentánsa, legyen továbbá PACB paralelogramma (P-vel szemközt: C). Ekkor a + b vektor definíció szerint az a c vektor, melyet \overrightarrow{PC} reprezentál.

Kivonás: a - b =def a + (-b)

Az a ellentett vektora az a -a vektor, melyre |-a| = |a|, \mathbf{a}\uparrow\downarrow(-\mathbf{a}).

(Olyan tulajdonságú, mint a valós számok összeadása: kommutatív, asszociatív, 0 -t bármihez adva, amaz nem változik, ellentettjét a vektorhoz adva 0-t kapunk.)

Számmal való szorzás. Legyen a vektor, λ valós szám. Ekkor

|\lambda.\mathbf{a}|=|\lambda|\cdot |\mathbf{a}|,
\lambda.\mathbf{a}\;||\;\mathbf{a},
\lambda.\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{a}, ha λ > 0 és \lambda.\mathbf{a}\uparrow\downarrow\mathbf{a}, ha λ < 0

(Széttagolja a valós és a vektorösszeget, felcserélhető a valós szorzással, az 1-gyel való szorzás azonos az identitással.)

1. Feladat. ABCDEF egy szabályos hatszög. Fejezzük ki az a = \overrightarrow{AB} és b = \overrightarrow{AF} vektorok összegével/számszorosával a

\overrightarrow{ED}
\overrightarrow{DE}
\overrightarrow{AD}
\overrightarrow{BE}

vektorokat!

Skaláris szorzás

Az a és b vektorok skaláris szorzata az

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=_{\mathrm{def}}|\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}|\cdot\cos(\mathbf{a},\mathbf{b})_{\angle}

szám.

(Széttagolja az összeget, felcserélhető a számmal való szorzással (mindkét változójában)).

e egységvektor, ha |e| = 1.

Geometriai tulajdonsága.

  1. Ha e egységvektor, akkor v\cdote a v-nek az e egyenesére eső merőleges vetületének előjeles hossza.
  2. a, b nem nullvektorok, akkor
    \mathbf{a}\;\bot\;\mathbf{b}\quad\quad\Leftrightarrow\quad\quad \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0

2. Feladat. Legyen ABCD egy téglalap, melynek AB oldala 5 egység, AD oldala 4 egység. Legyen a az \overrightarrow{AB} irányú egységvektor, és b az \overrightarrow{AD} irányú egységvektor. Legyen továbbá E az AD felezéspontja, G az AB B-hez közelebbi ötödölőpontja és az egyel beljebbi az F. Igazolja, hogy GE merőleges FC-re!

Vektoriális szorzás

Az a és b térvektorok vektoriális szorzata az a c = a × b vektor, melyre

  1. |\mathbf{a}\times\mathbf{b}|=_{\mathrm{def}}|\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}|\cdot\sin(\mathbf{a},\mathbf{b})_{\angle}
  2. merőleges az a és b által kifeszített síkra,
  3. irányítása olyan, hogy (a, b, a × b) ilyen sorrendben jobbrendszert alkot, azaz a jobb kéz hüvelyk, mutató és középső ujját kifeszíthetjük "fájdalommentesen" úgy, hogy rendre a a, b, a × b vektorok irányát kapjuk.

Széttagolja az összeget, felcserélhető a számmal való szorzással, de nem asszociatív és nem kommutatív, bár antikommutatív, azaz a szorzat ellenkezőjébe megy át a két tényező felcserélésével kapott szorzat.


Geometriai tulajdonsága.

  1. |a × b| az a és b által kifeszített paralelogramma területe.
  2. \mathbf{a}\;||\;\mathbf{b}\quad\quad\Leftrightarrow\quad\quad \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{0}


3. Feladat. Legyen ABC háromszög, S a súlypontja, F az AB felezéspontja. Határozzuk meg, hogy az ABC háromszög területének hanyadrésze az AFS háromszog területe.

vagy

Igazoljuk, hogy az egyenlőszárú háromszög magassága felezi az alapot!

4. Feladat. Igazoljuk, hogy

\left.\begin{matrix}
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{c}\times\mathbf{d}\\
\mathbf{a}\times\mathbf{c}=\mathbf{b}\times\mathbf{d}
\end{matrix}\right\}\quad\quad
\Rightarrow\quad\quad \mathbf{a}-\mathbf{d}\;||\;\mathbf{b}-\mathbf{c}

Házi feladatok

  1. Igazolja, hogy az paralelogramma átlóinak felezőpontjai egybeesnek!
  2. Igaz-e:
    1. ha ab = 0, akkor a és b közül legalább az egyik nulla.
    2. ha ab = ac, és a0, akkor b = c
    3. ha ab = ac, akkor vagy b - c || a, vagy b - c \bot a
  3. Igaz-e:
    1. ha a×b = 0, akkor a és b közül legalább az egyik nulla.
    2. ha a×b = a×c, és a0, akkor b = c
    3. ha a + b + c = 0, akkor a×b = b×c = c×a
    1. Igazolja a Thalész-tételt (azaz, hogy ha egy szakasz fölé, mint átmérő fölé kört rajzolunk, akkor a kör bármely (szakaszon kívüli) pontjából a szakasz két végpontja derékszög alatt látszik)!
    2. Igazolja a koszinusztételt, azaz hogy az a,b,c oldalú háromszögben (γ a c-hez tartozó szög)
      c^2=a^2 + b^2 -2ab\cos\gamma\,
Személyes eszközök