Matematika A1a 2008/3. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Sík) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Egyenes) |
||
(egy szerkesztő 22 közbeeső változata nincs mutatva) | |||
66. sor: | 66. sor: | ||
b_1&b_1&b_3\end{matrix}\right|=\mathbf{a}\times\mathbf{b}</math> | b_1&b_1&b_3\end{matrix}\right|=\mathbf{a}\times\mathbf{b}</math> | ||
− | + | "szimbolikus" determinánssal történő kiszámolási módot és a skaláris szorzást, mint mátrixszorzást: | |
:<math>\begin{matrix} | :<math>\begin{matrix} | ||
& \begin{bmatrix}b_1 \\b_2\\b_3\end{bmatrix} \\ & \\ | & \begin{bmatrix}b_1 \\b_2\\b_3\end{bmatrix} \\ & \\ | ||
\begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} & \mathbf{ab} | \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} & \mathbf{ab} | ||
\end{matrix}</math> | \end{matrix}</math> | ||
+ | |||
==Egyenes== | ==Egyenes== | ||
Legyen '''r'''<sub>0</sub> az ''e'' egyenes egy pontjának helyvektora, '''v''' az irányvektora. Ekkor az egyenes bármely '''r''' pontja előáll (alkalmas ''t'' valós paraméterrel) | Legyen '''r'''<sub>0</sub> az ''e'' egyenes egy pontjának helyvektora, '''v''' az irányvektora. Ekkor az egyenes bármely '''r''' pontja előáll (alkalmas ''t'' valós paraméterrel) | ||
:<math>\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\cdot\mathbf{v}</math> | :<math>\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\cdot\mathbf{v}</math> | ||
− | alakban, hiszen az '''r''' - '''r'''<sub>0</sub> vektor párhuzamos az egyenessel (sőt: az egyesben van), így a '''v''' irányvektor skalárszorosa. A ''t'' jelölés az "időre" utal. Ha feltételezzük, hogy egy pont sebessége az egyenesen '''v''', akkor ''t'' azt jelenti, hogy az '''r'''<sub>0</sub>- | + | alakban, hiszen az '''r''' - '''r'''<sub>0</sub> vektor párhuzamos az egyenessel (sőt: az egyesben van), így a '''v''' irányvektor skalárszorosa. A ''t'' jelölés az "időre" utal. Ha feltételezzük, hogy egy pont sebessége az egyenesen '''v''', akkor ''t'' azt jelenti, hogy az '''r'''<sub>0</sub>-végpontjából az '''r''' végpontjába mennyi idő alatt jutunk el. |
+ | |||
+ | ===Nulladik pl.=== | ||
+ | |||
+ | 0. Legyen ABC egy háromszög, melynek körül írható körének középpontjából a csúcsokhoz menő vektorok: '''a''', '''b''', '''c'''. Igazoljuk, hogy a magasságok egy pontban, az '''m''' = '''a''' + '''b''' + '''c''' pontban metszik egymást. | ||
+ | |||
+ | ===Egyenletrendszer=== | ||
− | A fenti egyenletet az ''e'' egyenes '''paraméteres vektoregyenlet'''ének nevezzük. Ha | + | A fenti egyenletet az ''e'' egyenes '''paraméteres vektoregyenlet'''ének nevezzük. Ha felírjuk koordinátareprezentációban, akkor a |
:<math>\begin{pmatrix} | :<math>\begin{pmatrix} | ||
x \\ y\\ z | x \\ y\\ z | ||
89. sor: | 96. sor: | ||
