Matematika A1a 2008/3. gyakorlat
Mozo (vitalap | szerkesztései) |
Mozo (vitalap | szerkesztései) (→Koordináta reprezentációk) |
||
20. sor: | 20. sor: | ||
A vektorműveletek a koordinátareprezentációban a következők lesznek. | A vektorműveletek a koordinátareprezentációban a következők lesznek. | ||
− | + | :<math>[\mathbf{a}+\mathbf{b}]=\left[ | |
− | <math>[\mathbf{a}+\mathbf{b}]=\left[ | + | |
\begin{matrix} | \begin{matrix} | ||
45. sor: | 44. sor: | ||
\end{matrix} | \end{matrix} | ||
− | \right], | + | \right],</math> |
+ | |||
+ | :<math>\mathbf{a}\cdot\mathbf{b}=a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3,\quad\quad[\mathbf{a}\times\mathbf{b}]=\left[ | ||
\begin{matrix} | \begin{matrix} | ||
70. sor: | 71. sor: | ||
\begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} & \mathbf{ab} | \begin{bmatrix}a_1 & a_2 & a_3\end{bmatrix} & \mathbf{ab} | ||
\end{matrix}</math> | \end{matrix}</math> | ||
+ | ==Egyenes és sík== | ||
+ | |||
+ | Legyen '''r'''<sub>0</sub> az ''e'' egyenes egy pontjának helyvektora, '''v''' az irányvektora. Ekkor az egyenes bármely '''r''' pontja előáll (alkalmas ''t'' valós paraméterrel) | ||
+ | :<math>\mathbf{r}=\mathbf{r}_0+t\cdot\mathbf{v}</math> | ||
+ | alakban, hiszen az '''r''' - '''r'''<sub>0</sub> vektor párhuzamos az egyenessel (sőt: az egyesben van), így a '''v''' irányvektor skalárszorosa. A ''t'' jelölés az "időre" utal. Ha feltételezzük, hogy egy pont sebessége az egyenesen '''v''', akkor ''t'' azt jelenti, hogy az '''r'''<sub>0</sub>-végpontából az '''r''' végpontjába mennyi idő alatt jutunk el. | ||
+ | |||
+ | A fenti egyenletet az ''e'' egyenes '''paraméteres vektoregyenlet'''ének nevezzük. Ha felÍrjuk koordinátareprezetnációban, akkor a | ||
+ | :<math>\begin{pmatrix} | ||
+ | x \\ y\\ z | ||
+ | \end{pmatrix}=\begin{pmatrix} | ||
+ | x_0 \\ y_0\\ z_0 | ||
+ | \end{pmatrix} + t\begin{pmatrix} | ||
+ | v_1 \\ v_2\\ v_3 | ||
+ | \end{pmatrix}</math> vagyis a <math>\left\{\begin{matrix} | ||
+ | x =x_0+ tv_1\\ y=y_0+ tv_2\\ z=z_0 + tv_3 | ||
+ | \end{matrix}\right.</math> | ||
+ | egyenletrendszert kapjuk, melyet az ''e'' egyenes '''paraméteres egyenletrendszer'''ének nevezünk. | ||
==Házi feladatok== | ==Házi feladatok== |
A lap 2008. szeptember 21., 20:28-kori változata
Koordináta reprezentációk
Lineáris kombinációnak nevezzük a
alakú kifejezéseket, ahol a λ-k számok, az a-k vektorok.
Tétel.
- Ha b1 és b2 két nempárhuzamos vektor a síkban, akkor a sík minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
- Ha b1, b2 és b3 három, nem egy síkban lévő vektor, akkor a tér minden vektora egyértelműen előáll ezek lineáris kombinációjaként:
Síkban két nempárhuzamos vektor halmazát, térben három nem egysíkban lévő vektor halmazát bázisnak nevezünk. Ha ezek egységhosszúságúak és páronként merőlegesen egymásra, akkor ortonormált bázist alkotnak. A jobbsodrású (v.ö.: jobbcsvarszabály) ortonormált bázis a térben az (i, j, k).
Egy v térvektornak B = (b1, b2, b3) bázisra vonatkozó koordinátareprezentációja az az oszlopmátrix, melynek elemei rendre az előző tételbeli egyértelműen létező λ-k:
A vektorműveletek a koordinátareprezentációban a következők lesznek.
Külön fontos a vektoriális szorzat esetén megemlíteni a
determnánssal történő kiszámolási módot és a skaláris szorzást, mint mátrixszorzást:
Egyenes és sík
Legyen r0 az e egyenes egy pontjának helyvektora, v az irányvektora. Ekkor az egyenes bármely r pontja előáll (alkalmas t valós paraméterrel)
alakban, hiszen az r - r0 vektor párhuzamos az egyenessel (sőt: az egyesben van), így a v irányvektor skalárszorosa. A t jelölés az "időre" utal. Ha feltételezzük, hogy egy pont sebessége az egyenesen v, akkor t azt jelenti, hogy az r0-végpontából az r végpontjába mennyi idő alatt jutunk el.
A fenti egyenletet az e egyenes paraméteres vektoregyenletének nevezzük. Ha felÍrjuk koordinátareprezetnációban, akkor a
- vagyis a
egyenletrendszert kapjuk, melyet az e egyenes paraméteres egyenletrendszerének nevezünk.