Matematika A1a 2008/2. gyakorlat

<Matematika A1a 2008

A vektoralgebra felépítésére vonatkozóan lásd: (pdf)

Vektorok

Irányított egyenes szakaszok között definiálunk egy "azonosság" relációt, lényegben azza, hogy az egyenlő nagyságú, egymással párhuzamos, azonos irányú egyenes szakaszokat azonosnak vesszük. Egymással azonosok egy halmazát nevezzük vektornak, elemeit a vektor egy reprezentánsának. Jelben: ha a vektor, akkor

$\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}$

jelöli, hogy $\overrightarrow{AB}\in \mathbf{a}$.

Az a vektor hossza

|a|

nem más, mint mely bármely reprezentánsának hossza.

Nullvektor az aminek a hossza 0.

Két vektor párhuzamos:

a || b

ha van egy-egy reprezentánsuk, melyek egyenese párhuzamos. 0 || a minden a vektorra definíció szerint.

Két párhuzamos vektor azonos állású vagy irányítású

$\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{b}$

ha a reprezentánsaik azonos irányításúak; a 0 mindennek azonos irányú. Ellenkező esetben:

$\mathbf{a}\uparrow\downarrow\mathbf{b}$

Tétel. a = b, akkor és csak akkor, ha

1. |a| = |b| és
2. a || b és
3. $\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{b}$

Vektorműveletek

Összeadás, számmal való szorzás

Összeadás. Legyen a és b két vektor és $\overrightarrow{PA}$, $\overrightarrow{PB}$ rendre a két vektor azonos kezdőpontból felmért reprezentánsa, legyen továbbá PACB paralelogramma (P-vel szemközt: C). Ekkor a + b vektor definíció szerint az a c vektor, melyet $\overrightarrow{PC}$ reprezentál.

Számmal való szorzás. Legyen a vektor, λ valós szám. Ekkor

$|\lambda.\mathbf{a}|=|\lambda|\cdot |\mathbf{a}|$,

$\lambda.\mathbf{a}\;||\;\mathbf{a}$,

$\lambda.\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{a}$, ha λ > 0 és $\lambda.\mathbf{a}\uparrow\downarrow\mathbf{a}$, ha λ < 0

1. Feladat. ABCDEF egy szabályos hatszög. Fejezzük ki az a = $\overrightarrow{AB}$ és b = $\overrightarrow{AF}$ vektorok összegével/számszorosával a

$\overrightarrow{ED}$

$\overrightarrow{DE}$

$\overrightarrow{AD}$

$\overrightarrow{BE}$

vektorokat!

Lineáris kombinációnak nevezzük a

$\lambda_1.\mathbf{a}_1+\lambda_2.\mathbf{a}_2+...+\lambda_n.\mathbf{a}_n$

alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az a-k vektorok.

Tétel.

1. Ha b₁ és b₂ két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként.
2. Ha b₁, b₂ és b₃ három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként.

Vektoriális szorzás

2. Feladat. Legyen ABCD egy téglalap, melynek AB oldala 5 egység, AD oldala 4 egység. Legyen a az $\overrightarrow{AB}$ irányú egységvektor, és b az $\overrightarrow{AD}$ irányú egységvektor. Legyen továbbá E az AD felezéspontja, G az AB B-hez közelebbi ötödölőpontja és az egyel beljebbi az F. Igazolja, hogy GE merőleges FC-re!

3. Feladat. Legyen ABC háromszög, S a súlypontja, F az AB felezéspontja. Határozzuk meg, hogy az ABC háromszög területének hanyadrésze az AFS háromszog területe.

4. Feladat. Igazoljuk, hogy

$\left.\begin{matrix} \mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{c}\times\mathbf{d}\\ \mathbf{a}\times\mathbf{c}=\mathbf{b}\times\mathbf{d} \end{matrix}\right\}\quad\quad \Rightarrow\quad\quad \mathbf{a}-\mathbf{c}\;||\;\mathbf{b}-\mathbf{c}$