egyenletrendszert kapjuk, melyet az ''e'' egyenes '''paraméteres egyenletrendszer'''ének nevezünk. Persze itt ['''r'''<sub>0</sub>]=(''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>, ''z''<sub>0</sub>), ['''r''']=(''x'',''y'', ''z'') és | egyenletrendszert kapjuk, melyet az ''e'' egyenes '''paraméteres egyenletrendszer'''ének nevezünk. Persze itt ['''r'''<sub>0</sub>]=(''x''<sub>0</sub>,''y''<sub>0</sub>, ''z''<sub>0</sub>), ['''r''']=(''x'',''y'', ''z'') és | ||
['''v''']=(''v''<sub>1</sub>,''v''<sub>2</sub>, ''v''<sub>3</sub>). | ['''v''']=(''v''<sub>1</sub>,''v''<sub>2</sub>, ''v''<sub>3</sub>). | ||
− | + | <!-- | |
Kiküszöbölhetjük ''t''-t, ha minden egyenletetből kivonjuk az adott pont megfelelő komponensét és ezután elosztunk az irányvektor megfelelő komponensével, feltéve, hogy ezek nem nullák: | Kiküszöbölhetjük ''t''-t, ha minden egyenletetből kivonjuk az adott pont megfelelő komponensét és ezután elosztunk az irányvektor megfelelő komponensével, feltéve, hogy ezek nem nullák: | ||
:<math>\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}=\frac{z-z_0}{v_3}\quad[=t], \quad\quad v_1,v_2,v_3\ne 0</math> | :<math>\frac{x-x_0}{v_1}=\frac{y-y_0}{v_2}=\frac{z-z_0}{v_3}\quad[=t], \quad\quad v_1,v_2,v_3\ne 0</math> | ||
96. sor: | 103. sor: | ||
illetve | illetve | ||
:<math>\left\{\begin{matrix}y=y_0 \\ z=z_0\end{matrix} \right. \quad\quad (v_1\ne 0, v_2=v_3=0)</math> | :<math>\left\{\begin{matrix}y=y_0 \\ z=z_0\end{matrix} \right. \quad\quad (v_1\ne 0, v_2=v_3=0)</math> | ||
+ | --> | ||
'''1. Feladat.''' Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, mely merőleges mind az ''e'', mind az ''f'' egyenesre és áthalad a P<sub>0</sub> = (1,2,0) ponton. | '''1. Feladat.''' Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, mely merőleges mind az ''e'', mind az ''f'' egyenesre és áthalad a P<sub>0</sub> = (1,2,0) ponton. | ||
− | :<math>e:\left\{\begin{matrix} | + | :<math>e:\left\{\begin{matrix} |
+ | x =2+ 3t\\ y=1-2t\\ z=8 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> és <math>f:\left\{\begin{matrix} | ||
x =-3+ 2t\\ y=4\\ z=2 - t | x =-3+ 2t\\ y=4\\ z=2 - t | ||
\end{matrix}\right.</math> | \end{matrix}\right.</math> | ||
− | ''Megoldás.'' Olvassuk le az irányvektorokat! '''v'''<sub>e</sub> = (3,- | + | ''Megoldás.'' Olvassuk le az irányvektorokat! '''v'''<sub>e</sub> = (3,-2,0) és '''v'''<sub>f</sub> = (2,0,-1). Ezekre merőleges vektort vektoriális szorzattal készítünk: |
:<math>\mathbf{v}_g=\mathbf{v}_e\times\mathbf{v}_f=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\ | :<math>\mathbf{v}_g=\mathbf{v}_e\times\mathbf{v}_f=\left|\begin{matrix}\mathbf{i}& \mathbf{j}&\mathbf{k}\\ | ||
− | 3 & - | + | 3 & -2 & 0\\ |
− | 2 & 0 & -1\end{matrix}\right|=\mathbf{i} +3 \mathbf{j}+ | + | 2 & 0 & -1\end{matrix}\right|=2\mathbf{i} +3 \mathbf{j}+4\mathbf{k}</math> |
Azaz: | Azaz: | ||
