Matematika A1a 2008/3. gyakorlat

A MathWikiből
(Változatok közti eltérés)
(Sík)
(Sík)
130. sor: 130. sor:
 
''Megoldás.'' Olvassuk le az irányvektorokat! '''v'''<sub>e</sub> = (-2,1,-2) és  '''v'''<sub>f</sub> = (2,-1,2). A sík számára normálvektort úgy kapunk, ha ezekre merőleges vektort készítünk:
 
''Megoldás.'' Olvassuk le az irányvektorokat! '''v'''<sub>e</sub> = (-2,1,-2) és  '''v'''<sub>f</sub> = (2,-1,2). A sík számára normálvektort úgy kapunk, ha ezekre merőleges vektort készítünk:
  
:<math>\mathbf{n}=\mathbf{v}_e\times\mathbf{v}_f=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\
+
:<math>\mathbf{v}_e\times\mathbf{v}_f=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\
  
 
-2 & 1 & -2\\
 
-2 & 1 & -2\\
137. sor: 137. sor:
 
ami azonban nem alkalmas normálvektornak. Világos, hogy ez a jelenség amiatt lépett föl, mert a két egyenes párhuzamos egymással. Készítsünk tehát a síkjukban lévő nempárhuzamos vektorokat!
 
ami azonban nem alkalmas normálvektornak. Világos, hogy ez a jelenség amiatt lépett föl, mert a két egyenes párhuzamos egymással. Készítsünk tehát a síkjukban lévő nempárhuzamos vektorokat!
  
Az ''e''-n egy pont az A = (1,2,0), az ''f''-en: B = (-2,0,0), melyek a ''t'' = 0 értékadás által lettek kiválasztva.
+
Az ''e''-n egy pont az A = (1,2,0), az ''f''-en: B = (-2,0,0), melyek a ''t'' = 0 értékadás által lettek kiválasztva. Legyen '''u''' az ''A''-ból ''B''-be menő vektor, mely a (-3,-2,0). Ekkor jó lesz normálvektornak a
 +
:<math>\mathbf{n}=\mathbf{v}_e\times\overrightarrow{AB}=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\
 +
 
 +
-2 & 1 & -2\\
 +
 
 +
-3 & -2 & 0\end{matrix}\right|=-4.\mathbf{i} + 6.\mathbf{j}+7.\mathbf{k}</math>
 +
A sík így:
 +
:<math>-4(x-3)+6y+7(y-1)=0\,</math>
 +
 
 +
'''3. Feladat.'''
  
 
==Házi feladatok==
 
==Házi feladatok==

A lap 2008. szeptember 21., 20:50-kori változata

<Matematika A1a 2008

Tartalomjegyzék

Koordináta reprezentációk

Lineáris kombinációnak nevezzük a

\lambda_1.\mathbf{a}_1+\lambda_2.\mathbf{a}_2+...+\lambda_n.\mathbf{a}_n

alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az a-k vektorok.

Tétel.

  1. Ha b1 és b2 két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
    \mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2
  2. Ha b1, b2 és b3 három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
    \mathbf{v}=\lambda_1.\mathbf{b}_1+\lambda_2.\mathbf{b}_2+\lambda_3.\mathbf{b}_3

Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát bázisnak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ortonormált bázist alkotnak. A jobbsodrású (v.ö.: jobbcsvarszabály) ortonormált bázis a térben az (i, j, k).

Egy v térvektornak B = (b1, b2, b3) bázisra vonatkozó koordinátareprezentációja az az oszlopmátrix, melynek elemei rendre az előző tételbeli egyértelműen létező λ-k:

[\mathbf{v}]_B=\begin{bmatrix}\lambda_1\\ \lambda_2\\ \lambda_3
\end{bmatrix}

A vektorműveletek a koordinátareprezentációban a következők lesznek.

[\mathbf{a}+\mathbf{b}]=\left[

\begin{matrix}

a_1+b_1\\

a_2+b_2\\

a_3+b_3

\end{matrix}

\right],\quad\quad[\lambda.\mathbf{a}]=\left[

\begin{matrix}

\lambda\cdot a_1\\

\lambda\cdot a_2\\

\lambda\cdot a_3

\end{matrix}

\right],
\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,\quad\quad[\mathbf{a}\times\mathbf{b}]=\left[

\begin{matrix}

\;\;a_2b_3-b_2a_3\\

 -a_1b_3+b_1a_3\\

\;\; a_1b_2-b_1a_2

\end{matrix}

\right]

Külön fontos a vektoriális szorzat esetén megemlíteni a

\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\

a_1& a_2 & a_3\\

b_1&b_1&b_3\end{matrix}\right|=\mathbf{a}\times\mathbf{b}

determnánssal történő kiszámolási módot és a skaláris szorzást, mint mátrixszorzást:

\begin{matrix}
 & \begin{bmatrix}b_1 \\b_2\\b_3\end{bmatrix} \\ & \\
\begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} & \mathbf{ab}
\end{matrix}

Egyenes

Legyen r0 az e egyenes egy pontjának helyvektora, v az irányvektora. Ekkor az egyenes bármely r pontja előáll (alkalmas t valós paraméterrel)

\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\cdot\mathbf{v}

alakban, hiszen az r - r0 vektor párhuzamos az egyenessel (sőt: az egyesben van), így a v irányvektor skalárszorosa. A t jelölés az "időre" utal. Ha feltételezzük, hogy egy pont sebessége az egyenesen v, akkor t azt jelenti, hogy az r0-végpontából az r végpontjába mennyi idő alatt jutunk el.

