Matematika A1a 2008/2. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2008. szeptember 14., 11:25-kor történt szerkesztése után volt.

<Matematika A1a 2008


A vektoralgebra felépítésére vonatkozóan lásd: (pdf)

Tartalomjegyzék

Vektorok

Irányított egyenes szakaszok között definiálunk egy "azonosság" relációt, lényegben azza, hogy az egyenlő nagyságú, egymással párhuzamos, azonos irányú egyenes szakaszokat azonosnak vesszük. Egymással azonosok egy halmazát nevezzük vektornak, elemeit a vektor egy reprezentánsának. Jelben: ha a vektor, akkor

\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}

jelöli, hogy \overrightarrow{AB}\in \mathbf{a}.

Az a vektor hossza

|a|

nem más, mint mely bármely reprezentánsának hossza.

Nullvektor az aminek a hossza 0.

Két vektor párhuzamos:

a || b

ha van egy-egy reprezentánsuk, melyek egyenese párhuzamos. 0 || a minden a vektorra definíció szerint.

Két párhuzamos vektor azonos állású vagy irányítású

\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{b}

ha a reprezentánsaik azonos irányításúak; a 0 mindennek azonos irányú. Ellenkező esetben:

\mathbf{a}\uparrow\downarrow\mathbf{b}

Tétel. a = b, akkor és csak akkor, ha

  1. |a| = |b| és
  2. a || b és
  3. \mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{b}

Vektorműveletek

Összeadás, számmal való szorzás

Összeadás. Legyen a és b két vektor és \overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB} rendre a két vektor azonos kezdőpontból felmért reprezentánsa, legyen továbbá PACB paralelogramma (P-vel szemközt: C). Ekkor a + b vektor definíció szerint az a c vektor, melyet \overrightarrow{PC} reprezentál.

Számmal való szorzás. Legyen a vektor, λ valós szám. Ekkor

|\lambda.\mathbf{a}|=|\lambda|\cdot |\mathbf{a}|,
\lambda.\mathbf{a}\;||\;\mathbf{a},
\lambda.\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{a}, ha λ > 0 és \lambda.\mathbf{a}\uparrow\downarrow\mathbf{a}, ha λ < 0


1. Feladat. ABCDEF egy szabályos hatszög. Fejezzük ki az a = \overrightarrow{AB} és b = \overrightarrow{AF} vektorok összegével/számszorosával a

\overrightarrow{ED}
\overrightarrow{DE}
\overrightarrow{AD}
\overrightarrow{BE}

vektorokat!

Lineáris kombinációnak nevezzük a

\lambda_1.\mathbf{a}_1+\lambda_2.\mathbf{a}_2+...+\lambda_n.\mathbf{a}_n

alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az a-k vektorok.

Tétel.

  1. Ha b1 és b2 két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként.
  2. Ha b1, b2 és b3 három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként.



Skaláris szorzás

Vektoriális szorzás

2. Feladat. Legyen ABCD egy téglalap, melynek AB oldala 5 egység, AD oldala 4 egység. Legyen a az \overrightarrow{AB} irányú egységvektor, és b az \overrightarrow{AD} irányú egységvektor. Legyen továbbá E az AD felezéspontja, G az AB B-hez közelebbi ötödölőpontja és az egyel beljebbi az F. Igazolja, hogy GE merőleges FC-re!

3. Feladat. Legyen ABC háromszög, S a súlypontja, F az AB felezéspontja. Határozzuk meg, hogy az ABC háromszög területének hanyadrésze az AFS háromszog területe.

4. Feladat. Igazoljuk, hogy

\left.\begin{matrix}
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{c}\times\mathbf{d}\\
\mathbf{a}\times\mathbf{c}=\mathbf{b}\times\mathbf{d}
\end{matrix}\right\}\quad\quad
\Rightarrow\quad\quad \mathbf{a}-\mathbf{c}\;||\;\mathbf{b}-\mathbf{c}

Koordináta reprezentációk

Személyes eszközök