<math>g:\left\{\begin{matrix} | <math>g:\left\{\begin{matrix} | ||
− | x =1+ | + | x =1+ 2t\\ y=2+ 3t\\ z=4t |
\end{matrix}\right.</math> | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | |||
+ | Két egyenes kölcsönös helyzetével kapcsolatban a következő lehetőségek vannak: | ||
+ | |||
+ | :<math>e||f</math> (ennek kritériuma <math>\mathbf{v}_e\times\mathbf{v}_f=\mathbf{0}</math>) ekkor | ||
+ | ::vagy egybeesnek (amikor is van közös pontjuk), | ||
+ | ::vagy különbözőek (ha nincs) | ||
+ | |||
+ | :<math>e\not{|\!|}f</math> (ennek kritériuma <math>\mathbf{v}_e\times\mathbf{v}_f\ne \mathbf{0}</math>) ekkor: | ||
+ | ::vagy metszőek (amikoris van közös pontjuk), | ||
+ | ::vagy kitérőek (ha nincs) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''2. Feladat.''' Határozzuk meg az | ||
+ | :<math>e:\left\{\begin{matrix} | ||
+ | x =3t+ 2\\ y=-t\\ z=1-2t | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> és <math>f:\left\{\begin{matrix} | ||
+ | x =2t- 3\\ y=-1\\ z=3t+9 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | egyenletrendszerekkel megadott egyenesek kölcsönös helyzetét! | ||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' Két egyenes pontosan akkor párhuzamos, ha irányvektoraik párhuzamosak. Ezek: (3,-1,-2) és (2,0, 3), azaz biztosan nem párhuzamosak, mert a komponens, amelyik 0, nem áll elő nemnullák szorzataként. Közös pontot az egyenletrendszer megoldásával találhatunk (ha egyáltalán van). | ||
+ | |||
+ | :<math>\left\{\begin{matrix} | ||
+ | 3t+ 2=2u- 3\\ -t=-1\\ 1-2t=3u+9 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | három egyenlet, két ismeretlen, ezért a feladat túlhatározott, azaz általában nincs megoldása. Most tényleg nincs, mert ha t=1, akkor 3u=-10 és 2u=8, ami lehetetlen. | ||
+ | |||
==Sík== | ==Sík== | ||
123. sor: | 160. sor: | ||
egyenlehez jutunk, melyet az ''s'' sík egyenletének nevezünk. | egyenlehez jutunk, melyet az ''s'' sík egyenletének nevezünk. | ||
− | ''' | + | '''3. Feladat.''' Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, mely áthalad a P = (3,0,1) ponton és párhuzamos az ''e'' és ''f'' egyenesek által kifeszített síkkal, ha van ilyen. |
:<math>e:\left\{\begin{matrix} | :<math>e:\left\{\begin{matrix} | ||
x =1-2t\\ y=2+t\\ z=-2t | x =1-2t\\ y=2+t\\ z=-2t | ||
− | \end{matrix}\right.</math> és <math>f:\ | + | \end{matrix}\right.</math> és <math>f:\left\{\begin{matrix} |
+ | x =-2+2t\\ y=-t\\ z=2t | ||
+ | \end{matrix}\right.</math>. | ||
''Megoldás.'' Olvassuk le az irányvektorokat! '''v'''<sub>e</sub> = (-2,1,-2) és '''v'''<sub>f</sub> = (2,-1,2). A sík számára normálvektort úgy kapunk, ha ezekre merőleges vektort készítünk: | ''Megoldás.'' Olvassuk le az irányvektorokat! '''v'''<sub>e</sub> = (-2,1,-2) és '''v'''<sub>f</sub> = (2,-1,2). A sík számára normálvektort úgy kapunk, ha ezekre merőleges vektort készítünk: | ||