A fenti egyenletet az e egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezzük. Ha felÍrjuk koordinátareprezentációban, akkor a

\begin{pmatrix}
x \\ y\\ z
\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}
x_0 \\ y_0\\ z_0
\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}
v_1 \\ v_2\\ v_3
\end{pmatrix} vagyis a \left\{\begin{matrix}
x =x_0+ tv_1\\ y=y_0+ tv_2\\ z=z_0 + tv_3
\end{matrix}\right.

egyenletrendszert kapjuk, melyet az e egyenes paraméteres egyenletrendszerének nevezünk. Persze itt [r0]=(x0,y0, z0), [r]=(x,y, z) és [v]=(v1,v2, v3).

Kiküszöbölhetjük t-t, ha minden egyenletetből kivonjuk az adott pont megfelelő komponensét és ezután elosztunk az irányvektor megfelelő komponensével, feltéve, hogy ezek nem nullák:

\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}=\frac{z-z_0}{v_3}\quad[=t], \quad\quad v_1,v_2,v_3\ne 0

Ezt nevezzük az egyenes paramétermentes egyenletrendszerének. Ha valamelyik nulla, akkor a következő típusokkal van dolgunk:

\left\{\begin{matrix}\cfrac{x-x_0}{v_1}=\cfrac{y-y_0}{v_2}\\ z=z_0\end{matrix} \right.\quad\quad (v_1,v_2\ne 0, v_3=0)

illetve

\left\{\begin{matrix}y=y_0 \\ z=z_0\end{matrix} \right. \quad\quad (v_1\ne 0, v_2=v_3=0)

1. Feladat. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, mely merőleges mind az e, mind az f egyenesre és áthalad a P0 = (1,2,0) ponton.

e:\left\{\begin{matrix}\cfrac{x-2}{3}=\cfrac{1-y}{2}\\ z=8\end{matrix}\right. és f:\left\{\begin{matrix}
x =-3+ 2t\\ y=4\\ z=2 - t
\end{matrix}\right.

Megoldás. Olvassuk le az irányvektorokat! ve = (3,-1,0) és vf = (2,0,-1). Ezekre merőleges vektort vektoriális szorzattal készítünk:

\mathbf{v}_g=\mathbf{v}_e\times\mathbf{v}_f=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\

3 & -1 & 0\\

2 & 0 & -1\end{matrix}\right|=\mathbf{i} +3 \mathbf{j}+2\mathbf{k}

Azaz: g:\left\{\begin{matrix}
x =1+ t\\ y=2+ 3t\\ z=2t
\end{matrix}\right.

Sík

Legyen r0 az s sík egy pontjának helyvektora, n a normálvektora, azaz egy olyan nemnulla vektor, mely merőleges a síkra (azaz a sík minden pontjára merőleges). Ekkor a sík bármely r pontjára igaz lesz:

(\mathbf{r}-\mathbf{r}_0)\cdot \mathbf{n}=0

hiszen az r - r0 vektor merőleges a sík mormálvektorára, így skaláris szorzatuk 0.

Ha felírjuk koordinátákkal, ahol legyen n = (A,B,C), akkor az

A(x-x_0)+B(y-y_0)+C(z-z_0)=0\,

egyenlehez jutunk, melyet az s sík egyenletének nevezünk.

2. Feladat. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, mely áthalad a P = (3,0,1) ponton és párhuzamos mind az e, mind az f egyenessel:

e:\left\{\begin{matrix}
x =1-2t\\ y=2+t\\ z=-2t
\end{matrix}\right. és f:\cfrac{x+2}{2}=-y=\cfrac{z}{2}

Megoldás. Olvassuk le az irányvektorokat! ve = (-2,1,-2) és vf = (2,-1,2). A sík számára normálvektort úgy kapunk, ha ezekre merőleges vektort készítünk:

\mathbf{v}_e\times\mathbf{v}_f=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\

-2 & 1 & -2\\

2 & -1 & 2\end{matrix}\right|=0.\mathbf{i} + 0.\mathbf{j}+0.\mathbf{k}=\mathbf{0}

ami azonban nem alkalmas normálvektornak. Világos, hogy ez a jelenség amiatt lépett föl, mert a két egyenes párhuzamos egymással. Készítsünk tehát a síkjukban lévő nempárhuzamos vektorokat!

Az e-n egy pont az A = (1,2,0), az f-en: B = (-2,0,0), melyek a t = 0 értékadás által lettek kiválasztva. Legyen u az A-ból B-be menő vektor, mely a (-3,-2,0). Ekkor jó lesz normálvektornak a

\mathbf{n}=\mathbf{v}_e\times\overrightarrow{AB}=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\

-2 & 1 & -2\\

-3 & -2 & 0\end{matrix}\right|=-4.\mathbf{i} + 6.\mathbf{j}+7.\mathbf{k}

A sík így:

-4(x-3)+6y+7(y-1)=0\,

3. Feladat.

Házi feladatok

Személyes eszközök