Matematika A1a 2008/2. gyakorlat

A MathWikiből
A lap korábbi változatát látod, amilyen Mozo (vitalap | szerkesztései) 2008. szeptember 14., 11:52-kor történt szerkesztése után volt.

<Matematika A1a 2008


A vektoralgebra felépítésére vonatkozóan lásd: (pdf)

Tartalomjegyzék

Vektorok

Irányított egyenes szakaszok között definiálunk egy "azonosság" relációt, lényegben azza, hogy az egyenlő nagyságú, egymással párhuzamos, azonos irányú egyenes szakaszokat azonosnak vesszük. Egymással azonosok egy halmazát nevezzük vektornak, elemeit a vektor egy reprezentánsának. Jelben: ha a vektor, akkor

\mathbf{a}=\overrightarrow{AB}

jelöli, hogy \overrightarrow{AB}\in \mathbf{a}.

Az a vektor hossza

|a|

nem más, mint mely bármely reprezentánsának hossza.

Nullvektor az aminek a hossza 0.

Két vektor párhuzamos:

a || b

ha van egy-egy reprezentánsuk, melyek egyenese párhuzamos. 0 || a minden a vektorra definíció szerint.

Két párhuzamos vektor azonos állású vagy irányítású

\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{b}

ha a reprezentánsaik azonos irányításúak; a 0 mindennek azonos irányú. Ellenkező esetben:

\mathbf{a}\uparrow\downarrow\mathbf{b}

Tétel. a = b, akkor és csak akkor, ha

  1. |a| = |b| és
  2. a || b és
  3. \mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{b}

Vektorműveletek

Összeadás, számmal való szorzás

Összeadás. Legyen a és b két vektor és \overrightarrow{PA}, \overrightarrow{PB} rendre a két vektor azonos kezdőpontból felmért reprezentánsa, legyen továbbá PACB paralelogramma (P-vel szemközt: C). Ekkor a + b vektor definíció szerint az a c vektor, melyet \overrightarrow{PC} reprezentál.

Kivonás: a - b =def a + (-b)

Az a ellentett vektora az a -a vektor, melyre |-a| = |a|, \mathbf{a}\uparrow\uparrow(-\mathbf{a}).

(Mindenben olyan tulajdonságú, mint a valós számok összeadása: kommutatív, asszociatív, 0 -t bármihez adva, amaz nem változik, ellentettjét a vektorhoz adva 0-t kapunk.)

Számmal való szorzás. Legyen a vektor, λ valós szám. Ekkor

|\lambda.\mathbf{a}|=|\lambda|\cdot |\mathbf{a}|,
\lambda.\mathbf{a}\;||\;\mathbf{a},
\lambda.\mathbf{a}\uparrow\uparrow\mathbf{a}, ha λ > 0 és \lambda.\mathbf{a}\uparrow\downarrow\mathbf{a}, ha λ < 0

(Széttagolja a valós és a vektorösszeget, felcserélhető a valós szorzással, az 1-gyel való szorzás azonos az identitással.)

1. Feladat. ABCDEF egy szabályos hatszög. Fejezzük ki az a = \overrightarrow{AB} és b = \overrightarrow{AF} vektorok összegével/számszorosával a

\overrightarrow{ED}
\overrightarrow{DE}
\overrightarrow{AD}
\overrightarrow{BE}

vektorokat!

Skaláris szorzás

Az a és b vektorok skaláris szorzata az

\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=_{\mathrm{def}}|\mathbf{a}|\cdot|\mathbf{b}|\cdot\cos(\mathbf{a},\mathbf{b})_{\angle}

szám.

(Széttagolja az összeget, felcserélhető a számmal való szorzással (mindkét változójában)).

e egységvektor, ha |e| = 1.

Geometriai tulajdonsága.

  1. Ha e egységvektor, akkor v\cdote a v-nek az e egyenesére eső merőleges vetületének előjeles hossza.
  2. a, b nem nullvektorok, akkor
    \mathbf{a}\bot\mathbf{b}\quad\quad\Leftrightarrow\quad\quad \mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=0

2. Feladat. Legyen ABCD egy téglalap, melynek AB oldala 5 egység, AD oldala 4 egység. Legyen a az \overrightarrow{AB} irányú egységvektor, és b az \overrightarrow{AD} irányú egységvektor. Legyen továbbá E az AD felezéspontja, G az AB B-hez közelebbi ötödölőpontja és az egyel beljebbi az F. Igazolja, hogy GE merőleges FC-re!

Vektoriális szorzás

3. Feladat. Legyen ABC háromszög, S a súlypontja, F az AB felezéspontja. Határozzuk meg, hogy az ABC háromszög területének hanyadrésze az AFS háromszog területe.

4. Feladat. Igazoljuk, hogy

\left.\begin{matrix}
\mathbf{a}\times\mathbf{b}=\mathbf{c}\times\mathbf{d}\\
\mathbf{a}\times\mathbf{c}=\mathbf{b}\times\mathbf{d}
\end{matrix}\right\}\quad\quad
\Rightarrow\quad\quad \mathbf{a}-\mathbf{c}\;||\;\mathbf{b}-\mathbf{c}

Koordináta reprezentációk

Lineáris kombinációnak nevezzük a

\lambda_1.\mathbf{a}_1+\lambda_2.\mathbf{a}_2+...+\lambda_n.\mathbf{a}_n

alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az a-k vektorok.

Tétel.

  1. Ha b1 és b2 két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
    \mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2
  2. Ha b1, b2 és b3 három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
    \mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2+\lambda_3.\mathbf{b}_3

Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát bázisnak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ortonormált bázist alkotnak. A jobbsodrású (v.ö.: jobbcsvarszabály) ortonormált bázis a térben az (i, j, k).

Egy v térvektornak B = (b1, b2, b3) bázisra vonatkozó koordinátareprezentációja az az oszlopmátrix, melynek elemei rendre az előző tételbeli egyértelműen létező λ-k:

[\mathbf{v}]_B=\begin{bmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3
\end{bmatrix}
Személyes eszközök