146. sor: | 185. sor: | ||
:<math>s:\quad -4(x-3)+6y+7(y-1)=0\,</math> | :<math>s:\quad -4(x-3)+6y+7(y-1)=0\,</math> | ||
− | ''' | + | '''4. Feladat.''' Írjuk fel az alábbi egyenletekkel megadott síkok metszésvonalának egyenletét! |
:<math>s_1:\quad x-y-4z-5=0\,</math> | :<math>s_1:\quad x-y-4z-5=0\,</math> | ||
:<math>s_2:\quad 2x+y-2z-4=0\,</math> | :<math>s_2:\quad 2x+y-2z-4=0\,</math> | ||
152. sor: | 191. sor: | ||
''Megoldás.'' A metszésvonal pontjai kielégítik mindkét egyenletet, így az összegüket is: | ''Megoldás.'' A metszésvonal pontjai kielégítik mindkét egyenletet, így az összegüket is: | ||
:<math>s:\quad 3x-6z-9=0\,</math> illetve <math> x-2z-3=0\,</math> | :<math>s:\quad 3x-6z-9=0\,</math> illetve <math> x-2z-3=0\,</math> | ||
− | Most gyakorlatilag azt csináltuk, hogy | + | Most gyakorlatilag azt csináltuk, hogy felírjuk az '''n'''<sub>1</sub> + '''n'''<sub>2</sub> normálvektorú, a metszésvonalon áthaladó sík egyenletét. Ha keresünk ezen egy olyan pontot, mely az ''s''<sub>1</sub>-en is rajta van, akkor találtunk egy közös pontot. Kettő ilyen kéne. Válasszuk ki például a ''z'' = ''t'' síkon egy ''s''-beli pontot, ehhez ugyanis ekkor |
:<math>x=2t+3\,</math> | :<math>x=2t+3\,</math> | ||
tartozik. Ehhez pedig az ''s''<sub>1</sub> miatt: | tartozik. Ehhez pedig az ''s''<sub>1</sub> miatt: | ||
162. sor: | 201. sor: | ||
ahol a paraméter a ''z'' = ''t''. | ahol a paraméter a ''z'' = ''t''. | ||
− | ''' | + | '''5. Feladat.''' Tükrözzük a P = (4,-3,5) pontot az ''s'': ''x'' - ''y'' + ''z'' - 6 = 0 egyenletű síkra! |
− | ''Megoldás.'' | + | ''Megoldás.'' A P-ből ''s''-re bocsátott merőleges D döféspontját kell meghatározni, majd kiszámítani a '''p''' + 2.('''d'''-'''p''') vektort. Az ''s''-re merőleges ''e'' egyenes irányvektora nem más, mint a sík normálvektora: |
+ | :'''n''' = (1,-1,1) | ||
+ | így a P adott ponttal: | ||
+ | :<math>e:\left\{\begin{matrix} | ||
+ | x =4+t\\ y=-3-t\\ z=5+t | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | A döféspont ennek a sík egyenletébe helyettesítésével adódik: | ||
+ | :<math>4+t-(-3-t)+5+t-6=0\,</math> | ||
+ | innen: | ||
+ | :6t=-6 és t=-1 | ||
+ | Ekkor a döféspont koordinátáit a t=-1 helyettesítéssel nyerjük az egyenletrendszerből: D = (3,-2,4) | ||
+ | :P' = '''p''' + 2.('''d'''-'''p''') = (4,-3,5) + 2.(-1,1,-1)=(2,-1,3) | ||
+ | |||
+ | |||
+ | '''6. Feladat.''' Határozzuk meg annak az ''e'' egyenesnek az egyenletét, mely illeszkedik a P = (-1,2,3) pontra, merőleges az '''a''' = (6,-2,-3) vektorra és metszi az | ||
+ | :<math>f:\left\{\begin{matrix} | ||
+ | x =2t+1\\ y=2t-2\\ z=-4t+3 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | egyenest. | ||
+ | |||
