Matematika A1a 2008/2. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Vektorműveletek) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
||
45. sor: | 45. sor: | ||
:<math>\overrightarrow{BE}</math> | :<math>\overrightarrow{BE}</math> | ||
vektorokat! | vektorokat! | ||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
− | |||
===Skaláris szorzás=== | ===Skaláris szorzás=== | ||
74. sor: | 62. sor: | ||
==Koordináta reprezentációk== | ==Koordináta reprezentációk== | ||
+ | |||
+ | ''Lineáris kombináció''nak nevezzük a | ||
+ | :<math>\lambda_1.\mathbf{a}_1+\lambda_2.\mathbf{a}_2+...+\lambda_n.\mathbf{a}_n</math> | ||
+ | alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az '''a'''-k vektorok. | ||
+ | |||
+ | '''Tétel.''' | ||
+ | # Ha '''b'''<sub>1</sub> és '''b'''<sub>2</sub> két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként: | ||
+ | #:<math>\mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2</math> | ||
+ | # Ha '''b'''<sub>1</sub>, '''b'''<sub>2</sub> és '''b'''<sub>3</sub> három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként: | ||
+ | #:<math>\mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2+\lambda_3.\mathbf{b}_3</math> | ||
+ | |||
+ | Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát ''bázis''nak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ''ortonormált'' bázist alkotnak. A ''jobbsodrású'' ortonormált bázis a térben az (''i'', ''j'', ''k''). |
A lap 2008. szeptember 14., 12:29-kori változata
A vektoralgebra felépítésére vonatkozóan lásd: (pdf)
Tartalomjegyzék |
Vektorok
Irányított egyenes szakaszok között definiálunk egy "azonosság" relációt, lényegben azza, hogy az egyenlő nagyságú, egymással párhuzamos, azonos irányú egyenes szakaszokat azonosnak vesszük. Egymással azonosok egy halmazát nevezzük vektornak, elemeit a vektor egy reprezentánsának. Jelben: ha a vektor, akkor
jelöli, hogy .
Az a vektor hossza
- |a|
nem más, mint mely bármely reprezentánsának hossza.
Nullvektor az aminek a hossza 0.
Két vektor párhuzamos:
- a || b
ha van egy-egy reprezentánsuk, melyek egyenese párhuzamos. 0 || a minden a vektorra definíció szerint.
Két párhuzamos vektor azonos állású vagy irányítású
ha a reprezentánsaik azonos irányításúak; a 0 mindennek azonos irányú. Ellenkező esetben:
Tétel. a = b, akkor és csak akkor, ha
- |a| = |b| és
- a || b és
Vektorműveletek
Összeadás, számmal való szorzás
Összeadás. Legyen a és b két vektor és , rendre a két vektor azonos kezdőpontból felmért reprezentánsa, legyen továbbá PACB paralelogramma (P-vel szemközt: C). Ekkor a + b vektor definíció szerint az a c vektor, melyet reprezentál.
Számmal való szorzás. Legyen a vektor, λ valós szám. Ekkor
- ,
- ,
- , ha λ > 0 és , ha λ < 0
1. Feladat. ABCDEF egy szabályos hatszög. Fejezzük ki az a = és b = vektorok összegével/számszorosával a
vektorokat!
Skaláris szorzás
Vektoriális szorzás
2. Feladat. Legyen ABCD egy téglalap, melynek AB oldala 5 egység, AD oldala 4 egység. Legyen a az irányú egységvektor, és b az irányú egységvektor. Legyen továbbá E az AD felezéspontja, G az AB B-hez közelebbi ötödölőpontja és az egyel beljebbi az F. Igazolja, hogy GE merőleges FC-re!
3. Feladat. Legyen ABC háromszög, S a súlypontja, F az AB felezéspontja. Határozzuk meg, hogy az ABC háromszög területének hanyadrésze az AFS háromszog területe.
4. Feladat. Igazoljuk, hogy
Koordináta reprezentációk
Lineáris kombinációnak nevezzük a
alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az a-k vektorok.
Tétel.
- Ha b1 és b2 két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
- Ha b1, b2 és b3 három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát bázisnak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ortonormált bázist alkotnak. A jobbsodrású ortonormált bázis a térben az (i, j, k).