+ | ''Megoldás.'' Tudjuk, hogy vektor akkor és csak akkor merőleges egy síkra, ha a sík minden egyenesére merőleges. Ha tehát felírjuk az '''a''' normálvektorú, P-n áthaladó ''s'' síkot, akkor abban benne lesz ''e''. Hogy merre lesz, azt f árulja el, mert ahol döfi a síkot ''f'', ott lesz ''e'' és ''f'' metszéspontja. Ez azért van, mert ''e'' rajta van ''s''-en, így metszéspontja ''f''-fel szintén ''s''-ben van. Ám, pont ebben a pontban döfi ''f'' az ''s''-t. | ||
+ | |||
+ | ''f'' paraméteres egyenletrendszere: | ||
+ | :<math>f:\left\{\begin{matrix} | ||
+ | x =2t+1\\ y=2t-2\\ z=-4t+3 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | |||
+ | ''s'' egyenlete: | ||
+ | :<math>6(x+1)-2(y-2)-3(z-3)=0\,</math> | ||
+ | A döféspont: | ||
+ | :<math>6(2t+2)-2(2t-4)-3(-4t)=0\,</math> | ||
+ | :<math>12t+12-4t+8+12t=0\,</math> | ||
+ | :<math>t=-1\,</math> | ||
+ | Azaz D = (-1,-3,7). | ||
+ | |||
+ | ''e'' irányvektora a PD vektor: (0,-5,4) | ||
+ | |||
+ | ''e'' paraméteres egyenletrendszere: | ||
+ | :<math>e:\left\{\begin{matrix} | ||
+ | x =-1\\ y=-5t-2\\ z=4t+3 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
==Házi feladatok== | ==Házi feladatok== | ||
+ | # Határozza meg annak a síknak az egyenletét, mely tartalmazza az e: x=1-2t, y=2+t, z=-1-t egyenletrendszerű egyenest és a P = (0,1,-2) pontot! | ||
+ | # Határozza meg a 3x+2y-z=3 és x-y+3z=1 egyenletű síkok metszésvonalával párhuzamos, a P = (1,2,3) ponton áthaladó egynenes egyenletét. | ||
+ | |||
+ | További feladatok. A megoldásoknál ajánlott a ([http://members.chello.hu/molnar.zoltan13/Main/vektoralgebra.pdf pdf]) segédlet utolsó oldalát áttanulmányozni. | ||
+ | |||
+ | # Határozzuk meg a 2. és 3. feladatban említett egynespárok távolságát! | ||
+ | # Határozzuk meg a 2. feladatban említett egynespárok szögét! | ||
+ | # Határozzuk meg a 4. feladatban említett síkpárok szögét! | ||
+ | # Határozzuk meg az 5. feladatban említett ''P'' és ''s'' távolságát! | ||
+ | # Határozzuk meg a 4. feladatban említett síkpárok esetén az "''s''<sub>1</sub> + ''s''<sub>2</sub>" és a z irányba 5-tel eltolt másának távolságát! | ||
[[Kategória:Matematika A1]] | [[Kategória:Matematika A1]] |
A lap jelenlegi, 2020. szeptember 15., 12:02-kori változata
Tartalomjegyzék |
Koordináta reprezentációk
Lineáris kombinációnak nevezzük a
alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az a-k vektorok.
Tétel.
- Ha b1 és b2 két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
- Ha b1, b2 és b3 három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát bázisnak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ortonormált bázist alkotnak. A jobbsodrású (v.ö.: jobbcsvarszabály) ortonormált bázis a térben az (i, j, k).
Egy v térvektornak B = (b1, b2, b3) bázisra vonatkozó koordinátareprezentációja az az oszlopmátrix, melynek elemei rendre az előző tételbeli egyértelműen létező λ-k:
A vektorműveletek a koordinátareprezentációban a következők lesznek.
Külön fontos a vektoriális szorzat esetén megemlíteni a
"szimbolikus" determinánssal történő kiszámolási módot és a skaláris szorzást, mint mátrixszorzást:
Egyenes
Legyen r0 az e egyenes egy pontjának helyvektora, v az irányvektora. Ekkor az egyenes bármely r pontja előáll (alkalmas t valós paraméterrel)
alakban, hiszen az r - r0 vektor párhuzamos az egyenessel (sőt: az egyesben van), így a v irányvektor skalárszorosa. A t jelölés az "időre" utal. Ha feltételezzük, hogy egy pont sebessége az egyenesen v, akkor t azt jelenti, hogy az r0-végpontjából az r végpontjába mennyi idő alatt jutunk el.
Nulladik pl.
0. Legyen ABC egy háromszög, melynek körül írható körének középpontjából a csúcsokhoz menő vektorok: a, b, c. Igazoljuk, hogy a magasságok egy pontban, az m = a + b + c pontban metszik egymást.
Egyenletrendszer
A fenti egyenletet az e egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezzük. Ha felírjuk koordinátareprezentációban, akkor a
- vagyis a
egyenletrendszert kapjuk, melyet az e egyenes paraméteres egyenletrendszerének nevezünk. Persze itt [r0]=(x0,y0, z0), [r]=(x,y, z) és [v]=(v1,v2, v3).
1. Feladat. Írjuk fel annak az egyenesnek az egyenletrendszerét, mely merőleges mind az e, mind az f egyenesre és áthalad a P0 = (1,2,0) ponton.
- és
Megoldás. Olvassuk le az irányvektorokat! ve = (3,-2,0) és vf = (2,0,-1). Ezekre merőleges vektort vektoriális szorzattal készítünk:
Azaz:
Két egyenes kölcsönös helyzetével kapcsolatban a következő lehetőségek vannak:
- e | | f (ennek kritériuma ) ekkor
- vagy egybeesnek (amikor is van közös pontjuk),
- vagy különbözőek (ha nincs)
- (ennek kritériuma ) ekkor:
- vagy metszőek (amikoris van közös pontjuk),
- vagy kitérőek (ha nincs)
2. Feladat. Határozzuk meg az
- és
egyenletrendszerekkel megadott egyenesek kölcsönös helyzetét!
Megoldás. Két egyenes pontosan akkor párhuzamos, ha irányvektoraik párhuzamosak. Ezek: (3,-1,-2) és (2,0, 3), azaz biztosan nem párhuzamosak, mert a komponens, amelyik 0, nem áll elő nemnullák szorzataként. Közös pontot az egyenletrendszer megoldásával találhatunk (ha egyáltalán van).
három egyenlet, két ismeretlen, ezért a feladat túlhatározott, azaz általában nincs megoldása. Most tényleg nincs, mert ha t=1, akkor 3u=-10 és 2u=8, ami lehetetlen.
Sík
Legyen r0 az s sík egy pontjának helyvektora, n a normálvektora, azaz egy olyan nemnulla vektor, mely merőleges a síkra (azaz a sík minden pontjára merőleges). Ekkor a sík bármely r pontjára igaz lesz:
hiszen az r - r0 vektor merőleges a sík mormálvektorára, így skaláris szorzatuk 0.
Ha felírjuk koordinátákkal, ahol legyen n = (A,B,C), akkor az
egyenlehez jutunk, melyet az s sík egyenletének nevezünk.
3. Feladat. Írjuk fel annak a síknak az egyenletét, mely áthalad a P = (3,0,1) ponton és párhuzamos az e és f egyenesek által kifeszített síkkal, ha van ilyen.
- és .
Megoldás. Olvassuk le az irányvektorokat! ve = (-2,1,-2) és vf = (2,-1,2). A sík számára normálvektort úgy kapunk, ha ezekre merőleges vektort készítünk:
ami azonban nem alkalmas normálvektornak. Világos, hogy ez a jelenség amiatt lépett föl, mert a két egyenes párhuzamos egymással. Készítsünk tehát a síkjukban lévő nempárhuzamos vektorokat!
Az e-n egy pont az A = (1,2,0), az f-en: B = (-2,0,0), melyek a t = 0 értékadás által lettek kiválasztva. Legyen u az A-ból B-be menő vektor, mely a (-3,-2,0). Ekkor jó lesz normálvektornak a
A sík így:
4. Feladat. Írjuk fel az alábbi egyenletekkel megadott síkok metszésvonalának egyenletét!
Megoldás. A metszésvonal pontjai kielégítik mindkét egyenletet, így az összegüket is:
- illetve
Most gyakorlatilag azt csináltuk, hogy felírjuk az n1 + n2 normálvektorú, a metszésvonalon áthaladó sík egyenletét. Ha keresünk ezen egy olyan pontot, mely az s1-en is rajta van, akkor találtunk egy közös pontot. Kettő ilyen kéne. Válasszuk ki például a z = t síkon egy s-beli pontot, ehhez ugyanis ekkor
tartozik. Ehhez pedig az s1 miatt:
De t helyett bármi állhat, így megkaptuk a metszésvonal összes pontját:
ahol a paraméter a z = t.
5. Feladat. Tükrözzük a P = (4,-3,5) pontot az s: x - y + z - 6 = 0 egyenletű síkra!
Megoldás. A P-ből s-re bocsátott merőleges D döféspontját kell meghatározni, majd kiszámítani a p + 2.(d-p) vektort. Az s-re merőleges e egyenes irányvektora nem más, mint a sík normálvektora:
- n = (1,-1,1)
így a P adott ponttal:
A döféspont ennek a sík egyenletébe helyettesítésével adódik:
innen:
- 6t=-6 és t=-1
Ekkor a döféspont koordinátáit a t=-1 helyettesítéssel nyerjük az egyenletrendszerből: D = (3,-2,4)
- P' = p + 2.(d-p) = (4,-3,5) + 2.(-1,1,-1)=(2,-1,3)
6. Feladat. Határozzuk meg annak az e egyenesnek az egyenletét, mely illeszkedik a P = (-1,2,3) pontra, merőleges az a = (6,-2,-3) vektorra és metszi az
egyenest.
Megoldás. Tudjuk, hogy vektor akkor és csak akkor merőleges egy síkra, ha a sík minden egyenesére merőleges. Ha tehát felírjuk az a normálvektorú, P-n áthaladó s síkot, akkor abban benne lesz e. Hogy merre lesz, azt f árulja el, mert ahol döfi a síkot f, ott lesz e és f metszéspontja. Ez azért van, mert e rajta van s-en, így metszéspontja f-fel szintén s-ben van. Ám, pont ebben a pontban döfi f az s-t.
f paraméteres egyenletrendszere:
s egyenlete:
A döféspont:
Azaz D = (-1,-3,7).
e irányvektora a PD vektor: (0,-5,4)
e paraméteres egyenletrendszere:
Házi feladatok
- Határozza meg annak a síknak az egyenletét, mely tartalmazza az e: x=1-2t, y=2+t, z=-1-t egyenletrendszerű egyenest és a P = (0,1,-2) pontot!
- Határozza meg a 3x+2y-z=3 és x-y+3z=1 egyenletű síkok metszésvonalával párhuzamos, a P = (1,2,3) ponton áthaladó egynenes egyenletét.
További feladatok. A megoldásoknál ajánlott a (pdf) segédlet utolsó oldalát áttanulmányozni.
- Határozzuk meg a 2. és 3. feladatban említett egynespárok távolságát!
- Határozzuk meg a 2. feladatban említett egynespárok szögét!
- Határozzuk meg a 4. feladatban említett síkpárok szögét!
- Határozzuk meg az 5. feladatban említett P és s távolságát!
- Határozzuk meg a 4. feladatban említett síkpárok esetén az "s1 + s2" és a z irányba 5-tel eltolt másának távolságát!